книги из ГПНТБ / Миндели, Э. О. Разрушение горных пород учебное пособие

Согласно второму закону Ньютона импульс силы равен коли­ честву движения, приобретенного телом при воздействии этой силы.

В данном случае сила, приводящая среду в движение, есть раз­ ность давлений (р2 — р г), действующих на единицу сечения в еди­ ницу времени. При этом закон сохранения импульса примет вид

При движении среды в единицу времени затрачивается работа, равная (р2и 2 — Р Л ) . Отнеся эту работу к единице массы, получим

Работа, произведенная силами давления, расходуется на изме­ нение внутренней и кинетической энергии системы, следовательно, общий баланс энергии будет:

265

Отсюда с учетом выражения (XVII.17) легко вывести зависимость скорости распространения ударной волны от давления и объема

Используя выражения (XVII.16) и (XVII.17), преобразуем урав­ нение сохранения энергии (XVII. 12) к виду

{ ■ £ £ ) .

откуда, учитывая выражение (XVII.18) получим:

P = f(pT).

Задаваясь значением какого-либо одного из параметров ударной волны, можно определить значения всех остальных.

Выше было рассмотрено распределение воли в однородной не­ ограниченной среде. Однако в действительности сред с такими иде­ альными свойствами не бывает. Чаще всего приходится сталкиваться с решением задач, относящихся к прохождению волн по неоднород­ ным средам с выходом их (волн) на свободную поверхность или при взаимодействии их с препятствиями, что наиболее характерно для воздушных ударных волн.

П р и п о д х о д е ф р о н т а у д а р н о й в о л н ы к г р а ­ н и ц е р а з д е л а д в у х с р е д , н е з н а ч и т е л ь н о о т ­ л и ч а ю щ и х с я по п л о т н о с т и , н а г р а н и ц е в о з ­ н и к а ю т д в е в о л н ы : п р о х о д я щ а я (ее н а з ы ­ в а ю т е щ е и п р е л о м л е н н о й ) , к о т о р а я д в и ж е т с я п о в т о р о й с р е д е в т о м ж е н а п р а в л е н и и , ч т о и п а д а ю щ а я у д а р н а я в о л н а , и о т р а ж е н н а я ,

266

ломленной волны зависит в основном от параметров падающей волны и свойств обеих сред: о т р а ж е н н а я в о л н а м о ж е т б ы т ь у д а р н о й и л и в о л н о й р а з р е ж е н и я в з а в и с и ­ м о с т и от с ж и м а е м о с т и с р е д ы. В упруго-пластических средах вследствие различий в законах нагрузки и разгрузки при прохождении фронта ударной волны вместо одной отраженной и одной преломленной образуется система отраженных и преломленных волн.

Когда ударная волна, проходящая по твердому телу, выходит иа свободную поверхность, сжатое вещество расширяется (разгру­ жается) практически до нулевого давления. Волна разгрузки (раз­ режения) проходит в обратном направлении с местной скоростью звука, а саморазгружающееся вещество приобретает дополнительную скорость в направлении первоначального движения волны.

Если тело граничит не с вакуумом, а с газом, то движущаяся граница разрушенного вещества играет по отношению к нему роль поршня и образует впереди себя ударную воздушную волну, поэтому вещество па границе с воздушной средой разгружается не до нуле­ вого, а до давления в воздушной ударной волне.

При соударении ударной волны с абсолютно недеформируемой преградой, например при набегании детонационной волны на абсо­ лютно жесткую стенку, массовая скорость их — 0. Скорость отра­ женной ударной волны зависит от показателя политропы к. В то же время отношение давления на границе раздела рх к детонационному давлению рп (это отношение обычно обозначается буквой я, мало изменяется при изменении показателя политропы к (например, при

к = 1 я = 2,5; при к = 1,4, я = 2,42, а при к = 3 я = 2,30).

Следовательно, независимо от состояния среды за фронтом детона­ ционной или ударной волны давление на фронте отраженной волны при отражении от недеформируемой стенки возрастает примерно в 2,4 раза.

Теоретический расчет импульса взрыва при отражении от неде­ формируемой стенки был дан академиком Я. Б. Зельдовичем и проф. К. П. Станюковичем.

Представим, что заряд помещен в прочную оболочку, исключа­ ющую боковой разброс ВВ, у правого торца заряда помещена неде-

(ХУИ.22)

267

Уравнение (XVII.22) выражает закон изменения давления у недеформпрованной стенки на торце заряда. Из графика (рис. ИЗ) видно, что давление у стенки падает чрезвычайно резко. Следователь­ но, импульс взрыва (заштрихованная на графике площадь) сообща­ ется преграде за очень короткий

промежуток времени

где тп = Slp0 — масса заряда.

