книги из ГПНТБ / Князев А.Д. Элементы теории надежности радиоэлектронной аппаратуры учеб. пособие

Введем безразмерное время -=. , подставив (3-9) в

(3-5), чтобы получить связь между функцией надежности и средним временем безотказной работы

Полученная зависимость представляет собой тот же экс­ поненциальный закон надежности. Такие же приближенные формулы как (З-б) и (3-7) можно получить в преобразо­ ванном виде

К экспоненциальному закону надежности можно придти из функции распределения Пуассона, которую называют «законом редких событий» или «законом малых чисел». Рас­ пределение Пуассона характерно для таких случайных со­ бытий, которые возникают конечное число раз в длитель­ ной серии независимых друг от друга опытов, причем число этих событий мало по сравнению с общим числом опытов, а среднее число событий (математическое ожидание) по­ стоянно в единицу времени.

Распределение Пуассона встречается при анализе раз­ личных физических явлений. Например, такие случайные события, как распад атома радиоактивного вещества, обрыв нити на ткацко-прядильном станке, соединение между або­ нентами телефонной станции, являются событиями, вероят­ ность которых соответствует распределению Пуассона. Действительно, в этих примерах число ситуаций (число опытов) очень велико, но число событий, о которых идет речь, наоборот, очень мало. Число атомов даже в неболь­ шом объеме вещества огромно, но в единицу времени из них распадаются лишь немногие, число нитей весьма вели­ ко, но обрываются лишь некоторые, число возможных ком­ бинаций соединений абонентов тоже велико, но соединя­ ются, скажем, за один час сравнительно небольшое число абонентов. Характерным для таких случайных событий яв­ ляется постоянство их среднего числа в единицу времени (например, постоянство среднего числа распадающихся ато­ мов), и именно устойчивость этого числа при многократ­ ном воспроизведении опытов есть объективно существую­ щая характеристика указанных физических явлений.

40

Аналогичные закономерности случайных событий свой­ ственны и внезапным отказам изделий. Эти отказы возни­ кают несмотря на то, что в материале изделия еще не про­ изошло существенных физико-химических изменений, ха­

числе опытов. Важными обстоятельствами при таких опы­ тах являются постоянство (или почти постоянство) средней величины числа отказов и ее совпадение с величиной дис­ персии (разбросами числа отказов). Иными словами, если числовые характеристики статистического распределения отказов — математическое ожидание и дисперсия (разбро­ сы от этого математического ожидания) — равны или близ­ ки друг другу, то с большим основанием можно полагать, что такие отказы по своей природе являются внезапными и закономерность их появления можно выразить распределе­

из них (обычно математическое ожидание). Другие, распре­ деления вероятностей требуют знания более, чем одной числовой характеристики.

Следовательно, в период нормальной эксплуатации из­ делия (второй участок ^-характеристики), когда отказы проявляются как редкие случайные события, их закономер­ ность подчиняется распределению Пуассона.

Общая формула распределения Пуассона, выражающая вероятность появления п событий за интервал времени t, записывается в следующем виде:

где п — целые положительные числа 0, 1, 2, 3 и т. д.;

а — среднее число событий в заданный интервал вре­ мени t.

Пользуясь обозначениями теории надежности, можно за­ писать, что

a=Xt,

где Л — среднее число отказов в единицу времени.

41

В таком случае выражение (3-11) принимает вид

ni

Это уравнение позволяет определить вероятность любо­ го числа внезапных независимых друг от друга отказов в заданный отрезок времени, начиная от п=0. Если же опре­ делить отказы за очень продолжительное Бремя (в пределе t-+co), то сумма вероятностей всех отказов, т. е. полная группа вероятностей, должна равняться единице

представляя, что он является суммой всех несовместимых состояний изделия, его надежности и ненадежности. Зави­ симость членов этого ряда от времени можно представить графиками (рис. 15), предполагая, что масштаб оси орди-

42

нат выражен в долях среднего времени безотказной работы - J (безразмерное время) и что в каждый произвольный

момент сумма всех членов ряда соответствует уравнению (3-14). Так, например, для значений t, равных 0,1 Г, 0,5 Т и Т, вероятности определенного числа отказов приведены в табл. 3-1.

mm

" N 1 I I п

0,8 К

Рис. 15. Графики функций надежности и отказов изде­ лия в период .нормальной эксплуатации

43

что по современным представлениям является низкой вели­ чиной. Это значит, что при испытаниях на надежность, на­ пример, ста однотипных изделий, в течение Т безотказно проработают только 37 изделий, а остальные 63 выйдут из строя (см. рис. 14). При испытании на надежность слож­ ного изделия, состоящего из большого числа элементов, за тоже время Г, как следует из табл. 3-1, возникновение двух

Рис. 16. При расчетах надежности радиоэлектрон­ ного аппарата по признаку внезапных отказов часто используется только начальный участок экспоненциальной зависимости функции надеж­ ности

независимых отказов (вероятность более 18%), трех неза­ висимых отказов (вероятность более 6%) и т. д. также оз­ начает высокую вероятность выхода изделия из строя.

