
книги из ГПНТБ / Ху, Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях
.pdf
|
8.2. МЕТОД РАССТАНОВКИ ПОМЕТОК |
151 |
|
Л емма 8.2. |
При к = О, 1 , 2 , . . . |
для любого узла N u спра |
|
ведливы неравенства |
|
|
|
и |
L ^ l ksal |
|
(а) |
|
|
|
|
|
Z u i< 4 +1. |
|
(б) |
Д оказательство. Поскольку (а) и (б) |
доказываются аналогично, |
||
рассмотрим одно из них, например (а). |
|
|
|
Если |
то соотношение (а) очевидно. |
|
|
Пусть Zsu+1 |
конечно и равно h. Обозначим через |
L h+l крат |
чайший путь |
из N s в N u, |
увеличивающий поток в сети N {Fh+1). |
||||||||||||||||||||
Пусть |
N S = N U(), |
N Ui, . . . , N Ufi = N u—последовательность |
узлов |
|||||||||||||||||||
пути Lh+l. Тогда |
Zs„0 = 0. |
Докажем, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
4 .+1 < ! |
+ |
4 г, |
г = 0 ,1 , ... , |
|
|
|
|
|
|
(в) |
||||||||
Очевидно, |
если |
дуга |
Л„. „. +1 £ N ( F k+l), |
то |
либо |
Au.u.+i £ N {Fh), |
||||||||||||||||
либо ^ u.+jUj. £ Lk. В первом случае lsui+1^ |
1 + leup поскольку всегда |
|||||||||||||||||||||
можно получить путь из N s |
в N u.+i не длиннее, чем 1 + 1*и., если |
|||||||||||||||||||||
воспользоваться дугой |
Аи.и. |
. Во втором случае |
|
u. = |
1 + |
Z* и. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
1т1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
I"Ь1* |
|
откуда |
ls> |
и |
= |
— 1 |
+ Is, и. < |
1 |
+ h, и.. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Суммируя |
|
все |
|
неравенства |
(в), |
получим |
|
Zs> |
|
+ |
u0 = |
||||||||||
_у __7ft+i |
• ■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
-- |
I V -- Vs, и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Л емма 8.3. |
Пусть |
в |
некоторой |
сети |
N(Fh) |
|
(к = 0, |
1, . . . ) |
|||||||||||||
кратчайший |
путь, |
|
увеличивающий |
поток, содержит |
дугу Aij, |
|||||||||||||||||
а в сети N (Fv), |
р > к , кратчайший путь, увеличивающий поток, |
|||||||||||||||||||||
содержит |
дугу |
А р. |
Тогда |
кардинальное |
расстояние |
Zff |
между |
|||||||||||||||
узлами |
N s и |
Nt |
в |
сети |
N ( F P) |
превышает |
1st |
не меньше чем |
||||||||||||||
на |
2 единицы, |
Z?t^ Z sH -2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Д оказательство. |
|
Так как |
|
А ц ^ Ь и, то Z^t = |
/м + |
1 + |
In- |
Кроме |
|||||||||||||
того, 1% = |
i . I s i и |
Ip —1 |
Ijt' |
Так как A j t £ L p, |
то |
1st — l“sj -Ь 1 -Ь |
||||||||||||||||
+ |
lit- |
Из |
леммы |
|
8.2 |
следует, |
что |
|
|
и |
Ip^lu- |
Поэтому |
||||||||||
1st |
1% ~"Ь 1 4~ l i t |
= |
(1 + |
h i ) Ч~ 1 “Ь (1 ~h h t ) — |
2 + |
1st- |
ш |
|
|
|
|
|||||||||||
|
Справедлива следующая теорема. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Т еорема 8.3. Если в методе расстановки пометок при |
поиске |
||||||||||||||||||||
путей |
из N s |
в N t, |
|
увеличивающих поток, |
каждый раз выбирать |
|||||||||||||||||
кратчайший |
путь, а в качестве пометки |
использовать |
е (;') = |
|||||||||||||||||||
= |
min [е (г), |
Ъц — хц + Хр], |
то для |
получения |
максимального |
152 ГЛ. 8. МАКСИМАЛЬНЫЙ ПОТОК
потока в сети достаточно не больше чем п3раз найти путь, увели чивающий поток (где п — число узлов в сети).
Д оказательство. Пока не получен максимальный поток, длина любого пути, увеличивающего поток, не превышает п — 1. Чтобы доказать теорему, достаточно показать, что расстояние между N s и N t должно стать больше, чем п — 1, если п3 раз найти путь, увеличивающий поток.
