Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Марков В.Н. Теория управления (устойчивость, стабилизация, оценки) учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

10.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 226 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

						<.Ц»4 .~J).		(*Л6)
ГД6						'-" 4,.; e. A
ГД6	заданны ; положительные числа i						~	о ),
	предположим»- .что для			каждой из подсистем '
		i	—		*•—Г
	•	■—-*	~	тг**з	*•—Г	Д),		(4..ТУ)
	•		~	1г;		Д),		(4..ТУ)

■е

входящих в систему (>Л5)» может Лтъ указана $уьнцин Ля

луноза Vt(5c; д) уд-овдетворпадая оценкам

—*f

с . .

\ Ы

x r - l ' x - ;

± \

* . .

« Х ; ; «

(

4i'i

«.

.f ->

i %

4 S » .

—%

0 * ь.

- г - » -

Х У -

, ь

i ------

4 з г ~ : Л

Ч О

; С Г .

з а л

' -

,- .

о Ч

f t

• >

\ /

■ h

*s >

\ f . <

5 * , | 1

< ч ч

V> о 5

и=••♦а** , <\* V

‘I (■ )р'* С I.-»■о х О /

	.Л				устанавливает дополнится
	Форуу линуемая силе теорема
ныа ограничения*			которым должны удовлетворять достоянные
С/^	£ i	>	*•>..,>	)V чтобы мя. зиспонаддиальмой•
				.-#■	> Л ? )	-—
устойчивости каждой из подсистем						следовала онешь*
аввциальяая -устсйливесть системы д>Л5)						при лгибых матри
цах	Ь ц	^ удовлетворяющих: неравенствам				С4Лб) =
	Теорема 4-«3«		Система	> Л 5 )	зкейонендиально устой

чива при любых: связях (4Ле) между подсистемами (4Л?),

соли энслонейциальао устойчива система

	Си >		. '*Ь сГл Аха-'			(iM . >) (4Д9)
У: — ЪЙ \			■+ >	2.С.;а С^		‘	'
	~	Я		2.С.;а С^
Для дс-казаЕбльстъа теоремы рассмотрим производные
функций	\/л	v... ^ V* с'2ц Лу			определенных но движениях
'•системы	(>,15),

-Г. • Z й ч 5?.) +

•(> »,../).-

При выполнении оценок (4.18) и неравенств (4.16) мы будем

иметь	’	'	V *
V'i	4-CuVt‘^V + C i, (Si		. (fi.ZQ)
			***
Отсюда в силу неравенства e(4 .13)			г
			г
	^	•*	-чХ
	^	•*	( z l С цtiXjts)
-к так	как		\

* A

то

^ СХЮ1.

2.- Л ^

С*>) -v

С^цОКчл *

•

I-Ci,

Следовательно*

^ / , is

■ Ог-.i

(Ай ч

ПС° М *

~ —

Nritx.-^ + 2 L .-----—

^с;Г-----

Х1Г ^ М

rv.^l

wC*^. ■

и система (4.15) экспоненциально устойчива,- так как ю

условию теоремы

экспонеяцие

ъад

ус

ойЧ1оа система

(4.19)-

векторной

■

„

■

Конструкция

функции Ляпунова

используемая

при доказательстве

теоремы,

предложена Ф.Бейли

(см,

[ \ ]

Покажем теперь, что эта конструкция допускает модишк а-

цию, которая позволив1-- подучить сужде

л .

экспонеиц-зль-

ной устч

:чйвосш1 .шс$еь,ы (4/..v)

при бо'"ее

мягких огэаь.,-

чени х,

онопоненциадьно>* у««ой

накидываемых нз п раметш

■чивос^и наядой

подсистем

(4Л ?),

Уеор ла 4.4'. Gистома (4.ГЗ) ьлспоненциалько усточ'й-

ва цря любых связях

('к 16)

между ь.. деист емамч

(4 .Г?)

е- *

%ли экспоненциально устойчива система

(#*2D

Доказательство» Повторив доказательство теоремы

4.3, мы придем к неравенствам (4.20). Отсюда

*'c t	^	i’	v > ) *

Положив в (4.22)

получим		Vi			%
получим
Л	’		/г		л ... ц
Л	’		/г		Cut^l	1>, Т i
2-4^1		^ ~ ССъ ^ t + 2L,			sJq ■Л	1>, Т i
Следовательно,			4М		4Л
Следовательно,		Си		c-m'Stci
"ОС =		Си	+ 2L	c-m'Stci		СС-
"ОС =		2^ г«- 4 -А-			З-'ГСа
			дм		4
и экспоненциальная устойчивость системы (4.15) следует
из экспоненциальной устойчивости системы.(4.21).
Заметим,	что	в соответствии			с теоремой 4.4 при всех t:Mu

и так как пои этом

		^	iH-itii Л с _		V. .		\1/г.		C i»v/ _
- e isV if $ t^		*					■VS		C i»v/ _
- e isV if $ t^		*		(Д '^ И О VjtSj.tj)				£	----5Г 41
Cu.	f ■>	-^41	/ i f - »	ЧЛ \		1^	4 /	-	■*
2.c;4	ч^ т	x5c-?	1V 3^ ) ) У			~5T	v i^		■*
			Дт ch< (.4 v +••■■<•
			4 2 1	г й ц с и		‘			,

то при всех t > t <>

ч.если	% «•)	</->-)■
В частном случае, когда •v £. » 0 (	Д) , в соответ-

ствии с теоремо^4л. система (4Л5) экспоненциально ус

тойчива с параметрам"!

Ь \1 2 .4 ^ .	o L - - r r ' 4 ^		, . . . , ^
1-^			* *
Применение теоремы Ь Л в	этом случае	даэт
)с - - \ Z 4 t ~ - 1 d —			ст }
у-л

- 53 -

ГЛАВА		СТАБИЛИЗАЦИЯ^ ДОАМИЧ?СиХ СИСТЕМ
	§ 5*’ Общие вопросы теории'слабили;
I.	Поста .ивка задачи о стабилизации, "д&льне-йшим
развитием з'адеч устойчивости является задача о стабили
зации управляемых динамических систем,								Мы будем рассмат
ривать системы, переходные процессы (возмущенные движе
ния) которых на множестве { a i / t \| o c . \| < S 0 ,										удсв-
'летворяют дифференциальному					уравнению
		х » F c (t.)				+			'•	(5.1)
В отличие от уравнения (1.6)					здесь		tr	- Огукс)- матрица,
элементы которой определены-и.имеют частные производные
ч		-		t		на и. ожветве			(2.14) к
по первые! *ым
U. - ПЪ ~ мерный вектор управления,								,
Законом уг;„мления										л
			It	г. VC						(5 2)
ии будем называть вектор-функцию KLC.3e,t)									5 ставящую
в соответствие каждому вектору						X LV-		жкаждому моменту
времени	*Ь	значение		их) ■ К Х х о ) ,Л)					> вектора
управления ъ этот м			хент времени					s .
Допустимым законов удаления будем называть любой
непрерых	ый закон управления				(5 .2),		нс	нарушающий.условий
существования и единственности решений сравнения С?Л )
на. множестве		(2.14).	Множество допустимых за! нов							управ
ления ЧЛ2) обозначь			~ереъ

	Задача 5 .L Дано множество допустимых законов ^лрав-
дения	. Требуется из Л выделить подмножество-зако

нов управления (5 .2 )/ на котором система (5.1/ равномер

но асимптотически устойчива.

Мдойсство законов, полученное в результате решения поставленной-задачи, будем называть множеством стабилизи

рующих законов 'управления или Стабилизирующим множеством.

Устройство , формирующее стаопдизярущмй закон управления,

будем называть регулятором^ а его присоединение я сис-

теме (5,1) - зиьшпанпем системы. Структурная схема замк

нутой олатемыпоказана на			рис, I. ’ .
Г4	"		система
	Управляемая		система
	;х « рСх'Л) т		-.ч*
I	;х « рСх'Л) т		i
I
!
\
i
ji
i	!	Регулятор
i	!	Регулятор
	I	-

Рис* I

пример. Реальнойосновой для рассмотрения задач..

5, !. может служить задача о гашении вращений космического

аппарата. Уравнения возмущен огс движения’в этом случае

записывается, оледзнадик образом

ос.1	3 ^ -	э»	■	X.*,
ос.1	•з,		Л- г бс ^	X.*,
	•з,
V- — Зу Г		• *		- А	»а	,	( 5 .’ )
	1’*.			-xj-		,	( 5 .’ )
	1’*.

- 5!

’ v

Здесь	*3^	-	моменты инерции аппарата,
2. построена*, множества стабилизирующих				;зе.и
равления»
Пусть \N c»^	- произвольная		определенно положительная
функция на множестве (2Л 4).			В соответствии	оо -оказанным
ь_.ше любой из допустимых законов управления				(->,2),	обес
печивающий выполнение неравенства
№	i F + О- и	- ЪЪ			( 5 . * )
V.&X >* • '*/		- ЪЪ
является стабилизирующим законом управления,				,	О
является стабилизирующим законом управления,				если

~ определенно положительная фуннци.., допускающая оеско- I. зчно малый высший предел на множестве (2.1ч),

Таким образом, рамках метода функций Ляпунова ре

шение lздачи j стабилизации сводится к построению множест ва законов управления, обеспечивающих выполнение неравен ства (5Л)с Для решения этой ^адачи неравейство .(5.4) пере пишем следующим образом