час

44

величина T—IO тыс. часов), что за это время многие изде­ лия изнашиваются. При этом ^-характеристика соответст­ вует третьему участку (см. рис. 7), когда использование распределения Пуассона неправомерно. Таким образом, время Г оказывается, практически, более длительным, че>' время нормальной эксплуатации изделия. Следовательно, для определения интервала времени, Б течение которого справедлив экспоненциальный закон надежности, необходи­ ма дополнительная информация о протяженности во вре­ мени зторого участка Я-характеристики, т. е. сведения о техническом ресурсе и долговечности изделия.

Практика показывает, что целесообразным является рас­

дежность Р(£)>0,9 и т. д. На рис. 16 показана часть кри­ вой функции надежности на отрезке времени от £ =0 до £=0,1 Т, на котором часто производится оценка вероятно­ сти внезапных отказов.

Итак, распределение Пуассона не только подтверждает экспоненциальный закон надежности, но и позволяет ана­ литически определить вероятность возникновения одного, двух и более отказов изделия в заданный отрезок времени. Однако, чтобы пользоваться этим распределением, необхо­ димо сделать еще некоторые уточнения.

В теории вероятностей есть понятие «поток событий», под которым подразумевается последовательность однород­ ных событий, возникающих случайно друг за другом. Если за бесконечно малый интервал времени в потоке исключе­ но появление двух и более событий, то он называется ор­ динарным. Если возникновение событий (в нашем случае, отказов) не зависит от числа и характера возникновения отказов до начала времени отсчета to, поскольку события определяются различными, не связанными друг с другом причинами, то это поток без последействия. Если вероят­ ность появления определенного числа событий не зависит от начала времени отсчета ^о, а зависит только от длитель­ ности времени наблюдения, т. е. если плотность потока по­ явления событий постоянна во времени, то он называется стационарным. Поток случайных событий, характеризую­ щийся ординарностью, отсутствием последействия и ста­ ционарностью, называется пуассоновским. Поток внезап­ ных отказов изделий в период их нормальной эксплуата-

45

Цйй является пуассоновскйм потоком. Ё этот период плот­ ность потока событий постоянна (А, —const) и среднее чис­ ло событий в произвольно выбранный промежуток времени т пропорционально его длительности іЯгс.

Теперь рассмотрим последний участок А-характеристи- ки, где преобладают постепенные отказы, которые не под­ чиняются условиям пуассоновского потока, поскольку здесь отсутствует стационарность появления событий и имеется последействие. В самом деле, момент постепенного отказа

С другой стороны, постепенные отказы зависят от боль­ шого числа различных причин, каждая из которых вносит свой «случайный вклад» в процесс изменения параметров изделия. Поэтому здесь оказывается справедливым нор­ мальный закон распределения вероятностей (закон Гаусса). Как известно, он применяется для анализа случайных со­ бытий, являющихся следствием действия большого числа независимых друг от друга факторов, близких примерно по своему удельному влиянию на эти события.

Нормальное распределение, например, имеет место в рассеивании при всех видах стрельбы. Это рассеивание яв­ ляется следствием элементарных погрешностей из-за боль­ шого числа случайностей: неточности в изготовлении сна­ ряда, неточности определения координат цели, неточности наводки и т. д.

Нормальное распределение имеет место при анализе по­ грешностей измерений, являющихся следствием большого числа случайных ошибок: неточности измерительного при­ бора, изменения параметров окружающей среды, неточность субъективной оценки оператора и множества других при­ чин, учесть которые не всегда представляется возможным.