Из полученного выражения следует, что величина импульса контактного взрыва возрастает с увеличением скорости детонации и плотности ВВ, а также зависит от геометрических размеров заряда. Уравнение показывает линейную зависимость между импульсом и длиной заряда, что в действительности не наблюдается. На прак­ тике не представляется возможности получить строго одномерное движение продуктов детонации, т. е. исключить боковой разлет

268

их даже при помещении заряда в прочную оболочку. Однако это уравнение используется не только для одномерного, но и для трех­ мерного случая, если в уравнении (XVII.23) полную массу заряда заменить величиной активной части заряда та. Полный импульс при этом

Активной массой заряда будем считать ту часть заряда, про­ дукты детонации которой движутся в нужном направленпи. Дей­ ствие взрыва на какую-либо преграду определяется той частью за­ ряда, продукты детонации которой отбрасываются в сторону пре­ грады. Объем этой части заряда можно определить из геометрического построения. Например, при взрыве заряда кубической формы объем активной части на

любой его грани Va равен 1/6 от общего объема заряда (рис. 114). Для параллеле­ пипеда объем активной части заряда, если высота его стремится к нулю (ВВ располо­ жено тонким слоем), стремится к 1/2 его объема. Для цилиндрического заряда с вы­ сотой больше двух радиусов объем полез­

ной (активной) части Va — -^-г0, т- е- мак­

С увеличением длины цилиндрического заряда при постоянном диаметре активная масса его возрастает до известного предела, ко­ торый рассчитывается следующим образом. Допустим, что с — ско­ рость волны разрежения, распространяющейся от боковой поверх­ ности заряда к его оси, а г0 — его радиус. К моменту выхода дето­ национной волны на торец заряда большой протяженности объем продуктов детонации, не затронутых волной разрежения, будет ограничен объемом конуса, высота которого определяется из соотношения

Так как скорость волны разрежения о = D/2, то максимальная масса активной части цилиндрического заряда

269.

Отнеся массу активной части заряда к единице поверхности основания конуса, получим

2

та — — р/'0.

Таким образом, при контактном взрыве цилиндрического заряда удельный импульс

состоит из толстостенного металлического стакана, закрытого свинцовой мембраной. О давлении во фронте ударной волны судят по прогибу мембраны. Надежность измерения давлений этим прибо­ ром весьма незначительна.

270

272

медной пластине 6 шариком 5, по которому отброшенная часть стержня наносит удар. При изменении длины отбрасываемой части 1г изменяется продолжительность отрезка времени, в течение которого измеряется импульс. Произведя серию замеров, можно рассчитать характер изменения давления в ударной зоне от времени.

§ 70. Ударные адиабаты горных пород и методы нх экспериментального определения

Из предыдущего параграфа известно, что в отличие от изотерми­ ческого и адиабатического существует третий — ударный способ сжатия вещества.

Уравнение Рэнкина — Гюгонио (XVII.20) связывает давление р, энергию Е, удельный объем V или плотность р за ударной волной с теми же параметрами перед фронтом ударной волны. Связь эта обычно осуществляется через скорость ударной волны Пуд и массо­ вую скорость вещества за фронтом волны их. Кривая, отражающая эту закономерность, построенная на графике в осях р — V (рис. 60),

итех же начальных условиях проходит на графике более круто, чем изотерма и изэнтропа, что указывает на существование предель­ ной величины сжатия вещества. Другое, важное свойство ударного сжатия вещества заключается в том, что если при изотермическом

иадиабатическом нагружении и разгрузке вещества, кривые сжатия

иразгрузки совпадают, то при ударном сжатии объем вещества

скачкообразно уменьшается от начального значения F0 до конечной величины Ух, не проходя последовательно всех точек на кривой Гю­ гонио, лежащих между точками У0 и Vx. Однако необходимо заметить, что конечное состояние среды, подвергшейся ударному сжатию, обязательно должно лежать на адиабате Гюгонио, которая явля­ ется геометрическим местом точек термодинамических состояний (но не процессов), которые могут быть получены в среде при про­ хождении по ней ударной волны, начиная от некоторого исходного состояния. С точки зрения механики твердых тел это означает, что ударные волны в среде обязательно связаны с необратимыми пзме-

нениями в ней, т. е. процесс нагрузки и разгрузки идет различным путем.

Чтобы понять, как взрывной импульс будет распространяться по среде, необходимо знать уравнение ударной адиабаты для дайной среды, так как, зная начальные и конечные параметры состояния вещества (р07 0 и P iF J, можно определить значение скорости удар­ ной волны Dy/X, массовой скорости потока вещества (их — и2) за фронтом ударной волны и другие параметры, характеризующие ударную волну, от которой в значительной степени зависит конеч­ ный результат действия взрыва в той или иной среде, т. е. произво­ димые им разрушения.

Законы сохранения массы и импульса связывают между собой четыре параметра фронта ударной волны: скорость ударной волны DУд, массовую скорость — равную скорости движения сжатого вещества относительно, невозмущенного их — и0, давление р

побъем V или плотность р. Если измерить на опыте скорости £>уд

иих, то по формулам, выражающим законы сохранения массы и импульса

можно определить давление р и объем V, а затем, воспользовавшись уравнением Рэнкина — Гюгонно (XVII.20), в котором исключаем параметр р0,

E - E 0 = ^ - { V « -V i), (XVII.27)

можно определить внутреннюю энергию Е0.

В этом случае задача определения параметров фронта ударной волны при прохождении по среде сводится к экспериментальному определению двух наиболее доступных для измерения кинемати­ ческих величин: скоростей Dyx п иг.

Скорость фронта ударной волны Пуд измерить на опыте довольно просто, регистрируя моменты прохождения фронта ударной волны через точки, расположенные на известном расстоянии. Поэтому основная задача сводится к определению массовой скорости их, для чего на практике прибегают к различным косвенным методам.

В настоящее время существует несколько аналитических и полуэмпирических формул, по которым можно определить ударную адиабату вещества. Например, опыт показывает, что в широком диа­ пазоне амплитуд ударных волн зависимость между скоростью

где А и В — постоянные, определяемые экспериментально.

274