Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Марков В.Н. Теория управления (устойчивость, стабилизация, оценки) учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

10.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

всех возможных совместных плотностей распределения
	для всех	*Ц	, tw	из интервала
( -t0> t$ ), где Ы	любое целое	число между 1		и too	,
Вообще говоря	такое количество информации является				не

доступным. К счастью большинство случайных процессов,встре чающихся на практике,обладают марковским свойством (или при

водятся к процессам марковского типа). Такой процесс полно

стью определяется заданием плотности совместного раоределе-

ния

pt^cO)*

ХС'Ч)!

ДЛЯ

всех

в интервале

( t o

)•

Так

как p[xC^,xO£jQ »* p t хс^ /х с \)] р Lx 0*0

то марковский

процесс

также

полностью определяется

заданием

плотностей

pL^txO

для

всех

-t ,

в интервале (

t 0

Знание

fC х

позволяет

в принципе находить

все

плотности

совместных

распределений

'ХСЦ)

Х(_-Ьм)^

Это.является следствием

того,

что для

процессов

такого

типа

т.е. значения

процесса,

в момент -t*.

зависят

лишь от его значений в момент

и не зависят от того, какими они были в более ранние

моменты времени.

Вели для

всех

из

(

t * , ^

)

р!

рЬ

то Х Н

называют

чисто

случайным процессом

или процессом

белого шума.

Марковский процесс,

которого плотности

p L x t x j J

р £

являются

плотностями гауссовского-рас-

нределения называют гаусовским марковским процессом.

Лсгтность

p tx U)] такого процесса

полностью описы-

*20-

вается заданием двух детерминированных функций - вектора ма тематических ожиданий и ковариационной мат рицы

			= M.{lX					9 1 1 Х ^ - т хД]Т J		(9.12)
для всех b	интервала^						).
Совместная		плотность			pt'seCSJj				требует	еще
задания, или знания корреляционной матрицы									•
К С,,*г)»							-hi uofj1 М.{хФ 4			](9Л 3)
для всех -by , t*.			интервала (			t c	,	).
Из определения				следует,		что	элементами матрицыК^(				Ьл ,
t t ) являются взаимные корреляционные функции составляющих
вектора X	•
			Irt i^-fcv)		- №				s i * '»**•■ ^
						X		не коррелированны,			-.:>
								не коррелированны,		матрица
K (	4	)	превращается			в диагональную.
-X
Совместные статистические свойства двух векторных слу
чайных процессов			размерности			^	и	VvvJ полностью определяют
ся их математическими ожиданиями,							ковариационными матрицами
и взаимной корреляционной матрицей,								определяемой как
К хс ч ч ) =			"		*		}	s
iiia матрица (vt		x ^j		имеет	своими элементами				взаншше	корре
ляционные функции составляющих вендоров									С* «. i,>		;
					-Ь К \				С* «. i,>		;
					-Ь К \

- т?д ~

Корреляционные матрицы обладаю; следующими свойствами:

ь	.	Кс<л«К> =■ К > . еч,-ц) ,
		~ K - \|x	.
	2.	Для любой венторной функции выполняется неравенство
		■J		о ,	(9Л6)
где	интегрирование ведется по области SL			, принадлежащей об

ласти определения венторной случайной функции; равенство дос

тигается лишь в случае, когда *£\1£б.О			(свойство	положитель
ной определенности#). -	• •\	"
*			называется	стационар
Векторный случайный процесс		ЛД£]

ны», если стационарны и стационарно связаны все его составля ющие.

Для него:

Я{Хиг)} Ш-М- * to***:

V (9.17)

♦ . у •

,Два векторных стационарных Яроцзсса стационарно связаны,

если все их составляющие связав» стационарно#

• Корреляционные функции определяют вероятностную связь значений функций, разделенных интервалом времени. Характерис

тикой этой связи для стационарных процессов в'Частотноось—

ласти является спектральная плотность, определяющая веьоят-.

