книги из ГПНТБ / Миндели, Э. О. Разрушение горных пород учебное пособие

возьмем систему координат х, у, z, соответствующую моменту вре­ мени t0 = 0. Выделим бесконечно малую частицу вещества М (а, Ь, с) (рис. 52) с бесконечно малой массой. Изучим движение этой точки в течение произвольного момента времени t. За это время частица М (а, Ь, с) переместится в пространстве в точку М' (х , у, z), причем координаты ее будут зависеть от времени и начального положения точки в момент t0 = 0, т. е. от (а, Ъ, с). Таким образом, координаты точки М' можно представить следующими функциональными зави­ симостями:

Система (XI.l) выражает проекции скорости на оси координат для каждой частицы жидкости или газа. Аналогично, взяв вторую производную, можно найти и ускорение:

Такой метод описания движения жидкости и газа называется методом Лагранжа, а координаты точки М (а, Ь, с) — координатами Лагранжа.

Второй метод описания движения жидкости и газа. Рассмотрим пространство, занятое движущейся средой и выделим в ней неподвиж­ ную систему координат х, у, z. Возьмем точку пространства М (х, у, z).

Такой метод описания движения среды называется методом Эйлера. Смысл его заключается в том, что исследуются параметры в определенной точке пространства. Другими словами, метод Эйлера

дает возможность описать поле скоростей. Напомним, что полем на­ зывается часть пространства, в каждой точке которой задана какая-то' величина.

Координаты .г, г/, z — в этом случае являются независимыми переменными Эйлера, а в уравнениях Лагранжа — функциями.

Если в уравнениях (XI. 2) скорости с течением времени не ме­ няются, то такое движение называется установившимся, т. е.:

вращения по заряду ВВ на малой пространственной протяженности п за небольшой интервал времени можно считать установиввиимся.

Движение газов с большими скоростями отличается от движения

Развитие теории детонации как газодинамического явления нача­ лось с 1890 г., когда русский ученый Михельсон, а затем Чепмеи п Рэнкин в Англии, Гюгонио и ЗКуге во Франции получили основные

Уравнения гидродинамики базируются в основном на трех зако­ нах сохранения: материи, количества движения и энергии.

Закон сохранения материн. В общем виде написанное в векторной форме уравнение 1 этого закона имеет вид

-J - + div (pi?) = 0.

Оно свидетельствует о сохранении массы вещества, так как изме­ нение плотности данного объема среды происходит за счет поступле-

1 Вывод этого уравнения довольно сложен, но его можно уяснить из книги Л. Д. Ландау и Е. М. Лившица «Механика сплошных сред». М., Гостехиздат, 1954.

146

ния или извлечения вещества. Уравнение это называется еще уравне­ нием неразрывности и в прямоугольных координатах имеет вид

Закон сохранения количества движения, (Уравнение движения Эйлера)

p -^ - + gradp = 0,

где р — давление.

Это выражение, представляющее второй закон Ньютона, характе­ ризует движение несжимаемой жидкости.

Чаще всего приходится встречаться с одномерным движением газов и жидкостей, зависящим от одной пространственной коорди­ наты z и от времени t.

Частными случаями такого движения будут движения с плоской,

Закон сохранения энергии. Уравнение этого закона, который гласит, что изменение кинетической энергии частицы в сумме с при­ ращением внутренней энергии должно быть равно работе внешних сил, приложенных к частице, имеет вид

de . d V

I F + P -df Q,

где e — внутренняя энергия тела; V — удельный объем; Q — внеш­ ний источник энергии.

Это выражение объясняется Я. Б. Зельдовичем как изменение удельной, внутренней энергии частицы за счет работы сжатия, ко­ торую производит над ней окружающая среда. Внешние источники энергии Q обычно задаются, а внутреннюю энергию е можно выразить через плотность и давление.

Уравнения неразрывности, сохранения количества движения и энергии образуют систему пяти уравнений относительно пяти неизвестных функций координат и времени t (р, их, иу, иг, р). При­ чем их, иу, иг — компоненты вектора скорости и частицы.

Если энергия дается как функция температуры Т и плотности р или температуры и давления, то упомянутую систему уравнений до­ полняют уравнением состояния вещества, которое для идеального газа представлено уравнением Клайперона-Менделеева:

R — универсальная газовая постоянная; ц — молекулярная масса газа.

В случае, когда вещество находится в термодинамическом равно­ весии уравнение сохранения энергии можно записать с помощью второго закона термодинамики с учетом удельной энтропии Si

Т dS — de + р dV,

где V — 1/р — удельный объем вещества; е — внутренняя энергия. При отсутствии внешних источников энергии уравнение сохране­ ния энергии соответствует уравнению постоянства энтропии, т. е.

условию аднабатичностп процесса:

4 f r = o . (XI.3)

В идеальном газе (с постоянной теплоемкостью) энтропия выра­ жается через давление и плотность:

S = cJ ей pVf + const,

где у — показатель адиабаты, равный cp/cv ; су — теплоемкость газа нрн постоянном объеме; ср — теплоемкость газа при постоянном давлении.

При этом уравнение аднабатичностп процесса (XI.3) можно запи­ сать в форме дифференциального уравнения

К системе дифференциальных уравнений газодинамики обычно добавляют соответствующие начальные и граничные условия.

Условия адпабатпчностп в форме Эйлера

4 г + У grad 5 = 0.

При адиабатическом процессе энтропия частиц среды остается постоянной и при дальнейшем движении. Такое движение, при кото­ ром условию аднабатичностп соответствует постоянство энтропии, т. е.

и состояние жидкости или газа (скорость и, давление р, плотность р,

148

энтропию S), можно определить как функции координат г и времени t из замкнутой системы уравнений:

p - ^ - r g i >adP = 0;

(XI.4)

^-I- V grad 5 = 0;

PF = — T.

|X

Если в зависимости от времени параметры, определяющие движе­ ние среды, изменяются, то такое движение называется неустановив-

шнмся.

Напротив, если параметры движущейся среды в любой точки пространства не изменяются с течением времени, такое движение называется установившемся.

Частные производные по времени при установившемся движении равны 0 и решение системы уравнений (XI.4) не представляет труд­ ности. Однако при изучении процессов, связанных с детонацией: зарядов ВВ и взрывом чаще всего приходится им"еть дело с более сложным неустановившимся движением среды.

Следует отметить еще об одной возможности упрощения решений уравнений (XI.4) в случае постоянства плотности движущихся сред. Такое движение рассматривается как движение идеальной несжима­ емой жидкости. При S = const движение среды изэнтропическое,. а частные производные плотности равны 0. При рассмотрении дей­ ствия взрыва в плотных малосжимаемых средах, какими являются большинство горных пород, на сравнительно небольших расстояниях от источников взрыва можно практически пренебречь сжимаемостьюсреды и пользоваться уравнениями для несжимаемой жидкости. В этом случае мы будем иметь систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными (три компонента скорости и давление), в которых три. уравнения движения Эйлера не изменяются, а уравнение неразрыв­ ности движения преобразуется в выражение

§ 44. Простые волны и характеристики уравнений газовой динамики

Для рассмотрения неустановившихся движений и решения ряда . задач по определению параметров движения и состояния продуктов взрыва чаще всего прибегают к теории одномерного изэнтропического движения газа.

Если в начальный момент t0в какой-либо точке х0неподвижногогаза, плотность и давление которого повсюду одинаковы, возникают произвольные возмущения скорости и давления малой амплитуды,

149'

то от этой точки в противоположные стороны будут распространяться волны, несущие возмущения. Для простоты объяснения представим, что газ помещен в очень длинную трубку, а точка начала возмущения, расположенная в центре трубки, и начало координат совпадают. В этом случае влево и вправо от оси у начнут распространяться со скоростью звука с две волны (рис. 53).

С к о р о с т ь з в у к а в с р е д е с п р е д с т а в л я е т с о ­ б о й с к о р о с т ь р а с п р о с т р а н е н и я м а л ы х в о з ­ м у щ е н и й , в о з н и к а ю щ и х п р и о п р е д е л е н н ых

У

Рис. 53. Схема, поясняющая образование простых

волн в газе

у с л о в и я х в о к р у г и с т о ч н и к а в о з м у щ е н и й , и

. я в л я е т с я к о н с т а н т о й д л я д а н н о й с р е д ы

вд а н н ы х у с л о в и я х .

Изменение всех параметров в волне, распространяющейся в сто­

где и — скорость распространения волны.

В волне, бегущей в противоположную сторону, очевидно, имеем

■одним из соотношений, то одна нз функций (f 1 или / 2) обращается в нуль, а волна распространяется только в одну нз сторон. При движе­ нии газа с постоянной скоростью и возмущенное состояние будет распространяться со скоростью и + с в положительном направлении по оси х, и со скоростью (и — с) против движения среды. При этом распространение возмущений с дозвуковой скоростью будет происхо­ дить как в положительном, так и в отрицательном направлении осп, а при сверхзвуковой скорости будут сноситься потоком и распростра­ нение их будет происходить только в положительном направлении оси х при условии, что начало координат движется вместе с источни­ ком возмущения. Волны, распространяющиеся только в одном напра­ влении, называются п р о с т ы м и в о л н а м и .

.150

Возвращаясь к примеру (см. рис. 53), когда в плоском изэнтропическом движении газа в какой-либо момент времени t0 в точке ж0 возникли произвольные малые возмущения скорости и давления, видно, что они распадаются на две составляющие, из которых одна начнет распространяться вправо от точки а; со скоростью (и0 + с0),. а другая — влево со скоростью (и0 — с0), где и0 и с0 — значения этих величин в точке ж0.

