7

Диф. уравнения Вариант 19

Задача 1.

Ур. (1) - ур. с разд. пер.;

- общ. реш. ур. (1);

пост. нах-м из нач. усл. (2): , - реш. зад. Коши (1), (2).

Задача 2.

- ур. с разд. пер.;

, - общ. интеграл ур. (1).

Задача 3.

рассм.

введём новую неизв. ф - ю , тогда ; , - ур. с разд. пер.;

, - общ. интеграл ур. (1).

Задача 4.

введём нов. неизв. ф-ю , тогда ;

, - ур. с разд.перем.;

, - общ. интеграл ур-я (1).

Задача 5

Ур. (1) – лин. неодн. ур. 1 порядка;

рассм. соотв. одн. ур.: - ур. с разд. пер.;

общ. реш. ур. (3): ;

общ. реш. ур. (1) ищем в виде ( метод вариации произв. пост-х):

;

,- общ. решение ур. (1);

пост. C нах-м из нач. усл (2):

, - реш. зад. Коши (1), (2).

Задача 6.

р-м - лин. неоднор. ур 1 пор.;

р-м соотв. однор. ур: - ур. с разд. пер.;

;

общ. реш. одн. ур. (3): ;

общ. реш. неодн. ур. (2) ищем методом вариации произв. пост., т.е. в виде: ;

; ;

, - общ. реш. неодн. ур. (2) и, след., ур-я (1).

Задача 7.

– ур. Бернулли (n=2);

применим метод Бернулли, т.е., положим тогда ;

;

р-м. вспом. диф. ур.: - ур. с разд. пер.;

рассм. частн. реш. ур. (3) и подст. его в ур-е (2):

,- общ. реш. ур. (4);

, - общ. реш. ур. (1).

Задача 8.

- лин. неоднор. ур 2 пор.;ур. (1) не содержит явно неизв. ф-ю y(x);

введём новую неизв-ю ф-ю , где x – аргумент, тогда ;

- лин. неоднор. ур 1 пор.; р-м соотв. однор. ур: - ур. с разд. пер.;

- общ. реш. ур-я (3);

реш-е неодн. ур. (2) ищем в виде(метод вариации произв. пост.): ;;

, - общ. реш. ур. (2);

рассм.

, - общ. реш. ур. (1).

Задача 9.

- диф. ур. 2 пор.;

ур. (1) не сод. явно ни аргумент x, ни неизв. ф-ю y(x);

введём нов. аргум. y и нов. неизв. ф-ю , тогда ;

- ур. с разд. перем.;

- общ. реш. ур. (3) и ур. (2) - ур. с разд. перем.;

, - общ. реш. ур. (1).

Задача 10.

Ур. (1) не содержит явно аргум. x;

введём новый аргумент y и новую неизв. ф-ю ; рассм.

1) p = 0; - это реш-е не удовл. нач. усл. (2), (3).

2)

пост. нах-м из нач. усл. (2), (3):

при x=0: y=1, , т.е., - ур. с разд. перем. пост. нах-м из нач. усл. (2): ;

, - реш. зад. Коши (1)(3).

Задача 11.

- лин. одн. ур. 2 пор. с пост. коэф.;

р-м хар. ур.:

;

фунд. с-му решений ур-я (1) образуют ф-и: и

общ. реш. ур. (1):

Задача 12.

Найти интегр. кривую ур-я (1), к-рая касается прямой в т. .

- лин. одн. ур 2 пор. с пост. коэф.;

т.к. искомая интегр. кривая ур-я (1) проходит через т. , то

т.к. эта кривая в т. касается прямой , то ;

след, данная задача предст. собой задачу Коши (1) (3).

хар. ур.: ;

общ. реш. ур. (1) имеет вид:

рассм. опр-м пост. , из нач. усл. (2), (3):

- ур. искомой интегр. кривой (1), касающейся прямой в т. .

Задача 13

- лин. однор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. ;

хар. ур. для ур – я (1):

след., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;

общ. реш. ур. (1) имеет вид: .

Задача 14

- лин. однор. диф. ур. 4 пор. с пост. коэф. ;

хар. ур. для ур – я (1): ,

след., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;

опр – ль Вронского для фунд. с – мы реш – й:

, след., с – ма ф – й линейно независима;

общ. реш. ур. (1) имеет вид: .

Задача 15

- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

где - общ. реш. однор. ур. (2), а функции суть, соответственно,

частные реш – я след. ур – й:

; ,

причём частные реш – я ищем в виде:

Задача 16

- зад. Коши.

Ур – е (1)- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (5): ;

общ. реш. однор. ур. (5) имеет вид: ;

частное реш – е неоднор. диф. ур. (1) ищем в виде: ;

рассм.

;

общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид:

;

рассм. ; ;

опр – м пост. из нач. усл – й (2), (3), (4): ;

;

;

реш. зад. Коши (1) - (4): .

Задача 17

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид:

; где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1),

которое ищем в виде: ;

рассм. ;

;

;

общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .

Задача 18

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде:

; рассм.

;

;

общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .

Задача 19

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф.;

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

след., фунд. с – му реш – й ур – я (2) образуют ф – и ;

а общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

общ. реш. неоднор. ур. (1) будем искать методом вариации произвольных постоянных,

то есть в виде ,

а неизвестные ф – и опр – м из с – мы ур – й:

рассм.

;

;

общее реш – е. ур - я (1) имеет вид:

.