8

Диф. уравнения Вариант 17

Задача 1

- ур. с разд. пер.;

, - общ. реш ур. (1).

Задача 2

рассм. ур. (1):

- ур. с разд.пер.;

, - общ. реш. ур. (1);

пост. опр – м из нач. усл. (2):

, - реш. зад. Коши (1), (2).

Задача 3

в прав. части ур. (1) - однор. ф-я;

введём новую неизв. ф-ю , тогда ;

, - ур. с разд.пер.;

рассм.

, - общ. реш. ур. (1).

Задача 4

рассм. в прав. части ур-я (1а) однор. ф-я;

введём новую неизв. ф-ю - ур. с разд.пер.;

;

; , - общ. интеграл ур-я (1).

Задача 5

р-м. ур. (1): - лин. неоднор. ур 1 пор.;

соотв. однор. ур:

- общ. реш. одн. ур. (4);

общ. реш. неодн. ур. (3) ищем в виде (метод вариации произв. пост.):

- общ. реш. неодн. ур. (3), и, след., неодн. ур. (1) ;

пост. С нах-м из нач. усл. (2): ;

, - реш. зад. Коши (1), (2).

Задача 6

- лин. неоднор. ур 1 пор.;

соотв. однор. ур: , - ур. с разд. перем.;

, - общ. реш ур. (3);

общ. реш. неодн.ур. (2) ищем в в виде (метод вариации произв. пост-х):

рассм.

;

- общ. интеграл неодн. ур. (2) и, след., ур-я (1).

Задача 7

- ур. Бернулли (n=3);

применим метод Бернулли, т.е., положим ; тогда

рассм. вспомогат. диф. ур-е:

рассм. частн. реш. ур-я (3) и подст. его в ур-е (2): - ур. с разд. пер.;

- общ. реш. ур. (1).

Задача 8

ур. (1) не содержит явно неизв. ф-ю y(x); введём новую неизв-ю ф-ю , тогда

- лин. неодн. ур 1 пор.;

соотв. одн. ур.:

, - общ. реш. одн. ур. (3);

общ. реш. неодн. ур. (2) ищем в виде (метод вариации произв. пост-х):

рассм.

- общ. реш. неодн. ур. (2); рассм. теперь: ;

, - общ. реш. неодн. ур. (1).

Задача 9

ур. (1) не содержит явно неизв. ф-ю y(x); введём новую неизв-ю ф-ю ,

тогда - ур. с разд. перем.;

;

, - общ. реш. ур. (1).

Задача 10

Ур. (1) не содержит явно аргумент x; введём новый аргумент y и новую неизв. ф-ю , тогда - ур. с разд. перем. (, т.к. это противоречило бы нач. усл. (3));

рассм.

;

пост. опр-м из нач. усл. (2), (3): при x = 1 :

рассм. теперь ур-е:

рассм.

пост. опр-м из нач. усл. (2):

;

или , - реш зад. Коши (1)(3).

Задача 11

- лин. одн. ур. 2 пор. с пост. коэф.;

хар. ур.:

след, фунд. с-му реш-ий ур-я (1) образуют ф-и: ,

общ. реш. ур. (1):

Задача 12

т. ; прямая (m): , или .

Найти интегр. кривую (l) ур-я (1), к-рая касается кривой (l) в т. .

Пусть ур-е искомой интегр. кривой (1): y=y(x); т.к. кривая (l) проходит через т. , то , а так как крив. l в т. касается прямой m, то след. данная задача представляет задачу Коши (1) (3);

рассм. ур-е (1) - лин. однор. ур 2 пор. с пост. коэф.;

хар. ур.:

общ. реш. ур. (1):

рассм.

опр-м пост. , из нач. усл. (2), (3):

, - ур. искомой интегр. кривой (l).

Задача 13

- лин. однор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. ;

хар. ур. для ур – я (1):

след., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;

общ. реш. ур. (1) имеет вид: .

Задача 14

- лин. однор. диф. ур. 4 пор. с пост. коэф. ;

хар. ур. для ур – я (1): ,

след., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;

опр – ль Вронского для фунд. с – мы реш – й:

, след., с – ма ф – й линейно независима;

общ. реш. ур. (1) имеет вид: .

Задача 15

- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

структура общего реш – я неоднор. ур - я (1): ;

где - общ. реш. однор. ур. (2), а функции суть, соответственно, частные реш – я

след. ур – й:

;

; причём частные реш – я ищем в виде:

Задача 16

- зад. Коши.

Ур – е (1)- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (5):

общ. реш. однор. ур. (5) имеет вид: ;

частное реш – е неоднор. диф. ур. (1) ищем в виде:

рассм.

;

общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

рассм. ; ;

опр – м пост. из нач. усл – й (2), (3), (4):

;

;

;

реш. зад. Коши (1) - (4): .

Задача 17

- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (многочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид:

; где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде: ;

рассм. ;

;

общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .

Задача 18

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

соотв. однор. диф. ур.: хар. ур. для ур – я (2):

общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде:

; рассм.

;

;

общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .

Задача 19

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф.;

соотв. однор. диф. ур.: хар. ур. для ур – я (2):

след., фунд. с – му реш – й ур – я (2) образуют ф – и ;

а общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

общ. реш. неоднор. ур. (1) будем искать методом вариации произвольных постоянных, то есть

в виде , а неизвестные ф – и опр – м из с – мы ур – й:

рассм.

;

общее реш – е. ур - я (1) имеет вид:

.