Так как в течение длительного промежутка времени скорости и

фициенты dxldt и dy/dt в каждой

точке среды будут равны местной скорости звука относительно непод­ вижной системы координат. Эти линии называются х а р а к т е ­ р и с т и к а м и и обозначаются соответственно С+ и С~. Черезкаждую точку на плоскости (ж, t) можно провести две характери­ стики, относящиеся к С+ и С' семействам. В областях постоянноготечения газа, где (и, р, с) и р постоянны в пространстве и времени,, характеристики обоих семейств — суть прямые линии.

Для простых волн характеристикам, как видно из уравнения:

функции, описывающие движение газа, которые постоянны во всей., области движения в простой волне и представляют собой характери­ стики в плоскости (и, с). Из постоянства инвариантов Римана/+ и I _ на любой из характеристик С± следует, что эти характеристики пря­ молинейны.

Уравнения, записанные в характеристической форме, делаютнаглядной причинную связь явлений в газовой динамике, ибо в этом.

151

•случае они приобретают ясный физический смысл, определяя законы распространения поверхностей слабых возмущений в жидкостях и газе. Основная идея метода характеристик заключается в за­ мене уравнений газовой динамики в частных производных систе­ мой дифференциальных уравнений.

Для более наглядного представления о свойствах простых волн дернемся к знакомому примеру с трубкой, наполненной газом и огра­ ниченной с одной стороны порш­

диться.

При вдвигании поршня в трубку картина несколько изменяется. В этом случае при каждом ускорении поршня от него будут распро­ страняться отдельные волны сжатия (рис. 56), скорость распростра­ нения которых определяется наклоном характеристик С* к оси ордишат, который постоянно увеличивается. Это связано с тем, что каж­

152

дая последующая волна сжатия будет проходить по более плотному газу, вследствие него амплитуда волны будет непрерывно увеличи­ ваться.

Характеристики в этом случае будут пересекаться (точка Д). Однако, как установлено, пересечение характеристик невозможно- с физической точки зрения, поскольку скорость вдоль каждой из них является постоянной. Поэтому в точке пересечения характеристик

параметров, описывающих движение {и, с, р, р) зависит от аргу­ мента xlt, имеющего размерность скорости.

Если построить графики плотности и скорости движения газа за фронтом центрированной волны разрежения (рис. 57), то распреде­ ление всех параметров по координате х будет лишь растягиваться, в пространстве, оставаясь подобным себе.

Так как линейные параметры изменяются пропорционально вре­ мени £, картина движения будет все время одинаковой, что и является основным свойством автомодельного движения.

В общем случае автомодельное движение характеризуется вы­ ражением z = x/ta, в рассмотренном примере а = 1.

Примером простейшего автомодельного движения является дви­ жение газа в трубке, из которой выдвигается поршень с постоянной

155

•скоростью. В этом случае все характеристики, включая головную ОЛ н хвостовую ОВ липин волны разрежения, будут исходить из одной точки (рис, 58). Поэтому такие волны называются центрированными. Уравнение центрированной волны имеет вид

х = [u-f-c(n)] t.

Оно описывает начальную стадию движения газа при выдвижении поршня, даже если газ занимает конечный объем.

§45. Основы теории ударных воли

Впредыдущем параграфе был рассмотрен пример с поршнем, выдвигающимся из газа и образованием центрированной волны разре­ жения. Казалось бы, что аналогичное решение должно получиться при вдвнженнп поршня, т. е. при сжатии газа, ибо и то и другое движение автомоделыто. Однако, как показал Я. Б. Зельдович существование такой центрированной волны сжатия невозможно.

ного течения должна быть разделена областью простой центрирован­

что «хвост» волны движется быстрее «головы»:

к ;j 1 и -f-- Cq^ с0.

-Эта картина абсурдна. Следовательно, в данном случае непрерывного решения не существует и в действительности имеется р а з р ы в — у д а р н а я волна. Попытка найти непрерывное решенпе этой задачи приводит к физически бессмысленному результату.

Изучение ударных волн необходимо для понимания процессов, происходящих при взрыве, ибо уравнения ударных волн являются ключами к решению задач, связанных с детонацией газов и конден­ сированных ВВ.

Для вывода основных уравнений ударных волн воспользуемся классическим примером с поршнем, равномерно сжимающим газ в достаточно большом цилиндре, в котором стенки не сильно влияют на движение основной массы газа 1 (рис. 59).

Так как любое возмущение в среде имеет конечную скорость, перед поршнем образуется область сжатого вещества. На рис. 59 эта область заключена между поршнем в положении 2Х и поверх-

1 Я. Б. З е л ь д о в и ч и А. С. К о м п а н е й ц . Теория детонации. 31., Гостехтеориздат, 1955.

154