7

Диф. уравнения Вариант 12

Задача 1.

Р-м ур. (1) – ур. с раздел. перем.;

- общ. реш. ур. (1) ; пост. С₁ опр-м из нач. усл. (2):

;

Задача 2.

разделим перем-е и проинтегрируем:

- общ. интеграл ур-я (1).

Задача 3.

р-м:

в прав. части ур-я (1а) – однор. ф-я;

введём новую неизв. ф-цию ,

общ. реш. ур. (1) имеет вид:

Задача 4.

рассм.

в прав. части ур. (1а) – однор. ф-я; введём новую неизв. ф-ю ,

тогда ;

- общ. решение ур-я (1).

Задача 5.

- мин. неодн. ур. 1 пор.; соотв. одн.ур.:

общ. реш. одн. ур. (2):

общ. реш. неодн.ур. (1) ищем в виде (метод вариации произв. пост-х):

рассм.

общ. реш. ур. (1):

Задача 6.

рассм. ур. (1) : - лин. неодн. ур. 1 пор.;

соотв. одн. ур.

общ. реш. одн. ур. (3):

общ. реш. неодн. ур. (1а) ищем в виде (метод вариации произв пост-х):

рассм.

общ. реш ур. (1а):

пост. С опр-и из нач. усл. (2):

реш. зад Коши (1), (2):

Задача 7.

- ур-е Бернулли (n=3); примен. метод Бернулли, т.е. положим:

, тогда

рассм. вспомогат. диф. ур-е:

рассм. частн. реш. ур-я (3) и подст. его в ур. (2):

;

общ. реш. ур-я (1):

Задача 8.

Ур. (1) не содержит явно неизв. ф-ю y(x), введём новую неизв ф-ю ,

тогда - ур. c раздел перем.;

общ. реш. ур. (2):

рассм.теперь - общ. реш. ур-я (1).

Задача 9.

, (1) /x , (1а)

Ур. (1а) не содержит явно неизв. ф-ю y(x); введём новую неизв. ф-ю ,

тогда и ;

;

;

- общ. реш. ур. (1).

Задача 10.

Ур. (1) не содержит явно аргумент x; введём новый аргум. y и новую неизв. ф-ю ;

тогда

1) p=0; - противоречит нач. усл. (3);

2)

опр-м теперь пост. из нач. усл. (2), (3): при

пост. опр-м из нач. усл. (2): - решение зад. Коши (1)-(3).

Задача 11.

- лин. одн. ур. 2 пор. с пост. коэф.;

характ. ур.:

след. фундам. с-му реш-ий ур-я (1) образуют ф-и и

общ. реш. ур-я (1):

Задача 12.

т. прямая (m):

Найти интегр. кривую (l) (y=y(x)) ур-я (1), к-рая касается прямой (m) в т. .

Пусть ур-е искомой интегр. кривой l имеет вид: y=y(x); так как крив. l проходит через т. то y(0)=4, (2); т.к. крив. l в т. касается прямой m, то Таким образом, данная задача предст. собой зад. Коши (1) - (3).

Ур. (1) – мин. одн. ур. 2 пор. c пост. коэф.;

хар. ур.:

общ. рещ. ур. (1):

рассм.

опр-м пост. , из нач. усл. (2), (3):

- ур-е искомой интегр. кривой (l).

Задача 13

- лин. однор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. ;

хар. ур. для ур – я (1):

след., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;

общ. реш. ур. (1) имеет вид: .

Задача 14

- лин. однор. диф. ур. 4 пор. с пост. коэф. ;

хар. ур. для ур – я (1): ,

след., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;

опр – ль Вронского для фунд. с – мы реш – й:

след., с – ма ф – й линейно независима;

общ. реш. ур. (1) имеет вид: .

Задача 15

- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

где - общ. реш. однор. ур. (2), а функции суть, соответственно,

частные реш – я след. ур – й:

;

,

причём частные реш – я ищем в виде:

.

Задача 16

- зад. Коши.

Ур – е (1)- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (многочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (5): ;

общ. реш. однор. ур. (5) имеет вид: ;

частное реш – е неоднор. диф. ур. (1) ищем в виде: ;

рассм.

общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

рассм. ; ;

опр – м пост. из нач. усл – й (2), (3), (4): ;

; ;

реш. зад. Коши (1) - (4): .

Задача 17

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид:

; где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1),

которое ищем в виде: ;

рассм.

;

;

; ;

общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .

Задача 18

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

соотв. однор. диф. ур.: хар. ур. для ур – я (2):

общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде: ; рассм.

;

;

общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .

Задача 19

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф.;

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

след., фунд. с – му реш – й ур – я (2) образуют ф – и ;

а общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

общ. реш. неоднор. ур. (1) будем искать методом вариации произвольных постоянных,

то есть в виде ,

а неизвестные ф – и опр – м из с – мы ур – й:

;

;

общее реш – е. ур - я (1) имеет вид: .