Как отмечалось, постепенные отказы изделия также оп­ ределяются большим числом случайных факторов. Необра­ тимые процессы старения являются функцией энергии, по­ глощаемой изделием из внешнего пространства, благодаря чему в его материале возникают химические реакции (воз­ действие влаги, кислорода), создаются физические дефор­ мации молекулярной структуры материала (воздействие

46

механических, электрических, тепловых и других сил), про­ исходит диффузия между составными частями материала (например, в катоде электровакуумного прибора) и т. д. Постепенному изменению параметров изделия способству­ ют неоднородности материалов (посторонние включения, микротрещины), различия в электрической и механической прочности отдельных участков материала (преимуществен­ но «слабых звеньев»), различия в степени поглощения энер­ гии такими участками, а также в степени ее рассеивания и другие факторы. Чем больше запасы электрической и ме­ ханической прочности изделия, тем позже наступает кри­ тическое состояние износа и старения, при котором пара­ метры изделия изменяются настолько, что выходят за пре­ делы допусков ТУ. Процессы старения убыстряются лри повышении температуры окружающей среды, поскольку

t

Pwc. 17. В партии однотипных конденсаторов пробивное

^проб со временем

все тела способны поглощать и рассеивать тепловую энер­ гию. Например, считается, что при повышении рабочей температуры на каждые 10°С долговечность некоторых изо­ ляционных материалов уменьшается вдвое.

если они однотипны и изготовлены по одинаковому техно­ логическому процессу. Это приводит к дисперсии сроков старения и износа изделий в условиях эксплуатации. Так, например, при испытаниях на старение под напряжением

47

партии однотипных конденсаторов, изготовленных по оди­ наковой технологии, снижение величины пробивного на­ пряжения (см. рис. 2) характеризуется дисперсией времени пробоя (рис. 17). Это означает, что разные экземпляры такой партии в различное (случайное время от t% до U ста­ реют до состояния, при котором пробивное напряжение становится равным рабочему, имея математическое ожида­ ние времени работы до пробоя т. Если такую партию из достаточно большого числа конденсаторов разделить, ска­ жем, на три равных части и первую из них испытать на пробой в момент ^о = 0, вторую в момент Ь>Аз и третью — в момент tï>l\ (рис. 17), то можно ожидать, что дисперсия величины пробивного напряжения будет увеличиваться со временем, а математическое ожидание этого напряжения

уменьшаться, т. е. Ѵ°проб>Ѵ'Пр0б>Ѵщюб. Изменение запаса электрической прочности конденсаторов со временем ха­ рактеризуют распределения вероятности значения пробив­ ного напряжения Ѵщюб в каждой из испытуемых частей пар­ тии. Эти распределения должны быть близки к нормально­ му закону (рис. 18) или, вернее, к усеченному нормальному закону, поскольку здесь нет основания рассчитывать на ве­ личины Ѵдроб = ± со.

Для аналитического расчета величины надежности по признаку постепенных отказов надо располагать экспери-

48

ментальными данными по старению изделия, которые опре­ деляются статистическими методами. Получение этих дан­ ных значительно сложнее, чем À-характеристик изделия по знезапным отказам. Дело в том, что в случае постепенных отказов требуются более полные и более длительные испы­ тания, поскольку надо пройти цикл нормального использо­ вания изделий и определить старение в условиях, близких к эксплуатационным.

Как уже отмечалось, для постепенных отказов характер­ ны такие изменения параметров, которые выходят за преде­ лы допусков, установленных на эти параметры. Правильное определение допусков в производстве, когда еще не дейст­ вуют факторы старения в полной мере, само по себе пред­ ставляет сложную задачу. Для сравнительно простых изде­ лий допуски на их параметры часто могут определяться тех­ нологией производства и находят соответствующие обосно­ вания. Для более сложных изделий, таких, как функцио­ нальный узел, блок, аппарат и пр. определение производ­ ственных допусков нередко не получает необходимого обоснования. Особенно осложняется задача определения допусков с учетом старения параметров в функции време­ ни.

Это объясняется тем, что сложное изделие состоит из ряда простых, каждое из которых имеет свою закономер­ ность старения. Пои этом между ними существуют свои функциональные связи, по-разному влияющие на процесс старения выходного параметра сложного изделия. Для при­ мера, уменьшение крутизны лампы усилительного каскада за нижней предел допуска может привести к постепенному отказу каскада по его выходному параметру—коэффици­ енту усиления. Однако, если в каскаде изменить функцио­ нальные связи путем введения отрицательной обратной •связи, то при такой же величине уменьшения крутизны лам­ пы может и не быть постепенного отказа каскада.

Роль постепенных отказов при выходе из строя радио­ электронной аппаратуры велика. Так, например, по зару­ бежным данным в 91% случаев отказы электровакуумных приборов в наземной стационарной аппаратуре определя­ ются постепенным изменением параметров, в то время как их внезапные отказы составляют всего 9%. При испыта­ ниях полупроводниковых приборов чаще всего (в 90% слу­ чаев) наблюдается отклонение параметров от ТУ, в то вре-