Из леммы 8.3 следует, что в последовательности сетей N (F0), N (F^, . . ., N (Fh) каждая дуга A tj может изменить свою ориен-
тацию самое большее—^— раз. По лемме 8.1 при переходе от сети
N (Fk) к сети N (Fk+i) каждый путь, увеличивающий поток, изме няет ориентацию не менее чем у одной дуги. Так как всего в сети имеется п (п — 1) дуг, а каждая дуга может менять ориентацию
не более |
раз, то общее число путей *), увеличивающих поток, |
не может быть больше чем \^п (п — 1) • —g-"] + 1 ^ п3.Л
Ясно, что полученная оценка может быть немного улучшена, если учесть, что у дуг вида A si и А и ориентация не изменяется. Однако в настоящее время неизвестно, как эту оценку существенно уменьшить, например, до О (п2)* 2).
8.3. Приложения
/М ногие обобщения задачи о максимальном потоке по существу /сводятся к ней. Известно, что эта задача находит приложения
|
в различных комбинаторных задачах. Основная трудность при |
|||
|
этом заключается в построении такой сети, чтобы нахождение |
|||
. |
максимального потока в ней было эквивалентно решению постав- |
|||
ленной комбинаторной задачи. |
|
|||
\ |
Рассмотрим несколько задач такого типа. Одной из них являет |
|||
|
ся задача о потоке в сети с несколькими источниками и стоками, |
|||
|
когда заданы |
предложения товара в источниках и спрос товара |
||
|
в стоках. Множество всех узлов разбивается на источники S, |
|||
|
*) Для нахождения одного пути, увеличивающего поток, в сети с р |
|||
|
дугами требуется О (р) вычислительных операций. Следовательно, в алго |
|||
|
ритме Эдмондса — Карпа всего требуется О (п3р ) операций для нахождения |
|||
|
максимального |
потока. |
Е. А. [5*] и Карзанова В. |
А. [8*] построены алго |
|
В работах |
Диница |
||
|
ритмы, более экономные |
по числу вычислительных |
операций: в работе [4*} |
|
|
максимальный |
поток находится за О (п2р ) операций, а в работе [8*] — за |
О(п3) операций. — Прим, перев.
2)В работе Н. Заде [19*] приведен пример, когда поиск максимального потока по алгоритму Эдмондса — Карпа требует перебора О (п3) путей, увели чивающих поток.— Прим, перев.
8.3. П Р И Л О Ж Е Н И Я |
153 |
промежуточные узлы R и стоки Т. Каждому узлу N t £ S поставле но в соответствие неотрицательное число a (N г) (предложение в N t), а каждому узлу N } 6 Т — неотрицательное число b (Nj) (спрос
Р(ис. 8.10.
вN j). Возникает вопрос: при каких условиях спрос в стоках мож но удовлетворить предложением в источниках, т. е. когда ограни чения
2 * ь i 2 |
& |
N t e s \ |
|
j |
k |
|
|
i |
2 |
= |
N i t R , |
j |
k |
|
N i t T , |
f - 2 |
xki = b(Nt), |
||
|
k |
|
|
0 ^ Xij b%j
допустимы? - Если потоку разрешается течь из любого источника в-любой
сток, то эта задача легко сводится к задаче с одним источником
иодним стоком добавлением одного дополнительного источника
иодного дополнительного стока. Добавляются новые ориентиро
ванные дуги, ведущие из дополнительного источника во все N t £ S и имеющие пропускные способности а (Л^), а также ориентирован ные дуги с пропускными способностями Ъ(Nг), ведущие из каждо го N t £ Т в дополнительный сток. Получается сеть, изображенная на рис. 8.10. Тогда задача об удовлетворении требуемого спроса заданным предложением сводится к нахождении! максимального потока в расширенной сети. Подробности можно найти в [67].
Если в сети с несколькими источниками и стоками поток дол жен идти из определенных источников в заданные стоки, возникает так называемая задача о многопродуктовых потоках в сети. Она будет рассматриваться в гл. 11.
Получим еще одно обобщение задачи о потоке, если дуговые потоки ограничим снизу не нулями, а заданными положительны ми целыми числами, т. е. для каждой дуги введем ограничение
|
* |
154 |
ГЛ. 8. МАКСИМАЛЬНЫЙ ПОТОК |
О ^ |
hj ^ ха ^ bij. Требуется определить, существует ли поток |
из источника N s в сток N и удовлетворяющий на дугах ограниче ниям сверху и снизу. Ответим на этот вопрос сначала в случае, когда в сети имеется только одна ориентированная дуга с ограни ченным снизу дуговым потоком. Обозначим эту дугу через A tj, а нижнюю границу потока по ней — через ltj. Расширим сеть, добавив два новых узла — искусственный источник N j с предло жением ltj и искусственный сток N t с таким же спросом Про пускную способность дуги А и изменим: если она была равна Ъц, то в новой сети она станет равной Ьц — l tj. Добавим, кроме того,
v
•ориентированную дугу из N t в N s с бесконечной пропускной способностью. Будем искать в расширенной сети максимальный поток из источника Nj в сток N t. Если величина этого потока в расширенной сети больше или равна 1ц, причем поток по дуге A ts равен xts, то^в исходной сети существует такой поток из N s
в N t величины v = xts, |
что |
1ц ^ Хц. Исходная и расширенная |
■сети изображены на рис. |
8 . 1 1 |
и 8 . 1 2 соответственно. |
Если в сети имеется несколько дуг, обладающих нижними гра ницами для дуговых потоков, то следует ввести несколько искус ственных источников и стоков, а затем задачу с несколькими источниками и стоками свести к задаче с одним источником и одним стоком введением дополнительного источника и дополнительного стока, как указывалось выше.
