7

Диф. уравнения Вариант 18

Задача 1.

рассм. ур. (1) - ур. с разд.пер.;

пост. С нах-м из нач. усл. (2): ; - реш. зад. Коши (1), (2).

Задача 2.

- ур. с разд. пер.;

, - общ. реш. ур-я (1).

Задача 3

рассм. в прав. части ур. (1а) - однор. ф-я; введём новую

неизв. ф-ю , тогда ; ; - ур. с разд. пер.;

- общ. реш. ур. (1).

Задача 4

рассм.

в прав. части ур. (1а) - однор. ф-я; введём новую неизв. ф-ю , тогда ;

- общ. интеграл ур-я (1) или , - общ. реш. ур. (1).

Задача 5.

- лин. неоднор. ур 1 пор.;

соотв. однор. ур:

- общ. реш. одн. ур. (2); общ. реш. неодн. ур. (1) ищем в виде (метод вариации произв. пост.): рассм ;

- общ. реш. неодн. ур. (1).

Задача 6.

- лин. неоднор. ур 1 пор.;

соотв. однор. ур:

- общ. реш. одн. ур. (3); общ. реш. неодн. ур. (2) ищем в виде (метод вариации произв. пост.): рассм.;

- общ. реш. неодн. ур. (2) и, след., ур-я (1).

Задача 7.

ур. (1) – ур. Бернулли (n=2); применим метод Бернулли, т.е., положим

тогда ;

рассм. вспомогат. диф. ур.:

рассм. частн. реш. ур. (4) и подст. его в ур. (3):

- ур. с разд. пер.;

;

- общ. реш. ур. (1);

пост. С нах-м из нач. усл. (2):

, - реш. зад. Коши (1), (2).

Задача 8.

ур. (1) не содержит явно неизв. ф-ю y(x); введём новую неизв-ю

ф-ю , тогда ; - ур. с разд. перем.:

; рассм. теперь - общ. реш. ур-я (1).

Задача 9

- диф. ур. 2 пор.; рассм.

ур. (1) не содержит явно неизв. ф-ю y(x); введём нов. неизв. ф-ю

- ур. с разд. перем.; ;

расм.:;

;

- общ. реш. ур. (1).

Задача 10

Ур. (1) не содержит явно аргумент x; введём новый аргумент y и новую неизв. ф-ю ,

тогда ; ; (, т.к. это противоречило бы нач. усл. (3));

- ур. с разд. перем.; ;

пост. опр-м из нач. усл. (2), (3): при x = -3: y=0 и , т.е.

- ур. с разд. перем.;

;

пост. опр-м из нач. усл. (2): ;

- реш задачи Коши (1)(3).

Задача 11.

- лин. одн. ур. 2 пор. с пост. коэф.;

хар. ур.: фунд. с-му реш-ий

ур-я (1) образуют ф-и: и общ. реш. ур. (1):

Задача 12.

т. ; прямая (m): .

Найти интегр. кривую (l) ур-я (1), к-рая касается прямой (m) в т. . Пусть ур-е искомой интегр.

кривой (1) имеет вид: y = y(x). Т.к. кривая (l) проходит через т. , то ,

а так как крив. l касается в т. прямой m, то

след., данная здача предст. собой задачу Коши (1) (3) для диф. ур. (1).

Ур-е (1) - лин. неодн. ур 2 пор. с пост. коэф.;

хар. ур.: ;

общ. реш. ур. (1):

рассм.

опр-м пост. , из нач. усл. (2), (3):

ур. искомой интегр. кривой (l): .

Задача 13

- лин. однор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. ;

хар. ур. для ур – я (1):

след., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;

общ. реш. ур. (1) имеет вид: .

Задача 14

- лин. однор. диф. ур. 4 пор. с пост. коэф. ;

хар. ур. для ур – я (1): ;

след., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;

опр – ль Вронского для фунд. с – мы реш – й:

, след., с – ма ф – й линейно независима;

общ. реш. ур. (1) имеет вид: .

Задача 15

- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

где - общ. реш. однор. ур. (2), а функции суть, соответственно,

частные реш – я след. ур – й:

;

, причём частные реш – я ищем в виде:

.

Задача 16

- зад. Коши.

Ур – е (1)- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (многочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (5): ;

общ. реш. однор. ур. (5) имеет вид: ;

частное реш – е неоднор. диф. ур. (1) ищем в виде: ;

рассм.

;

общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

рассм. ; ;

опр – м пост. из нач. усл – й (2), (3), (4):

;

;

;

решим с - му ур – й (6) - (8) и опр – м пост. : ;

реш. зад. Коши (1) - (4): .

Задача 17

- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (многочлен);

соотв. однор. диф. ур.: хар. ур. для ур – я (2):

общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид:

; где - общ. реш. однор. ур. (2),

а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде: ;

рассм. ;

; ;

;

общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .

Задача 18

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде: ; рассм.

;

;

общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .

Задача 19

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф.;

соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

след., фунд. с – му реш – й ур – я (2) образуют ф – и ;

а общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

общ. реш. неоднор. ур. (1) будем искать методом вариации произвольных постоянных,

то есть в виде ,

а неизвестные ф – и опр – м из с – мы ур – й:

;

;

общее реш – е ур - я (1) имеет вид:

.