7

Диф. уравнения Вариант 20

Задача 1

- ур. с разд. пер.; - общ. инт. ур-я (1).

Задача 2

- ур. с разд.перем.;

- общ. реш. ур-я (1);

Задача 3

в прав. части ур-я (1a) – однор. ф-я; введём новую неизв. ф-ю , тогда - ур. с разд. пер.;

- общ. интеграл ур-я (1).

Задача 4

в прав. части ур-я (1a) – однор. ф-я; введём новую неизв. ф-ю , тогда

- ур. с разд.перем.;

рассм.

или - общ. интеграл ур-я (1).

Задача 5

р-м ур. (1): – лин. неодн. ур. 1 пор.;

соотв. одн. ур.: - ур. с разд. пер.;

- общ. реш. одн. ур. (4);

общ. реш. неодн. ур. (1а) ищем в виде (метод вариации произв. пост-х):

р-м:

, – общ. реш. неодн. ур-я (1a) и, след., ур-я (1);

пост. C опр-м из нач. усл (2):

, - реш. зад. Коши (1), (2).

Задача 6.

или - лин. неоднор. ур 1 пор.;

соотв. однор. ур:

- общ. реш. одн. ур. (2);

общ. реш. неодн. ур. (1) ищем в виде: (метод вариации произв. пост-х):

рассм.

- общ. реш-е неодн. ур-я (1).

Задача 7.

– ур. Бернулли (n=3);

применим метод Бернулли, т.е. положим тогда

рассм. вспом. ур-е:

рассм. частн. реш. и подст. его в ур. (2):

- общ. реш. ур. (1).

Задача 8.

или - лин. одн. диф. ур 2 пор.;

ур. (1) не содержит явно неизв. ф-ю y(x); введём новую неизв-ю ф-ю , тогда

- ур с разд. пер.

общ. реш. ур-я (2): рассм. теперь:

- общ. реш. ур. (1).

Задача 9.

- лин. неодн. ур. 2 пор.; ур. (1) не сод. явно неизв. ф-ю y(x); введём новую неизв.

ф-ю , тогда в прав. части ур. (2) – однор. ф-я; введём новую неизв. ф-ю , тогда

- общ. реш. ур. (2); рассм. теперь

, - общ. реш. ур. (1).

Задача 10

Ур. (1) не содержит явно аргум. x; введём новый аргумент y и новую неизв-ю ф-ю ,

тогда

рассмотрим

1) p = 0; , но это противоречит нач. усл-ю (3);

2)

пост. C опр-м из нач. усл. (2), (3):

при x=: y=1, , т.е., ;

рассм. теперь

пост. опр-м из нач. усл. (2):

- реш. зад. Коши (1)(3).

Задача 11.

- лин. одн. ур. 2 пор. с пост. коэф.;

хар. ур.:

фунд. с-му реш-ий ур-я (1) образуют ф-и: и ,

а общ. реш. ур. (1) имеет вид:

Задача 12.

т. ; прямая (m): .

Найти интегр. кривую (l) ур-я (1), к-рая касается прямой (m) в т. .

Т.к. искомая интегр. кривая (l) проходит через т. , то ;

т.к. крив. l в т. касается прямой m, то ,

след., данная задача предст. собой задачу Коши (1) (3);

ур-е (1) - лин. одн. ур 2 пор. с пост. коэф.; хар. ур.:

общ. реш. ур. (1):

рассм.

опр-м пост. , из нач. усл. (2), (3):

- ур. искомой интегр. кривой (l).

Задача 13

- лин. однор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф.;

хар. ур. для ур – я (1):

след., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и

общ. реш. ур. (1) имеет вид:

Задача 14

- лин. однор. диф. ур. 4 пор. с пост. коэф.;

хар. ур. для ур – я (1):

след., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;

опр – ль Вронского

след. с – ма ф – й линейно независима;

общ. реш. ур. (1) имеет вид:

Задача 15

- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

где - общ. реш. однор. ур. (2), а функции суть, соответственно, частные реш-я

след. ур-й:

,

причём частные реш – я ищем в виде:

Задача 16

- зад. Коши.

Ур – е (1)- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (5): ;

общ. реш. однор. ур. (5) имеет вид: ;

частное реш – е неоднор. ур. (1) ищем в виде: ;

рассм.

общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид:

рассм.

опр – м пост. из нач. усл – й (2), (3), (4):

;

;

решим с-му ур-й (6) – (8) и опр – м пост. :

реш. зад. Коши (1) - (4): .

Задача 17

- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде:

; рассм.

общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид:

Задача 18

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде:

; рассм.

;

;

общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид:

Задача 19

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф.;

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2):

след., фунд. с – му реш – й ур – я (2) образуют ф – и ;

а общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

общ. реш. неоднор. ур. (1) будем искать методом вариации произвольных постоянных,

то есть в виде,

а неизвестные ф – и опр – м из с – мы ур – й:

рассм. ;

общее реш – е. ур - я (1) имеет вид: