книги из ГПНТБ / Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник

При пересечении поверхности торса плос­ костью, перпендикулярной к касательной ребра возврата, получается кривая линия с вершиной острия, касательная в которой является главной нормалью ребра возврата поверхности. Соприкасающаяся плоскость ребра возврата является касательной плос­ костью торса. Это необходимо учитывать при исследовании пространственных кривых.

Таким образом, касательная плоскость 271

кторсу в точке его ребра возврата определя­ ется касательной к ребру возврата и каса­ тельной в вершине острия к линии пересе­ чения торса плоскостью, перпендикулярной

кпервой касательной в рассматриваемой точке. Следовательно, в каждой точке ребра возврата торса можно построить только одну касательную к торсу плоскость.

построить любые две кривые линии, прохо­ дящие через заданную точку. За такие линии обычно принимают параллель и меридиан поверхности.

На рис. 392 построена касательная плос­ кость к поверхности вращения, заданной очерками, в намеченной на ней точке сс'. Касательная плоскость определяется каса­ тельной прямой ас, а'с' к параллели точки сс' и касательной прямой сЬ, с'Ъ' к меридиану этой точки.

Для определения фронтальной проекции с'Ъ' касательной прямой меридиональную плоскость NH путем вращения вокруг оси поверхности совмещаем с фронтальной ме­

не изменяет своего положения, и, следова­ тельно, искомой фронтальной проекцией ка­ сательной является прямая линия s'c'. Плос­ кость, заданная двумя пересекающимися в точке сс' касательными (одна — параллели, другая меридиана), является касательной плоскостью к заданной поверхности вра­ щения в точке сс'.

При вращении меридиональной плоскос­ ти вокруг оси поверхности вращения каса­ тельная sc, s'c' образует поверхность конуса вращения, которая касается заданной по­

верхности вращения по параллели точки сс . Построенная плоскость асЪ, а'с'Ъ', очевидно, касается указанного конуса вращения по его образующей sc, s'c'.

Д л я случаев, когда к поверхности враще­ ния проводятся касательные плоскости, про-

Р и с. 392

272ходящие через точку, лежащую вне поверх­ ности, или касательные плоскости, парал­ лельные заданному направлению, имеется множество решений.

Через точку вне поверхности вращения можно провести множество плоскостей, ка­ сательных к поверхности. Поверхностью, огибающей это семейство плоскостей, явля­ ется некоторая взаимокасательная ç поверх­ ностью вращения коническая поверхность.

Кривую линию соприкасания поверхнос­ тей следует рассматривать как геометри­ ческое место точек касания поверхности вра­ щения касательными плоскостями, проходя­ щими через заданную точку. Касательных к поверхности вращения плоскостей, парал­ лельных заданному направлению, можно провести также множество. Это семейство плоскостей огибает цилиндрическая поверх-

ность, взаимокасательная с рассматривае­ мой поверхностью вращения, для которой заданное направление служит направлением образующих. Кривая линия взаимокасаний является геометрическим местом точек ка­ сания поверхности плоскостями.

Рассмотрим построение взаимокасатель­ ных конических и цилиндрических поверх­ ностей с поверхностью вращения — со сфе­ рой.

На рис. 393 построена взаимокасатель­ ная со сферой коническая поверхность, вер­ шиной которой является точка ss', лежащая во фронтальной меридиональной плоскости сферы.

Линией взаимокасания поверхностей яв­ ляется окружность, плоскость Тѵ которой перпендикулярна к прямой линии os, о's', соединяющей точку ss' с центром оо' сферы.

По касательным к сфере фронтально-про­ ецирующим плоскостям Міѵ и Мгѵ, про­ ходящим через вершину ss', определяем высшую и низшую точки 1Г и 22' линии взаи­ мокасания. Эти точки являются одновре­ менно точками, расположенными на фрон­ тальном меридиане сферы.

По касательным к сфере горизонтальнопроецирующим плоскостям Ызн и NAH определяем точки касания 33' и 44', располо­ женные на экваторе сферы.

Горизонтальной проекцией окружности взаимокасания является эллипс, малая ось которого — отрезок 12, а большая ось — горизонтальная проекция 56 диаметра 56, 5'6' окружности, параллельного горизон­ тальной плоскости проекций Н.

Л ю б у ю из промежуточных точек линии взаимокасания определяем по условию их расположения на соответствующей парал­ лели сферы.

Случай, когда вершина ss' касательного к сфере конуса не находится во фронтальной меридиональной плоскости сферы, показан на рис. 394.

Фронтально-проецирующие плоскости MIV и MIV, проходящие через вершину ss'

икасательные к сфере, определяют точки 11'

и22' линии взаимокасания, лежащие на фронтальном меридиане сферы.

Горизонтально-проецирующие плоско­ сти N3H и NAH, касательные к сфере, оп­ ределяют точки 33' и 44' линии взаимокаса­ ния, лежащие на экваторе.

Для определения горизонтальной проек­ ции окружности взаимокасания совместим путем вращения вокруг вертикальной оси сферы меридиональную плоскость NSH С фронтальной меридиональной плоскостью. Определяем смещенные проекции а\а\ и bib'i высшей и низшей точек, а также истин­ ную величину a'i b'i диаметра окружности взаимокасания и смещенную проекцию цент­ ра этой окружности. Путем восстановления плоскости находим малую и большую оси ab и cd (cd=a'i b'i) эллипса горизонтальной проекции окружности взаимокасания и со­ пряженные диаметры а'Ь'. и e'd' эллипса фронтальной проекции окружности взаимо касания. По сопряженным диаметрам а'Ь'

и e'd' строим эллипс фронтальной проекции 273 окружности соприкасания.

Л ю б у ю из промежуточных точек окруж­ ности соприкасания определяем по условию их принадлежности соответствующей парал­ лели сферы.

На рис. 395 построена линия взаимокаса­ ния сферы с цилиндром вращения, ось кото­ рого параллельна фронтальной плоскости проекций V.

Окружность соприкасания находится в плоскости Тѵ, перпендикулярной к оси ци­ линдра и проходящей через центр оо' сферы. Плоскость Тѵ пересекает сферу по окруж­ ности, диаметр которой равен диаметру сферы.

Горизонтальной проекцией окружности соприкасания является эллипс, в котором отрезок 12 —• большая ось и отрезок 34 — малая ось.

Недостающие горизонтальные проекции точек 55' и 66' линии взаимокасания опреде-

Р и с. 395

поверхности, являются следами Мѵ сме­

щенными проекциями точек касания поверх­ ности врашения этими плоскостями.

Определяем основные проекции точек касания сс' и кк'. Искомые касательные плос­ кости определены прямыми линиями, каса­ тельными в найденных точках к параллелям и меридианам поверхности вращения.

Построение проходящих через данную прямую линию касательных плоскостей к поверхности вращения производят при по­ мощи вспомогательного однополостного ги­ перболоида вращения.

На рис. 397 показано решение такой за­ дачи для поверхности вращения, заданной очерками. Касательная к поверхности вра­ щения плоскость проходит через прямую линию ab, a'b'.

Построим соосный с заданной поверх­ ностью вращения вспомогательный гипер­ болоид вращения, производящей линией ко­ торого является данная прямая линия ab, a'b'. Прямые линии, касательные к фронталь­ ным очеркам данной и вспомогательной по­ верхностей, являются фронтальными следа­ ми Qv плоскостей, касательных одновре­ менно к обеим поверхностям. В этих плоскос­ тях находятся соответствующие положения

а\Ь\, а\ Ь\ и aibi, а'г Ъ'г производящей линии гиперболоида, а также и искомые точки касания.

При вращении плоскостей Qv вокруг оси поверхности вращения они все время остают­ ся касательными плоскостями к обеим по­ верхностям, а точки сіс\ и кік\ их касания поверхности вращения и точки did'i и mn'i касания гиперболоида перемещаются по со­ ответствующим параллелям этих поверхнос­ тей. Когда при вращении производящие

а\Ь\,а\Ъ\ и агЬг, а'г Ъ'г занимают положе­ ния производящей линии ab, a'b', точки касания с\с\ и к\к\ вращающихся плоскос-

Р и с. 397

тей занимают, повернувшись на соответ­ ствующие углы, положения сс' и кк'.

Искомыми касательными плоскостями являются плоскости cab, c'a'Ь' и kab, k'a'b'.

У поверхностей вращения особыми точ­ ками являются точки пересечения меридиана с осью вращения. Эти точки не имеют ходов. Касательные плоскости в точках меридиана, как известно, перпендикулярны к соответ­

тельную плоскость, пользуясь лишь каса­ тельной к тому меридиану, к которому отне­ сена эта особая точка.

Поверхности вращения имеют бесконечно много меридиональных плоскостей и, сле­ довательно, в особой точке поверхности вра­ щения можно построить бесконечное мно-

2 76 жество ее касательных плоскостей. Если меридиан поверхности вращения пересекает ось под прямым углом, то все касательные

плоскости в этой особой точке сливаются в одну касательную плоскость, перпендику­ лярную к оси поверхности вращения.

Гиперболические точки имеют многие поверхности: линейчатые неразвертывающиеся (косые) поверхности, вогнутые по­ верхности вращения, винтовые поверхности и др.

Рассмотрим, как изменяются направле­ ния касательных плоскостей в точках косой поверхности.

Пусть производящая прямая линия неко­ торой косой поверхности, совершив беско­ нечно малое перемещение, переходит из по­

линия совершает перемещение, состоящее из поступательного перемещения в направлении ММ\, на величину Д2 и вращательного пе­ ремещения вокруг прямой линии ММі на угол A ß.

Через точку Е прямой линии AB прове­ дем плоскость, перпендикулярную к прямой

прямыми линиями намечается прямоуголь­

и поворачивая ее, до совпадения с прямой А\В\. При этом приближении секущие ЕЕ\ и ММі косой поверхности занимают поло­ жения перпендикулярных к прямой АіВі ка­ сательных прямых линий к этой поверхности в ее точках Е\ и М\. Эти касательные и про­ изводящая линия А1 В\ определяют как поло­ жения, так и направления касательных плос­

плоскостью.

Величина угла ф треугольника Е\ КЕ в пре­ деле равна величине угла между направле­ ниями касательных плоскостей в централь­ ной точке производящей линии и в точке, отстоящей на расстоянии х от центральной точки.

После подстановки полученная выше за­ висимость имеет вид

'Е

Р и с. 398

косой поверхности вдоль ее производящей линии образуют поверхность прямого ги­ перболического параболоида. Эту поверх­ ность называют параболоидом нормалей. Его плоскостью параллелизма является плос­ кость, перпендикулярная к производящей ли­ нии поверхности.

При движении точки касания по произ­ водящей линии, начиная от центральной точ­ ки, касательная плоскость вращается вокруг производящей линии, и ее угол поворота

ф45° при X рк и ф 90° при х = со .

Задачи на построение касательных плос­

костей к косым поверхностям можно ре­ шать, применяя однополостные гиперболо­ иды, соприкасающиеся с этими поверхностя­ ми вдоль образующих.

Общим видом задания косой поверх­ ности является задание ее тремя направляю­ щими кривыми линиями (рис. 399). Рассмот­ рим на этой поверхности два бесконечно

Если провести на поверхности какуюлибо кривую линию, то касательная к ней г* является также предельным положением се­ кущей, проходящей через точки пересечения К и Кі этой кривой линии с бесконечно близ­ кими положениями MN и MiNi производя­ щей линии. Поэтому всякая прямая линия,

которая пересекает бесконечно близкие по­ ложения производящей линии, в пределе пе­ реходит в касательную к поверхности.

Примем три секущие ААі, ВВі и ССі за направляющие линии однополостного ги­ перболоида. Когда эти секущие при сближе­ нии положений MN и MiNi производящей займут положения касательных ІЛ, tB, tc, однополостный гиперболоид, деформируясь, займет свое предельное положение, в кото­ ром он с заданной поверхностью имеет об­ щую производящую MN соприкасания.

В каждой точке этой производящей ли­ нии можно провести к поверхности каса-

277

Р и с . 399

тельную прямую линию, которая может входить в систему направляющих линий соприкасающегося однополостного гипер­ болоида. Этот гиперболоид называют со­

метить сколь угодно много соприкасающих­ ся гиперболоидов косой поверхности по за­ данной ее производящей линии.

Если за направляющие линии соприка­ сающегося однополостного гиперболоида принять три касательные, параллельные ка­ кой-либо плоскости, то он будет иметь вид гиперболического параболоида. Эти поверх­

плоскости к косому цилиндру с тремя на­ правляющими в заданной его точке.

На рис. 400 поверхность задана тремя направляющими: двумя дугами окружнос­ тей, лежащих в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций V, и пря­ мой ef, e'f, перпендикулярной к плоскости V.

На поверхности$(левая половина чертежа) взята производящая прямая 12, Г2' и на ней точка /с/с'. Для построения в этой точке каса­ тельной плоскости к поверхности проводим в точках 11' и 22' направляющих линий каса­ тельные к ним и принимаем эти касательные и прямую линию ef, e'f за направляющие линии вспомогательного соприкасающегося гиперболоида.

