книги из ГПНТБ / Гидродинамика лопаточных машин и общая механика [сб. ст
.].pdfn = (r>c + Ds)ÿ*-|ï +* |‘ЕРу5 |-(п + ' ' -РуЛ ■
Согласно методу Ритка |
параметр у 0 находится кэ зависимости |
|
|
дП |
= 0 |
или |
|
|
2 (De + D6) j, |
Уо + f |
Ep-^(n + i)ÿo-P£-О, |
откуда |
|
|
Я° = |
|
Pt |
|
Сю) |
|
(Г>«-Ч>,)Ь\|Е„*(п+і}
Это выражение определяет макоимлльпое значение прогиба в центре образца.
Максимальная деформация ребра опредѳляотоя зависимостью
LPE
Си)
(Dt +D5)sr‘, i + |- E p t ( n + l )
I
а максимальное напряженно
|
(12) |
|
tpt |
Напишем выраненпе |
(І 2) б о « е подробно, чтобы проаналиэиро |
вать влияние отдельных |
составляющих: |
<П
Полагая
Ее
|
2Pt |
|
|
Ее |
Й __I__Es hs I ~ |
h + fß (n + l) |
|
Ер |
1* 0 - ^ ) Е в Р ( І - ^ ) . |
||
|
1
ЕР |
I "(Mc |
, - («Г |
получим
2 P t ________
Это выражение после некоторых преобразованийможно привести к виду
4 . 1.
|
бптах _ |
|
3 |
& |
Q Q) |
|
• |
1 |
3 |
\ l l |
6 |
Так как |
h -*= Е |
, то второе слагаемое в знаменателе |
|||
Сі8) ноиного меньше единицы, |
поэтому |
|
|||
|
timax |
„ |
î |
X |
(ХЧ) |
Р~ з' в
В этом выражении фигурирует шаг t |
вместо расстояния 11 в |
свету" So . Это вполне понятно,'так как при выводе основных соотношений всюду считалось, что ребро бесконечно тонкоь.
По существу задачи выражение Сіі0 следует переписать в виде
|
|
Отач - ^ |
|
! |
. (15) |
где |
л |
~ коэіф'йциеьт |
при 'жесткой наделке краев пласти |
||
з |
|||||
ны. |
1 |
|
|
|
|
|
Поли предположить теперь, |
что |
каждое ребро при |
испытании плос |
|
кого |
образца |
нагружено равномерно, |
то напряжение в |
нем |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
6 = ~ » |
|
|
(Хб) |
;О
Сравнение (15) и (Іб), показывает, что при испытании плоского образца его центральное ребро нагружено в 1,88 раза’ больше, Чем ребро, раоотавдее в системе с равномерным распределением усилий цо ребрам. Такая перегрузка центрального ребра Сили группы цен
тральных ребер, так как по мере появления деформаций в ребрах про исходит перераспределение усилий) приводит к Тому,Что разрушение плоского образца происходит в центральной части в чиде выпучивания
При этой величина разрушавшего давлений на плоских образцах при меров на 30# HHse.no сравнению с величиной разрушающего давле - ния на цилиндрических образцах.
Выше был рассмотрен случай жёсткой заделки краев пластин. В случае шарнирного опирания значение коэффициента Д получается равным 'Уу,' =» 1,27, Отсюда можно оделать внвод, что условия закрепления краев пластин в плоском образце не являются опредз - ляющимн.
Дальнейшая задача расчета плоских образцов состоит в опреде лении давления, пр* котором в ребрах разливаются пляотичеокие де формации, а также разрушающего давления. При.решении задачи ис
пользуем энергетический метод. Предполагаем, что |
материал ребер - |
|||||
кѳс-тко-упрочыяющийоя с линейным изотропным упрочением. |
||||||
|
Закон |
упрочнения |
представили |
я виде |
|
|
|
|
|
|
< з ( т ) = б 0 ( и н ^ ) , |
|
|
где |
Н |
- параметр |
упрочнения; |
|
|
|
Y = ^ ( i+ £ ') |
- |
логарифмическая деформация; |
бо -напряже |
|||
ние от внутреннего |
давления. |
|
|
|||
Для |
линейного упрочнения |
|
|
|||
|
|
|
|
6 е [ і + і!п ( н £ в)3 - б р ( |
|
|
|
|
|
|
б о Е п (Н £ в) |
|
|
где |
б{, - |
предел |
прочности; £ 8 |
~ равномерная |
пластическая де |
|
формация. |
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрение |
упрочняющегося материала имеет омыол при реше |
||||
нии задач с учетом больших деформаций. Постому составим выражение для скорости диссипации энергии с учетом больших деформаций. По аналогии с выражением
Ь = J " 6 o w « ( £ ) d V
(V)
получим
D= j 6 o [ l + Hfo(l + £ )]jfg < W , lv>
где . £ - относительная деформация на соответствующих скоро стях .
