7

Диф. уравнения Вариант 14

Задача 1

, (1) – ур. с разд. перем.;

;

- общ интеграл ур-я (1).

Задача 2.

ур. (1) – ур. с раздел. перем.;

пост. C опр-м из нач. усл. (2):

интеграл зад. Коши (1) – (2):

Задача 3.

, (1) р-м , (1а)

в правой части ур-я (1а) – одн. ф-я, введём новую неизв. ф-ю , тогда

- общ. интеграл ур-я (1).

Задача 4.

в прав.части ур. (1а) – одн. ф-я; введём новую неизв. ф-ю ,

общ. реш. ур. (1): .

Задача 5.

- лин. неодн. ур. 1 пор.;

соотв. одн. ур.

общ. реш. неодн. ур. (2): ;

общ. реш. неодн. ур. (1а) ищем в виде (метод вариации произв. пост.):

р-м: ;

общ. реш. ур. (1):

Задача 6.

или - лин. неодн. ур. 1 пор.;

соотв. одн. ур.:

; общ. реш. одн. ур. (2): ;

общ. реш. неодн. ур. (1а) ищем в виде (метод вариации произв. пост.):

рассм.

общ. реш. ур. (1):

Задача 7.

В ур. (1) сделаем след. преобразования: заменим и будем считать у новым аргументом,

a x(y ) новой неизв. ф-ей:

- ур. Бернулли (n=3); примен. метод Бернулли, т.е. положим

, тогда и ур.(1а) примет вид:

рассм. вспомогат. диф. ур.:

рассм. частн. реш. ур-я (4) и подст. его в ур. (3):

, - ур. с раздел. пер.;

общ. реш. ур. (1а):

пост. опр-м из нач. усл. (2): , т.е.

Задача 8.

Ур. (1) не содержит явно неизв. ф-ю y(x);

введём новую неизв. ф-ю , тогда ;

или , - ур. с раздел. перем.

рассм. теперь - общ. реш. ур. (1).

Задача 9.

Ур. (1а) не содержит явно неизв. ф-ю ; введём новую неизв. ф-ю ,

тогда - лин. неодн. ур. 1 пор.; соотв. одн. ур.:

общ. реш. одн. ур. (3): ;

общ. реш. неодн. ур. (2) ищем в виде (метод вариации произв. пост.):

рассм.

общ. реш. ур. (2):

рассм. теперь:

рассм.

- общ. реш. ур. (1).

Задача 10.

ур. (1) не содержит явно аргумент x; введём новый аргумент y и новую неизв. ф-ю , тогда , - ур. с раздел. перем.;

пост. C опр-м из нач. усл. (2) , (3): при

рассм. ; пост. C₁ опр-м из нач. усл. (2): ;

реш. зад. Коши (1) – (3):

Задача 11.

- лин. одн. ур. 2 пор. с пост. коэф.;

хар. ур.

фунд. с-му реш-й ур-я (1) образуют ф-и , ;

общ. реш. ур. (1) имеет вид:

Задача 12.

т. ; прямая (m): или

Найти интегр. кривую (l) ур-я (1), к-рая касается прямой (m) в т. .

Пусть ур-е искомой крив. (l): y=y(x); т.к. крив. l проходит через т. , то

а т.к. кривая l в т. касается прямой (m), то

След., данная задача предст. задачу Коши (1) – (3) для ур-я (1);

ур. (1) – лин. одн. ур. 2 пор. с пост. коэф.; хар. ур.:

общ. реш. ур. (1): рассм.

опр-м пост. , из нач. усл. (2), (3):

рассм. (4)+(5): рассм. (4)-(5):

ур-е искомой интегр. кривой l:

Задача 13

- лин. однор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. ;

хар. ур. для ур – я (1):

след., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;

общ. реш. ур. (1) имеет вид: .

Задача 14

- лин. однор. диф. ур. 4 пор. с пост. коэф. ;

хар. ур. для ур – я (1): ,

след., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;

опр – ль Вронского для фунд. с – мы реш – й:

, след., с – ма ф – й линейно независима;

общ. реш. ур. (1) имеет вид: .

Задача 15

- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

где - общ. реш. однор. ур. (2), а функции суть, соответственно, частные реш – я

след. ур – й: ; ,

причём частные реш – я ищем в виде: ;

; .

Задача 16

- зад. Коши.

Ур – е (1)- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (многочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (5): ;

общ. реш. однор. ур. (5) имеет вид: ;

частное реш – е неоднор. диф. ур. (1) ищем в виде: ;

рассм.

общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

рассм. ; ;

опр – м пост. из нач. усл – й (2), (3), (4):

;

;

;

реш. зад. Коши (1) - (4): .

Задача 17

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид:

; где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде: ; рассм.

;

общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .

Задача 18

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде: ; рассм.

;

общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .

Задача 19

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф.;

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

след., фунд. с – му реш – й ур – я (2) образуют ф – и ;

а общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

общ. реш. неоднор. ур. (1) будем искать методом вариации произвольных постоянных,

то есть в виде ,

а неизвестные ф – и опр – м из с – мы ур – й:

;

;

общее реш – е. ур - я (1) имеет вид: .