Г л а в а X I . П л о с к о с т и , к а с а т е л ь н ы е к п о в е р х н о с т я м

278

Р и с . 400

Затем строим два каких-либо положе­ ния 34, 3'4' и 56, 5'6' производящей этого гиперболоида. Положения производящей строим (сначала фронтальные проекции) по условию, что они пересекаются с направля­ ющими линиями гиперболоида. Касательная плоскость к заданной поверхности в точке кк' по ее принадлежности к системе направ­ ляющих гиперболоида пересекается образу­ ющими 34, 3'4' и 56, 5'6', которые являются скрещивающимися прямыми линиями.

Таким образом, нужно решить следую­ щую задачу: через данную точку провести прямую, пересекающую две заданные скре­ щивающиеся прямые линии. Через точку кк' проводим прямую линию, параллельную прямой 34, 3'4'. Находим точку gg' пересе­ чения прямой 56, 5'6' с плоскостью указан­ ных параллельных прямых линий.

Чтобы найти точку gg', проводим гори­ зонтально-проецирующую плоскость пря­ мой 56, 5'6'. Эта плоскость пересекается с плоскостью параллельных прямых по пря­

мой линии 78, 78', которая в пересечении с прямой 56, 5'6' дает искомую точку gg'.

Прямая линия, проходящая через точки gg' и кк', является касательной к косой по­ верхности в точке кк', а плоскость 2kg, 2'k'g', составленная этой касательной и про­ изводящей линией 12, Г2',— искомой каса­ тельной плоскостью.

На правой половине чертежа (см. рис. 400) показано решение задачи по определению точки хх' касания заданной поверхности с плоскостью abc, a'b'c', где ab, a'b'— заданная производящая линия поверхности.

Строим касательные в точках / / ' и 22'

кнаправляющим линиям и принимаем их

ипрямую линию ef, e'f за направляющие прямые линии вспомогательного соприкаса­ ющегося гиперболоида. Строим две образу­ ющие линии 34, 3'4' и 56, 5'6' этого гипербо­

лоида и определяем точки пересечения 77' и 88' (на чертеже показаны только их фрон­ тальные проекции) этих образующих с за­ данной плоскостью abc, a'b'c'.

Прямая линия 78, 7'8', как пересекающая­ ся образующими гиперболоида, отнесена к направляющим его линиям и потому явля­ ется одной из касательных прямых линий к заданной косой поверхности. Точка пере­ сечения хх' этой касательной с производя­ щей прямой ab, a'b' является искомой точкой касания заданной поверхности плоскостью abc, a'b'c'.

Рассмотрим построение касательных плоскостей к вогнутым поверхностям вра­ щения.

На рис. 401 показана обращенная к оси вращения часть тора, в точке сс' которого построена касательная к нему плоскость. Точка сс' находится во фронтальной ме­ ридиональной плоскости. Касательная плос­ кость Q у является фронтально-проецирую­ щей и определяется касательными tit'i и Ы'і, проведенными к фронтальному мери­ диану и соответствующей параллели. Каса­ тельная плоскость Qv пересекает поверх­ ность тора по кривым линиям, которые между собой пересекаются в точке сс'. Каса­ тельные tt' к этим кривым линиям в точке их пересечения сс' являются главными каса­ тельными поверхности тора в точке сс'.

Винтовые поверхности, кроме торса-гели­ коида, являются поверхностями с гипербо­ лическими точками.

На рис. 402 построена касательная плос­ кость в точке сс' винтовой поверхности пра­ вого хода, заданной базовой линией и произ­ водящей ab, a'b'.

Искомую касательную плоскость опре­ деляем касательной тс, т'с' к производя­ щей линии в точке сс' и касательной cd, c'd' к винтовому ходу точки сс'. Окружность радиусом гс является горизонтальной про­ екцией этого винтового хода.

Для определения фронтальной проекции c'd' касательной строим вспомогательный конус торса-геликоида этой цилиндриче­ ской винтовой линии. Вершиной конуса вра­

щения является точка кк', а окружностью 279 основания — окружность радиусом гс.

Прямая kl, параллельная прямой линии cd, является горизонтальной проекцией об­ разующей конуса, параллельной касатель­ ной cd, c'd', а прямая линия к'Г— фронталь­ ной проекцией этой образующей. Таким об­ разом, фронтальная проекция c'd' касатель­ ной к винтовому ходу точки сс' параллельна прямой линии к'Г. Искомой касательной плоскостью, следовательно, является плос­ кость cdm, c'd'm'.

Через точку кк' проведем плоскость, па­ раллельную плоскости cdm, c'd'm', и найдем линию 12, Г2' пересечения ее с плоскостью Qy. Для этого, кроме прямой линии kl, к'Г, параллельной касательной cd, c'd', строим