книги из ГПНТБ / Марков В.Н. Теория управления (устойчивость, стабилизация, оценки) учебное пособие

'fo -

*

(15.9)

*

^ v

Ar)

« о .

\

Таким ооразом здесь

определяется также как и при 1-ом

критерии и также в случай

нечетной

характеристики

iК ^5 ^

ftc \$-

Для определения К*

получим

1>Х

(15 Ли)

ка

Легко поьать, что необходимые условия экстремума и опреде­

ляют минимум выражения Ь .

ля этого достаточно в (15.ti)

подставить

искомые

коэ^ипиеи ты i

чаде.

‘'{e^'bU

. и V**i 'ц^

ПОЛОЖИВ

В

НИХ

^ о -

Ц

= *'*'*’ ^ ^ ' У /

Получим:

А =

-f«- к,УvyV’lp* ■и1. -*и\

,

Тан как

'Ul

*

при люоых 'Ма,

и

Па* то t

минимально при

и

Ц

,

опредедешщх в соответствии с

выражениями (15.5) и (15.Ь)

Как следует из полученных соотношений, .у.ли спредеиёнзя

,

Ко

?

м

в случае .однозначно/ ниш .с

'пой хараке­

те рисунки необходимо

зныь

одномерную

„.упкцию

рь-.-предеде-

ния плотности

вероятности

.

Общие выражения для их

распета

имеют вид:

__

. -

0£>

) ^v.x) р ,и Д А х

(15.11)

«Ч>

ОО

^

" 1 7

!

^

И

Л г 1-

(x3 .il)

O')

\^_Yx)p,(.x) Лх-

I 1/*.

4

-

(15.13)

•' 1 -

U-)

^

*>o

r

] ^ 1Ъ) (x ~vy\x) p^xj dx

• ( Х 5 . Л )

Ic

«

(У,!

— c«

Длп некоторых конкретных видов нелинейных характеристик

форк ли для кизиуицйонтов

мо>:но. найти например в

Р ±0"]

Кили оупкция

рА1х)

не за^-на,

йо известны моментные

характеристики • JC ^

♦ ^л>!

представления

одномерного закона

/

может слив иснильоовано .ого п^иолилсенвое аналитическое пред­

ставление п виде ряда'1’]- auu-wapлье:

Р^( Xj * Ct*p^-an^Q^pU-X) Л ^гр1-,чЛ' •■'

f

v,15.15)

ГДО

[

С-х-№-ж)гХ

р•</*)■

\[цГ §■

-3L(’ Г

Т

С

J .

иоетоилние ком, рлцие: ту,

зависящие от моменте з

XА \!уЧ •

!три-

хи

на,:,

онакигл .унти.и

плотности

означают

соответствующие

прон.(baypibJe но iic.pe1»свiiOи

х.

,

п о л

- и г а я

X-Wx

-

Y

модно записать.*

?Г~

dлро tx;

__

А

сА

I q" ¥ '\

л

сАтх_^

~

^

А-46

У

Согласно

ицралсепш,

но.дшома Неоыinева-’Jраита

т )

=

К - ^ K4(v g £ ~

И гогд-

Va

р - ^ .)

A-J0

Н h.

W

XJ

(15.16)

<т;ч.

п о

с т . . . ь ; ; . : я

д Д о Л ъ . )

( 1

5

. 1 5

) ,

- ' . . о н п в о д 5) м н оп ­о с л е д о

ж е н . , с

i i p - ^ L O o .

.:

л е в о

ч . . ю т - :

п а х у ч и н н о г о

у р а в н е н

а *L.

(15 Л?)

2 ~ )р Л х -Л х .

Знаменатель ( и . 17} есть ни что иное паи:

TtTsy

НкС'О

~х ci^ ^ B

OL, -

! H к C ^ i r - ) P , O y

<15 Л 8 )

НкЦ ,} *■

vn,) - в - 0 Н*.,. а р f

(X о -«•i

,

Ад —О

/

А*.

L №г

хЗ }

А у *■

t\ j'' > >

(15 Л 9)

~ ф L

scJa^S”:*. + 3>§V'l

&Y

- е Д ^ ~ Л° Ь ^ З J

где

- U x - *4*.) рдх, dx

- центральный момент к. -го

•S

*

порядка,

Подстановка полеченного

ряда в форму, j (15Л.1),

линеаризации д«.ет возможность их расчета и в случае откло­

нении закона распределения

от нормального.

.полученные

значения

«г

^

' •

являются при эть*л

функциями

и

,

причем„

если

№х

и

являются

Заданными

„ункцииыи *t

,

то

искомые

коэффициенты так&е

является

функциям**

времени.

'СЛ' ’Кий:. ОП;;СД<

ЛИТ* - КОДЦ: .'ЦИОНТЫ еСЛИ ВЫХОД

ЯВЛйв.ОЯ Не-

линейно,',

уннциса;

.^скольких

сигналов.

Например,

eci t

это

«

функция

д.-у/ спг иало в ,

ск'

.:сем

А

и

£

,

( ^ . ( х 5х )

) э то

иеоолоднм*.

