Diff / DEq13
.doc
6
Диф. уравнения Вариант
13
Задача 1
р-м - ур. с разд. пер.,
- общ. инт-л ур. (1); р-м н.у. (2): ;
- инт. ур-я (1), удовл. н.у. (2).
Задача 2
, - ур. с разд. пер. , - общ. инт. ур. (1).
Задача 3.
рассм. - одн. ур-е;
замена перем.: - ур. с разд пер.;
, - общ. инт. ур. (1)
Задача 4.
р-м , - однор. ур.;
зам. перем.: ;
; ; ; ;
- общ. инт. ур. (1).
Задача 5.
, (1) (2) – лин. неодн. ур-е 1 порядка;
рассм. соотв. однор. ур-е: (3):
разделим переем - е:
; - общ. реш. одн. ур. (3),
реш-е неодн. ур. (2) ищем методом вариации произв-х пост-х, т.е. в виде:
- общ.реш. ур (2) и , след., ур-я (1).
Задача 6.
- зад. Коши.
р-м или , (3) – лин. неодн. ур. 1 пор.;
р-м соотв. одн. ур.: ; (4)
- общ. реш. ур. (4).
Реш-е неодн. ур. (3) ищем мет. вариации произв. пост-х, т.е. в виде:
Тогда
, - общ. реш. ур. (3);
пост. С опр – м из нач. усл. (2): ;
, - реш-е задачи Коши (1) – (2).
Задача 8.
Ур-е (1) не содержит явно неизв. ф-ю y(x); введём новую неизв. ф-ю
- ур с разд. пер.;
- общ.реш. ур.(2);
- общ. реш. ур. (1).
Задача 9.
Ур. (1) не содержит явно неизв. ф-ю y(x), введём новую неизв. ф-ю
- ур. с разд. пер.;
- общ. реш. ур. (1)
Задача 10.
- зад. Коши.
Ур-е (1) не содержит явно аргумент x; введём новый аргумент y и новую неизв. ф-ю
1) , но это противоречит н.у. (3)
2) , (4) – ур. с разд. пер.;
, или
пост. С нах-м из н.у. (2), (3):
пост. нах-м из н.у. (2): ;
- реш. задачи Коши (1) – (3).
Задача 11.
, (1) – лин. одн. ур. 2 пор. с пост. коэф.;
хар. ур-е:
фунд. с-му реш-й ур. (1) образуют ф-и:
общ. реш. ур. (1) имеет вид:
Задача 12.
, (1) – лин. одн. ур. 2 пор. с пост. коэф..
Найти интегр. кривую ур-я (1), которая касается прямой y = x-5 в т. .
Т.к. искомая интегр. кривая y=y(x) прох. через т. , то y(0)=-5 , (2);
т.к. кривая y=y(x) в т. касается прямой y = x-5, то (3).
След., данная задача представляет собой задачу Коши (1) - (3).
Р-м хар. ур-е для диф. ур. (1):
След. общ. реш. ур. (1) имеет вид:
найдём пост. из нач. усл. (1), (2):
- ур-е искомой интегр. кривой ур. (1), прох. через т. и касающейся в ней прямой y = x-5.
Задача 13
- лин. однор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. ;
хар. ур. для ур – я (1):
след., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;
общ. реш. ур. (1) имеет вид: .
Задача 14
- лин. однор. диф. ур. 4 пор. с пост. коэф. ;
хар. ур. для ур – я (1): ,
след., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;
опр – ль Вронского для фунд. с – мы реш – й:
, след., с – ма ф – й линейно независима;
общ. реш. ур. (1) имеет вид: .
Задача 15
- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);
соотв. однор. диф. ур.:
хар. ур. для ур – я (2): ;
общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;
структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид:
;
где - общ. реш. однор. ур. (2), а функции суть, соответственно, частные реш – я
след. ур – й:
;
, причём частные реш – я ищем в виде:
.
Задача 16
- зад. Коши.
Ур – е (1)- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (многочлен);
соотв. однор. диф. ур.:
хар. ур. для ур – я (5): ;
общ. реш. однор. ур. (5) имеет вид: ;
частное реш – е неоднор. диф. ур. (1) ищем в виде: ;
рассм.
; ;
общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;
рассм. ; ;
опр – м пост. из нач. усл – й (2), (3), (4):
;
;
;
решим с-му ур-й (6), (7), (8) и опр-м пост. : ;
реш. зад. Коши (1) - (4): .
Задача 17
- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен); соотв. однор. диф. ур.:
хар. ур. для ур – я (2): ;
общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;
структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид:
; где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде: ;
рассм.
;
;
;
общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .
Задача 18
- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);
соотв. однор. диф. ур.:
хар. ур. для ур – я (2): ;
общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;
структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;
где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде:
; рассм.
;
;
общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .
Задача 19
- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф.;
соотв. однор. диф. ур.:
хар. ур. для ур – я (2): ;
след., фунд. с – му реш – й ур – я (2) образуют ф – и ;
а общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;
общ. реш. неоднор. ур. (1) будем искать методом вариации произвольных постоянных,
то есть в виде ,
а неизвестные ф – и опр – м из с – мы ур – й:
рассм.
;
;
общее реш – е. ур - я (1) имеет вид:
.