Рассмотрим теперь несколько хорошо известных результатов из комбинаторики, которые могут быть сформулированы в терми нах максимального потока и минимального разреза. Подробности можно найти в [67].
Граф называется двудольным г), если его узлы можно разбить на два непересекающихся множества S и Т (S = {S t}, i = 1 , 2 , . . .
. . ., m, и Т = {ГД, ] = 1 , 2 |
, . . ., |
п), так, что каждая дуга гра |
фа соединяет некоторый узел |
из S |
с узлом из Т. |
х) В книге [67] такие графы называются двусторонними.— Прим, перев.
8.3. ПРИЛОЖЕНИЯ |
155 |
Множество узлов называется (S , Т)-рассекающим множеством, «ели удаление из графа этих узлов вместе с инцидентными им дуга ми разрывает все цепи из S в Т .
Теорема 8.4 (теорема Кёнига — Эгервари). Пусть G — дву дольный граф. Максимальное число дуг графа G, попарно не имею щих общих узлов, равно минимальному числу узлов в (S , Т)-рас- секающем множестве узлов.
Т еорема 8.5 (теорема Менгера). Пусть- S и Т — два непересекающихся подмножества узлов графа. Максимальное число цепей из S в Т, попарно не имеющих общих узлов, равно минимальному числу узлов в (S , Т)-рассекающем множестве узлов.
Граф называется ориентированным, если он содержит только ориентированные дуги. Граф называется ациклическим, если он не содержит циклов. Пусть G — ациклический ориентированный граф. Разложение графа G на цепи есть такое разбиение множества узлов и дуг графа G на цепи, что каждый узел из G принадлежит одной и только одной цепи (или говорят, что множество цепей покрывает граф). Разложение с минимальным числом цепей назо вем минимальным. Будем говорить, что N j больше, чем N t, если имеется цепь, ведущая из N t в N } (это отношение порядка будем обозначать следующим образом: N t > N j). Два узла ациклическо го графа называются несравнимыми, если не выполняется ни N t >
> N j, ни N j > |
N t. |
* |
(теорема Дилворта). Максимальное число взаимно |
Т еорема 8 .6 |
несравнимых узлов в ациклическом ориентированном графе равно числу цепей в минимальном разложении графа.
Пусть |
N — {N |
N г, . . ., N n} — заданное множество эле |
ментов; |
S = {St, S 2, |
. . ., S m} — некоторое семейство подмно |
жеств данного множества N . Набор R различных элементов мно |
||
жества N |
|
|
|
R |
=■ { NH, N n , . . ., N jm) |
называется системой различных представителей семейства S, если
N jt 6 St, i = 1 , . . ., |
т. |
3, |
4, 5}, |
= |
{2, |
4, |
5}, |
S 2 = |
||
Например, |
пусть |
N = {1, 2, |
||||||||
= {1, 5}, S 3 = |
{3, 4}, |
S t = {3, |
4}. |
Тогда |
R = |
{5, |
1, |
3, |
4} |
есть |
система различных представителей для S — {Si, |
S 2, S 3, |
<S4}. |
Т еорема 8.7 (теорема Холла). Система различных представи телей для семейства S существует в том и только том случае, если объединение любых к множеств из S содержит по крайней мере к различных элементов, к = 1 , 2 , . . ., т.
156 |
ГЛ. 8. МАКСИМАЛЬНЫЙ ПОТОК |
8.4. Линейное программирование и потоки в сетях
Введем сначала несколько элементарных понятий теории гра фов. Деревом называется неориентированный связный граф, не содержащий циклов. Следовательно, между любыми двумя узлами дерева имеется единственная цепь, их соединяющая.
Граф Н , содержащий п узлов, является деревом, если выпол няются любые два из следующих трех условий:
1)граф Н связный,
2)граф Н не имеет циклов,
3)число дуг в Н равно п — 1.
Подграф Я графа G называется связывающим деревом1), если Н является деревом и каждый узел из G принадлежит Н.
Если граф G содержит п узлов, то всякий подграф графа G, являющийся деревом и содержащий п узлов, будет являться свя зывающим деревом. Если каждой дуге графа или сети поставить в соответствие некоторое число dij (длину дуги), то можно ввести понятие минимального (или максимального) связывающего дерева.