Hiai‘jb

•;.руаоГ;!уй .плотность

Р ъ

(

X

j i

)

случайных

величин

V

и

А

Y

х .. .

ц

том

- ь

случае

'

,v

в

момент

частном

*

V

зованной нелинейности-показывают (ом.

рис» 22)., что:

I.

аппроксимация по первому критерию дает'верхнюю границу

для

корреляционной функции (кривая I

рис*

;2»),

2»

апнровсимУ’тм^ по вг рому критерию дзет

нижнюю границу

для

j

рис» .22, кривая З-точ-

корреляционной функций (кривая 2

Действительно.,

Сравним выра^ния для кир,.-ляционной

функции

W

сиг­

налов

)[ ~ ^

Ktyj

и 1 -

-v ^

i t v ;

,

поле :лв

годной

V в"

стационарным нормально

пас-

сигнал У\ v.V)

Оо

=

су

Ц5.24)

причем

{,

ц

. (15.26)

ч

I k , у k'^iy .

(Ь .2 ?)

а)

Луоть имеем аппроксимацию по минимуму среднего кьад-

рата

разности т.е. Ic*- lc I

,

Тогда в аоответетвии с

(15.26) и (15.27) можно записать

куЛ^) ~ -§т~

.

(13.2с;

При

PCX) >^з

всегда

имеем

к'иЛ'У т*б.

показано * что линеаризация

по критерию минимума среднеквад-

ратической ошибки дает заниженное зн; ченяе. для корреляци­

онной функции выходного сигнала.

б)

liycTj

теперь при аппроксимации

требуется совпадение

111 и

соответственно сигналов

ЧМ V-

и и

тве,

х

* этом

*»/<**•

случае

ifV 'Л) -- -фт- к х « |

Рх с у

( Т с; р;)\

у *^ »Су}

В

соответствии с-точным выражением

(15,24)

G*

л

* VlS»

тогда

имеет место неравенство:

49*

О

(15. 5к)

при

$■*.> о

»-

Таким образом Линейное приближение по данному крите­

рию да^т оценку сверху

д л я

морредяцишшой функций действи­

тельного выходного сигнала.

*

Причем в этол случае имеет место лучшее приближение'

при меньших значениях

X

,

тогда как

при аппроксимации по

минимуму среднего квадрата ошибки - при больших

X

Так как исходные

значения

^

(

X

)

более

достовер­

ны при малых

(эта вытекает из

существа

ь.етодов обработ­

ки реализаций процесса), пеозый критерий ликваризаш.л пред-

стаьляется

более предпочтительным. Однако

само вычисление

• '

'

-L*-V

оказывается

проще,

что следует

коэффициента передачи

к

«

из выражений для этих коэффициентов^

Расчеты

показывают,

что более

равномерное

приближение

получается, если применить третий способ

линеариза­

ции, заключающийся в хом, что коэффициент по случайней

ДЧ

1Лг)

г. а.

составляющей принимается равном полусумме ^ ^

il <Ч ^

1 О ? . W“ ' J .

(15.31,

1Х^

1с с '-*- .

(15,32)

- Коэффициент передачи

S

9 найденный из условия мини­

мума среднеквадратической ошибки имеет вид

it- М Ч Т № X jj .

а Vu Н . -ук, >п\

K | X l\

~ " V * + «лV

“ © i ■• >»* ,

ких оаЩчзм, и в частности, исследовани”

юности. Расс иг-

. ,‘т.Ч "-• ;

"тациок'грн.ой зам­

Рйм 0 Ш - ъ задачу определения точности

ожиданий

дисперсий выходных координат системыа

пусть

структура системы имеет .ид предст вленный ча

Рис.

23.

*

Нелинейное звено находится в обратной связи;

"V

-.выходная

координата системы и входная - нелинейного

безынерционного

звена,

X

-

входное воздействие на сис­

тему.

Если предположить что коэффициенты статистической ли­

неаризации ко

и к-*

известны, то представляется возмож­

ным

при заданной передаточной

функции УК$) линейной части

сительно

регулярной Ф. с S)

и случайной

'составляющих:

vHs)

Jr

_

A* k. VvIHJ

(15.33)

Коэффициенты V.

и Wp

является для заданной целине!'-

пости известивши .ушициши Wч.

и

сигнала

Ч

, пи­

лящегося

входом нелинейного элемента и: ъ данной струитуре-

-выходон

системы. Они могут

быть определены

есЛИ fiv

и

S'-

известны, а их то как раз и требуется найти.

Для у с т а н а в л в

ы е г о

с я

р е ж и

м а ,

о

ч и и з

я Ф

0

VvjLoJ ttVx

w.<'i Ач \с.С«'5,8'«3'М1!)

.

(15.34)

ч] Ц*>)

i,

1У j Sx 4

ДхЛ

(15.35)

Совместное решение этих двух уравнений относительно

неизвестных величин

и

дает и

решение

поставлен^

ной задачи.

Они могут быть решены

л^оым приближенным методом/ **ож-

точности

как бы распадается па

два этапа:

ч

I)

Составление .уравнений,

аналогичных (15.34) и С 1-35)»