ностное распределение энергии процесса по частотам. В прак

тических приложениях свойства случайных функций часто задают-;

ся спектральными плотностями, а,-векторных.случайных процесс^

1 *1	>'
- матрицами спектральных плотностей,	:
- Т22 -

корреляционными матрицами и матрицами спектральных

плотностей сущ ествует взаимно однозначное соответстви е, оп

ределяемое преобразованием Фурье

		Ттл		7		~dwa4'		l , (9.19)
	S * * U v»)* )K * C 9 £ <LX			§ ж. ~ j K a slX j€			d
где	^ эс-х.Ц '*) -		матрица	спектральной	плотности			векторного
процесса		a	S	- матрица	взаимной		спектраль
ной	плотности	процессов		и	•
	Очевидно элементами этих матриц являются взаимные спек
тральные плотности			составляющих векторов			Х сч )и
	Корреляционные матрицы могут быть определены по соот
ветствующим спектральным s				помощью формул		обращения

K .< -XJ “ ur	d \ J K x ’jjtу •	- j	<•	^
			( 9 .2 0 )
В практических	приложениях функции	спектральных		плот

ностей обычно приближают дробно-рациональнымифункциями ком

плексной переменной	. С учетом свойств корреляцион
ных матриц ( 9 .1 5 ) и ( 9 .1 6 )	легко убедиться , что
x t С И	X X <-~<Н .	( 9 .2 1 )

т.е. матрица спектральной плотности				является	эрми
товой. Матрица (К х К)		спектральной плотности		S <**. явля
ется положительно	определенной,		г.е. выполняется условии:
	с-т	с			(-'•22)
при люо-ом векторе	^	* “ £ С - \ > С V	, ' • ,	( Г	КОМ-

ность одномерного процесса положительна при любом vO
Если матрица		неособая, т.е.	имеет ранг	Ю	,	то
ее можно представить в виде		произведения	двух матриц
			*•
				(9.23)
причем матрицы	и обратная е # . ф <-*)		имеют полюса
только в левой .полуплоскости комплексной плоскости				S	,	а
матрицы ф с-9 и { Ф тс- у Г		- только в правой.
Представление	матрицы	$>**10 в виде	(9.23) носит		наз

вание факторизации и играет важную роль в решении задач оп тимизации и построения фильтров, формирующих процессы с за данным спектром.

Из данного выше определения чисто случайного процесса

следует, что корреляционная функция к ^ ^ г )	такого	процесса
имеет вид
		(9.24)
и, соответственно, спектральная плотность постоянна:
X) = С Д .		(9.25)
Под многомерным белым шумом обычно понимают векторный
случайный процесс, составляющими которого	являются	не

коррелированных стационарных процессов с постоянными спек-

тральными плотностями.

Матрица его спектральной плотности диагонально и не за висит от 5 :

4. Модель входного воздействия. В задачах практики качестве входного сигнала системы ^сч) принимают обычно адди

- Т24 -

тивную смесь некоторого полезного сигнала ?>l*) и помехи *41^

Модель входного Ч, - мерного полезного вектора представляют

как сумму линейной комбинации известных вектор-функций (регу лярной части) и нерегулярного случайного вектора

		S	i*;	tx * j U	+X,L+J ,	(^27)
где	-	матрица	(1.x nI)	составляющих вектор-функций ре
гулярной	части,		% ~ • L ' f o -		-	вектор коэф
фициентов,		составляющие которого рассматриваются				как случай-
				\

■величины с заданной матрицей корреляционных моментов

k = k W	,	или как некоторые неизвестные			величины.*
Случайные	коэффициенты ii		С -- f хг }...}	)	считаются не
коррелированными со		значениями	составляющих	Mt*) и Х ц - у

Это предположение отражает тот.факт, что на практине регуляр

ная часть полезного сигнала, его нерегулярная часть и помеха

обычно порождаются независимыми друг от друга источниками. По

лагают потому, что Х ^ Ц и независимы и часто рассмат риваются как стационарные случайные процессы, задаваемые сво ими матрицами корреляционных функций или спектральных плот ностей. Математические ожидания их всегда могут быть отнесены н регулярной части, а сами они рассматриваться как центрирован ные.

- т25 -

§	10# Преобразование случайного сигнала
	•		*
	лииейвой	динамической	онотепой .
I .	Соотношения	во временной	области. Рассмотрим в рам-

мах корреляционной теории задачу определения вероятностных характеристик выходного вектора Y(t) линейной динамической

системы, возбуждаемой случайным входным вектором X(t) с

заданными характеристиками. Будем очитать, что система оп ределена своим вхид-выходным соответствием ( р и с . - П ) , на чальные условия нулевые.

G №	У	Ш
W (s ,t)	=	>
W (s ,t)

Рио.	II
В ооответотвии с	( 9 . 5 ) , полагая “Ьв * о	,	получим
	tr
Y w	=- j QCt,xj X(.v	.	(1ол'
	О		.

Применим к обоим частям этого равенства операцию матеыати-

ческого ожидания и поменяем местами операции интегрирования и математического ожидания.

i JG -U .V

или

(Ю.2)

(Ю.З)

a о

Таким образом математическое ожидание входа преобразует

ся" такч;е, как и сам сигнал. Определим теперь кор^е.чнциониук;

матрицу выходмого вектора m

Учитывая

( 1 0 .2 У'и

( 1 0 .3 )

получим:

t, t v

K a o v v * j ) е ч > « £ ) м ( х ^ ) ^ Х и ) Д с ч ^ д л а $ -

?с

- 1 j ^ л ) к * е д <^v ) «ц

( ю л >

Еоли система и входной сигнал стационарны, то с учетом

замены переменных

Х\

( Ю Л )

можно переписать

виде

*»

j ) G-^

CVtг , - t v) О (Xv) А х t

«(г< .

(ю .5)

в •

Это

озн ач ает ,

что

выходной

вейтор нестационарен.

Если система

подвержена воздействию сиоль угодно долго

в ( Ю Л )

нижние пределы при

интегрировании

следует

принять

равными

*t *t

■

(Ю.б)

e J

1&0,Д )1£

и тогда вм есто

( 1 0 . 5 )

получим

•.Касх> *

-1Г1»(ю^7)

—

т . е . выходной

вектор становится

стационарным

после

того ,

как

в систем^ заканчивается переходный

процесс.

Если

учесть

у с

ловие физической осущ ествимости,*то

( 1 0 .7 )

можно

записать в

виде*-^-

•

■

K 8W

= J

i\^dxx . ( i o . B )

.Определим теперь взаимную корреляционную матрицу выход-

юго

и входного

X {Ъ)

векторов

о	f л
	j . Учитывая (10.2) и (10.3)

долучим:

	,<)	] &(-Ч\) м \.Щ )[Х ^ х )] j &у-		(10.9)
	л
=•	»I ^ о*•» Л ) Ъ - Л Ъ ^ )		.
Если входной	сигнал и система стационарны, то[с учетом
замены переменных	"Ц~ ^	^ ^	' Ц -* *С	и

(Ю.9) можно переписать в виде

К *еЛ -Ч Ч ) а ]	«t*U •	(МЛО)
Если система подвержена воздействию сколь угодно долго, ниж
ний пределУинтернирования в (10.9)	следует, принять	равным
- ов •
О»
^ зх С -Ц Ч ) 1	,	(Ю .II)
и тогда вместо (IG.I0) получим	с	<
ос		(10.12)
J e'(-vOKxC'l+»0 <А\, ,		(10.12)

т.е. выходной и входной процессы по окончании переходного про

цесса в системе становятся стационарными и стационарно свя

занными.
2. Соотношения в	частотной области. Переходя к матрицам
спектральных плотностей применим к (10.8) преобразование Фурье.
Тогда получим:	«• о* «ю
	- 11 ] е~6	£ (4.JК * а * ^ -x j &(х.)4хХ^ А -
	~ХГ-X»-Ч*
7 , , , ,*w4	(гл	7 т -i^Tv

ч у л ) * ^X, ) 1 V U 4 V ^

d \ ) & щ е . <*tv ,

или		'
		,	(Ю.13)-
Для одномерных входа	и выхода (10.13) принимает вид
		..	(IU.I4)
Иногда при замене переменных в (10.Д) полагают
К а д - К( V	- 9	. и (IU.9) получают в виде

ххV (i(j.I5), Если входной сигнал еди

ничный векторный оелый ш^м, то

	.	.	(ю л е )
Сопоставление (10.16) и (9.23) дает основание утверждать,
что любой WI -	мерный стационарный процесс с рациональным
онентроы, может	рассматриваться как результат	прохождения

%- мерного белого шума через устойчивую стационарную сис

тему с частотной	характеристикой W i jtf)	. Такую систему
принято называть	многомерным формирующим	фильтром.
На практике	большинство случайных процессов.рассматри

вается нам результат такого преоиразования. В соответствии о

(10 ЛД)

тогда

очевидно,

что

спектральная

плотность

отдель

ных составляющих векторного

процесса

должна иметь

вид

X, X* t° ) '

fie

14.

Q i* .^

где ’ Pl t (,eo)

полнлоь-ы

степеней

и ’Ж

от

, с о

д е р ж а щ и

о л ь

к о

ч е

т и аргументаей' ; ' с

.п 4е

н и

Такой спектральной

плотности

соответствует

ксадехнци-

и пнаи _у кк ция

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