I |
Работа, которую производит внутреннее давление |
на |
|
соответствующих скоростях перемещений |
tj(X ) • определяется |
||
по |
зависимости |
|
|
■» |
|
À = |
|
J P ÿ O O d s |
, |
( 18) |
||
|
|
|
CS) |
|
|
|
|
|
гцв |
dS |
- элемент площади. |
|
|
|
|
||
: |
Приравнивание выражений (17) и (18) приводит |
к формуле для |
||||||
Предельного давления. |
|
|
|
|
|
|
||
|
Величину деформации |
L-го |
ребра определим как и прежде: |
|||||
|
|
£ і = - |
S cm4■—А |
|
■ (19) |
|||
|
|
|
&1П |
0+1 |
|
|||
Подстановка (19) в (17) приводит к выражению для скорости |
||||||||
диссипации |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£L |
|
|
|
|
|
|
|
|
n+t |
■6ft |
|
|
||
|
|
|
|
ä L |
|
(го) |
||
|
|
1+ |
|
|
|
|
||
|
|
|
n+l |
|
|
|
||
Провести суммирование в Выражении (20) и получить результат в замкнутом виде, по-видимому, не представляется возможным» По этому сделаем в нем некоторые упрощения. Разложив tn ( I +
в ряд и ограничив разложение двумя членами, а также избавившись от зпаменателя, получим
В этом |
выражении отброшены члены порядка |
( U0/ h ) 2 |
1,0 °Раяйе- |
иию с |
единицей. |
|
|
В выражении (21) суммирование выполняется легко, |
поскольку |
|
Г'віи» 3 £ І |
= Ü+L |
( 22) |
І > nä=;ri+j |
2 |
|
i=i
злу Окончательно о учетомѴСб) и (22) получим
D = 6 0ÿ o 6 ( n + l) [ | +| ( H - l ) ^ ]
Поскольку макоимальная деформация составляет
|
£ток = £о = |
' |
* |
|
|
то |
|
|
|
|
|
І) - |
б о ÿ o 6 ( n + l j [ | + ^ ( Н |
+ і) £ о] |
(23) |
||
В силу сделанных выше упрощений выражение дли параметра Н |
|||||
принимает вйд |
|
|
|
|
|
|
н _ |
бк(| +£ |)-б 0 |
|
|
|
|
П ' |
ВоEs |
|
|
|
Работа, проиэвогч^ая |
давлением |
Р |
да соответствующих ско |
||
ростях перемещений |
$ (Х ) .определяется; следующим образом: |
||||
|
À =2£p-s„(i + eL)$i |
|
(2й) |
||
|
і=і |
|
|
|
|
Здесь учтено, что при деформации (растяжении) ребер рвсстон вне " в свету" между ними увеличивается за счет утонения ребер и составляет
St = So ( i + £і)
Выражение (гч) в развернутом виде
м-Г
После соответствующих вычислений получим
 = P S ojj.(n+ l)(l + $ £ ,)
Приравнивание выражений (28) и (25) приводит к зависимости давле
ния от деформации: |
|
|
|
|
_ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
І + |( Н - І ) £ в |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ л- £о. |
|
|
(26 ) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Обозначив |
P0=608/So |
|
, представим |
(2б) в |
безразмерной |
||||||||
форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
іЧ ( И - і) £ 0 |
|
|
|
Р(£о) |
|
(27) |
|
|||||
|
Р(£о) = |
I + |- £ 0 |
|
|
Р (£о) = |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ро |
|
|
|
|
|||
|
Поведение функции Р(Со) |
существенно |
зависит от значения |
|||||||||||
параметра |
Н |
. При Н=2. |
Р(£о)=І |
и не зависит от |
£ 0 |
|
||||||||
8начоние |
Н* = 2 ' |
называют'обычно критическим |
значением пара |
|||||||||||
метра |
упрочнения. В |
втом |
легко |
убедиться,еоли применить |
к функ |
|||||||||
ции |
Р(£о) условие |
устойчивости Друккера |
d 6 g d 6 ij? 0 |
|
|
|||||||||
Дифференцируя |
Р(£о) |
|
по |
£ 0 . |
и.приравнивая |
результата |
||||||||
нулю, |
находим |
Н *=2 |
• Обычно же, в приложениях |
• Н >2 |
, и |
|||||||||
понтону решение |
(27) |
является |
пластически |
устойчивымь |
|
|
||||||||
1 |
Чтобы найти величину разрушающего давления, |
надо в формуле |
||||||||||||
(2б) |
положить |
£ 0 = Ее , |
где |
Eg |
- |
равномерная |
пластическая де |
|||||||
формация. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
' |
|
|
Таким образом, |
между'плоским образцом |
и двухслойной |
оболоч |
||||||||||
кой вращения еоть некоторое "прочностное" несоответствие.Приве денный метод расчета на прочность показывает, что плоский обра зец дает при испытании заниженное разрушающее давление.
Для оценки прочности двухслойной оболочки вращения по реб рам были изготовлены и испытаны с целью определения разрушающе го давления плоские образцы. Величины средних разрушающих нагру зок для плоских образцов, полученные при испытании, несколько.вы
ше результатов, |
полученных расчетным |
путем. Разница составляет |
|
5 +■ 15%, что вполне удовлетворительно |
для решения практических |
||
задач. |
|
|
|
|
ЛИТЕРАТУРА |
|
|
I . Биргер И.А., |
ІІІорр Б.Ф. и ШнейдеровиЧ |
Р.М. Расчет на прочность |
|
деталей |
машин. "Машиностроение". |
М.,1966. |
|
УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ,ШіГРУШІНОЙ ПЕРЕМЕННЫМШОЛЬ БЕ 0БРА8ШІЕЙ ДАВЛЕНИЕМ
В.В.Ершов, В.А.Рябцев
Пусть свободно опертая по торцам цилиндрическая оболочке на-
грувена внешний давлением, изменяющийся по закону
\
|
|
|
|
|
Я |
^ я Л |
я - ^ р |
м |
] |
- |
Сі) |
|
где |
|
“ давление |
При |
Х=0 |
; |
р (Х )- |
непрерывная |
на отрезке |
||||
[0,L] |
функция; |
cL |
- малый параметр; |
X |
-оееван координата; |
|||||||
L |
- |
длина оболочки. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Функция прогиба срединной поверхности оболочки аппроксими |
|||||||||||
руется |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W= ^(Xj С05П1? Т |
|
|
• ( г ) ' |
|||
ГДѳ |
'■{ЧХ) - Функциональная неизвестная, подлеаащая определению; |
|||||||||||
|
П - число |
полуволн вдоль окруиности |
оболочки |
при потере |
||||||||
устойчивости; |
ij> |
- |
угловая координата |
оболочки. |
|
|||||||
|
На основе "технической" полубезмоментной теории и вариацион |
|||||||||||
ного |
уравнения |
Эйлера, аналогично |
[ I ] |
і, |
йолучается |
краевая за |
||||||
дача |
на |
собственные |
значения |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Н ^ - Л 0 [ і - ^ ( д ) ] і |і |
=о |
(s) |
|||||
£ |
и |
(М |
- модуль |
Юнга и козффициент Пуассона материала оболочки; |
R |
И |
h |
~ радиус |
и толщина оболочки; |
дифференциальный оператор, определенный в гильбертовом простран -
стве |
La Cu.i.) |
ня множестве функций, имеющих четвертые проиавод- |
|||||||
ные и удовлетворяющих краевым уоловиям М . |
|
|
|
||||||
|
При |
|
ß (x )= 0 |
из (8 ), (й) |
получается краевая |
задача |
|||
|
|
|
|
|
НЧ> -АоН* = 0 , |
|
|
( 6 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
*=а,(- = 0 1 |
X-U,L |
= 0 , |
|
(7) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
Ли |
- |
собственное вначение |
оператора |
Н |
при _р(Х^=0 . |
|||
По |
Ао |
.очевидно, |
определяется величина критического постоянного |
||||||
вдоль образующей оболочки давления. |
|
|
|
||||||
|
Согласно. [2 ] , |
оператор Н |
положительно |
определенный и |
|||||
самооопрмшшьй. Из минимального принципа Редея следует,,что |
|||||||||
|
|
|
л |
< ItÜ fcV tl < |
( Н ^ . г ) |
_ |
* |
||
|
|
. |
|
0 |
в г « ѵ |
( D 4 P W } f , f ) |
|
’ |
|
где |
ір° |
- собственная функция |
краевой задачи |
(З), |
(О ; |
||||
|
|
L |
|
|
>- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- норма Функции |
VJ;0 |
в |
простран оме |
|
|
|
■ 0 |
|
|
I |
L, |
|
|
|
|
Ц [о ,ы ; |
{ [« -л _ р (х )]^ * ,і|ів| в J [ i - et ^ w ) ] ( f ’)ad x . |
|||||||
Следовательно, |
для |
любой непрерывной функции [ l '-otp(X)] £ 0 |
|||||||
на отрезке |
[О ,И |
справедливо неравенство |
До < Л° |
|
|||||
- з а
явил; санооопряжепностп и положительной определенности опера тора Н Ао>К • Тогда общее решение дифференциального уравнения (б) занишетоя в виде
Ч< =С,с(ірХ + Cj,ShpX + С3С05рХ + С/, sin р х ,
где |
P n - A o " lf |
.Code тотиное значение |
До. |
краевой |
зада- |
чи (б), |
(7) определяется из краевых, уоловнй |
(7) и |
условия отсут |
||
ствия тривиальных |
решений для коэффициентов |
Сі |
; которое |
при |
|
водится |
к уравнению |