ъъ

йз рассмотрения полученного неравенства иледуе% что ре шение .'^ачи о стабилизации водится в конечном счете "К nocrj ению . ложества лекторов It , проекция которых на . ~ектор_ СПрОУ 'Ь) удовлетворяет условию

- 56

	Tip i t 4	’'Njc-'X t) - (*%’О ~ ^
		«<*' Ш
	если ll& '^'l =£ 0»

Наглядная интерпретация , которую допускает рассматривав мая задача, подсказывает путь ее решения* Интересующее нас множество законов управления будем искать в виде

it — А&' та		Р CXyV)	(5.5)
	"Ьх
где Д « Лсх>^	- произвольная	скалярная функция,	глад
кая на множестве	(2*14), pcx;-w) - произвольная непрерыв

ная векторная функция, удовлетворяющая на множестве (2.14)

условию

(о* *5. 3 =0' ( II рС°Л)« = о) (5.6)

и не нарушающая условии существования и единственности решений уравнения (5.1).

Теорема 5.1* Любой из закс*ов управления (5,5) яв

ляется	стабилизирующим законом для			системы (5.1), есш
на множестве		(2Л4-)
	Ш	± - ^ ^ ь ) - ( Ж > ? ) * т -				&&' Ш
и		/
и	- определенно положительная функция, допус
кающая бесконечно малый высший предел*
В справедливости сформулированно.					*ееремы легко ц е
диться,	.Поскольку производная функции				\1	9
I	Vex,; =• 4\|> F +		'Ц	-i-pt) +
						tf-
с ределен^ая да'движениях с.^тема				Ь Л ),		пр водится к
Ьиду
V Сзс-Д) - С*Ъх>			"Ьос-			^ -м4с*л>-

- 57 -

Теорема 5Л	мн	жеотво етабши^ирущих аакопов удрав-
лекия устанавливает		я классе				й	Однако
				диетаточных условий
с учетом теоремы 2.6		этой згеоре?*в мо^иопридать и						форму
необходимых условийс		Покажем,			что зочон управления			( 5 Л ) х
является стабилизирую*! законом для системы (5Л)								только
тогда J когда ои.-вожет быть представлен в виде						(5,3 ),
iiyот.о и, ^ 1,,(&,) •-			с л а б и л и х - а д з а к о н			уйр&влеяия
для системы (5Л,)ф Тогда* как •следует из теоремы <.5.,									ка
множестве (2*14)	еудесгвует д онускатнаябесконечно							малый
высший яредел определенно по; ожитол'-вая функция							V -.(.-хфЦ
тарану что £упнцмяш
У	к		\
\ ш ф Г 4Ь v				4	уе
отглъд е'.хняв
является фудкцц'еЙ'^\|гицауельйой на этом множестве.
•чевидно, что. на шзожботв#
			/2)Ш и- —а -fr-
яри М	вектор				всегда может быть пред
ставлен в виде (3v5}eim множестве.
"L		t )	Н		U^ 0 , Л:^ ^			(5.7)*
это предстаъ-даяие единственно,					Скалярная функция		X		и »
вектор-функция р	на множестве				(5.7) определяются			следую-
г			//-'2W*•■ Й«Л
ш;ши 'выражениями
\		^ vG •			j.Л )

	Их в»	закон .управления (5,2^ являвгея			решением зада
чи	о стабилизации для системы (5 Л )			■тогда и	только	тог
да v	когда	ой может быть представлен		в виде	(5.5),	Яри
решении конкретных за*ач					Ч'
решении конкретных за*ач			стабилизации, однако, следует
	N .	t	-

различать множетсво всех стабилизирующих законов управ ления, доставляемое теоремой 'ЗЛ , и множество стабилкзиру щих законов управления» порождаемое той или иной функци ей Ляпунова-^ удовлетворящей услов®#" этой теоремы.

	йрш^ром вектор-функции р , удовлетворяющей уело-
вию	множестве {2ЛЬ) л иожт служить вектор-фун-

		51
		«УХ.'
где Р *• P t rJC>i)	7	произвольная	кэшзешшетрйчзая мат
зцца. Отметим,, что веь;тр~фуакция			р		удовлетворяет
условию -(5*0-) на множеетг°
Г	_	и -UM ф .	^	а	;
Vе	у	H^ ^ t	^	а	;
					8

орда и только	тогда, когда существует кососшметричьая
атрш ~	? такая, что на множеотз - (5,8)
	,	■ -.г\ ,	ч у'» ^ >\*
	рСое.,%)		Ъг-
Пример* £ случае,			/
Пример* £ случае,		когда "возмущенное движение смете-

описывается упавМе-з^ямя ff,3)» условиям теорбы '-.х

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 226 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