sh p L ’S inpL =0 |
|
. Если р f |
О- |
, то |
||||||||
корнями этого |
уравнения |
будут |
р = р 0 = т Л Д , |
|
|
|
||||||||
( т |
= |
1 ,2 ,3 ... ) . Для |
оболочек, нагруженных |
внешним давлением, |
||||||||||
ГЛ |
= |
I . |
Поэтому собственная функция |
фо |
и собственное значе |
|||||||||
ние |
До |
краевой задачи |
(б ), (? ) принимают вид |
|
|
|
||||||||
Ао = Р о П |
|
|
подстановки |
Л„ и "Ц |
из |
(5) |
в |
последнее выра |
||||||
|
В результате |
|||||||||||||
жение получается |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
а* |
- Л ІИ * |
- |
!2 ( i - ^ ) R |
, |
Po |
R8 |
|
|
|
(в ) |
|||
|
|
|
E h “ |
' |
п*(пг- і-) h |
|
|
|
||||||
где |
с^* |
|
- верхнее постоянное безразмерное критическое давление |
|||||||||||
цилиндрической |
оболочки. Минимизация |
ф* |
по |
П2 |
, |
с учетом |
||||||||
того, |
что |
рассматриваются оболочки средней длины, |
для |
которых |
||||||||||
П* » |
! |
|
|
, дает формулу для определения критического числа |
||||||||||
полуволн |
|
п* |
оболочки, нагруженной |
постоянным япвлонпем |
||||||||||
После подстановки (9) в (в ) (при П2 » I , ) получается фор
мула
9(і*ѵМ |
2 ч 0,75 |
OiR à |
(іо) |
) |
L |
|
Фориулы ( 9 ) - и (ІО) совпадают с |
аналогичными формулами, |
приведен - |
|||||||||||||||||||
ними в |
[ 1 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пуоть |
собственная функция |
|
if/ |
и собственное |
значение |
|||||||||||||||
Д° |
краевой |
задачи |
(й ), |
С'*) |
представляются |
рядами |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f |
= |
^ |
> |
j |
, |
|
* |
' |
|
|
|
|
(И ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і=о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
À° = £ |
A |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
( i s ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
j- a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Можно доказать, что |
ряды |
( i l ) , |
(12) |
сходятся |
при |
сС < I |
|
|||||||||||||
к собственной |
функции |
' |
іу" |
и собственному |
ніаченню |
|
А0 . |
крае |
|||||||||||||
вой |
задачи |
(а ), |
О»), причем ряд ( I I ) |
оходитоя равномерно |
по |
X |
|||||||||||||||
па отрезке |
[u,L ] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
После |
подстановки |
рядов |
( i l ) , |
(12) в |
(3 ), |
(4) и приравнивания |
||||||||||||||
множителей при различных степенях параметра |
еС |
|
нулю, |
получается |
|||||||||||||||||
семейство |
краевых задач |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Hipj -A o fj^ F jÇ x , ч*«,S'.■ . f(j-i),АіА і,—А ] , |
|
|
(ig) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
=ü |
|
|
|
|
|
|
- 0 , |
|
|
|
|
(l<0 |
|||
|
p. |
|
|
|
A-D,L |
|
|
|
СІХ2 |
|
X= 0,L |
|
|
|
|
|
|
\ |
|||
где |
|
|
- |
комбинации |
|
|
|
ifj |
и |
|
Aj- |
||||||||||
f j ( . . . ) |
известных |
функций |
|
, |
|||||||||||||||||
подученных |
при решении ( |
|
j - l |
) |
первых |
краевых |
задач |
( is ) , (14). |
|||||||||||||
Воли |
( |
j |
- і ) |
первых |
краевых |
задач |
(І9 ), |
(іч ) |
решены, |
то |
при |
||||||||||
і|4> f |
0 |
, |
|
j -тая |
краевед |
задача |
(ій ), |
(іч ) |
решаетоя |
при уоат |
|||||||||||
вии |
3 |
|
|
|
|
■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
'1 |
; |
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I % |
|
|
^ |
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
^15) |
||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это условие всегда будет выполняться еоли его рассматривать как |
|||||||||||||||||||||
уравнение |
для определения |
Aj |
. Тогда решение |
J |
-той |
краевой |
|||||||||||||||
задачи |
(18), (ІЧ) запишется |
в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||