Минимальным (или максимальным) связывающим деревом графа
(сети) называется такое связывающее дерево, у которого сумма длин dtj всех дуг минимальна (или максимальна) среди всех свя зывающих деревьев этого графа (сети).
Вернемся, к задаче о максимальном потоке. В § 8.1 при ее изучении не использовались понятия линейного программирова ния. Но в действительности задачи о потоке в сети представляют собой специальный класс задач линейного программирования, и каждая потоковая задача может быть сформулирована как задача линейного программирования. Многие алгоритмы решения пото ковых задач основаны на принципах двойственности линейного программирования.
Рассмотрим, например, сеть, изображенную на рис. 8.1. Дуго вые потоки в сети будем рассматривать в качестве 6 переменных: xs2 , xs3, . . ., Xjf Хотя v выражается через хц, (v = xs2 + xs3),
будем считать v седьмой переменной. Задачу о максимальном потоке можно сформулировать как задачу линейного программи рования следующим образом:
максимизировать
Z = сх
при условиях
А'х = 0, А"х<Ь, х > 0 , |
(1) |
J) В литературе связывающее дерево часто называют деревом-остовом.—
П р и м , перее .
|
8.5. СВОЙСТВО АБСОЛЮТНОЙ УНИМОДУЛЯРНОСТИ |
159 |
||
уравнений |
|
Ах = |
Ь, |
|
|
|
|
||
где X — [р, |
3'2ч ■• *? |
?^2? • • •? |
|
|
|
А — матрица размера |
(п + т) X (2т + 1). |
|
Если теперь нужно перевезти заданное количество товара из источника в сток с минимальными затратами, то, возможно, не удастся весь поток пропустить по единственной цепи. Но число
ненулевых |
базисных переменных всегда будет меньше чем п — |
— 1 + т. |
Это значит, что задача останется вырожденной. |
8.5. Свойство абсолютной унимодулярности (Гофман, Краскал [103], Вейнотт, Данциг [199])
Выше было показано, что всякая задача о потоке в сети может быть сформулирована как задача линейного программирования
максимизировать
2 |
= |
СХ |
|
при условиях |
|
|
|
Ах = |
Ь, |
х ГЗг 0. |
(1) |
Задача о максимальном потоке, изучаемая в этой главе, и зада ча о потоке минимальной стоимости (гл. 1 0 ) могут быть представ
лены в виде (1). В § 8.2 было показано, что всегда существует целочисленное оптимальное решение задачи о максимальном потоке, если пропускные способности дуг целочисленны. Мы не мо жем утверждать, что и для общей задачи линейного программиро вания оптимальное решение всегда целочисленно.
Будем исследовать подкласс тех задач линейного программи рования, которые обладают целочисленным оптимальным реше нием. Гофман и Краскал [103] показали, что задача линейного программирования с ограничениями Ах ^ Ь, х ^ 0, всегда имеет целочисленное оптимальное решение при любом целочисленном векторе ограничений Ь, если матрица А является абсолютно унимодулярной.
Напомним, что матрица А называется абсолютно унимодулярной, если все ее миноры равны либо 0, либо ± 1 . Результат, полу ченный Гофманом и Краскалом, означает, что выпуклый много гранник, определяемый ограничениями Ах ^ Ь, х ^ 0, имеет целочисленные крайние точки при любом целочисленном векторе Ь, если матрица А абсолютно унимодулярна. Ясно, что условие абсо лютной унимодулярности матрицы А достаточно для существова ния целочисленного оптимального решения. Труднее показать, что это условие является и необходимым. Доказательство Гофма
160 |
ГЛ. 8. МАКСИМАЛЬНЫЙ ПОТОК |
на и Краскала [103] довольно громоздко, поэтому рассмотрим более простое доказательство Вейнотта и Данцига [199].
Если А есть (т X н)-матрица ранга т, то любую ее квадрат ную подматрицу ранга т назовем базисом матрицы А.
Т еорема 8.8. Пусть задача линейного программирования имеет ограничения вида Ах = Ь, х ^ 0. Если при этом матрица А целочисленна, ее вектор-строки линейно независимы, а вектор Ь целочислен, то следующие три условия являются эквивалентными.
1.Определитель любого базиса В матрицы А равен 1 или —1
2.Все крайние точки выпуклого многогранника С, определяе мого ограничениями Ах = Ь, х ^ 0, целочисленны при любом целочисленном векторе Ь.
3.Обращение В"1 любого базиса В является целочисленной матрицей.
Доказательство. Из условия 1 следует условие 2. Действи
тельно, пусть х — произвольная крайняя точка выпуклого мно
гогранника |
С, |
|
а В — соответствующий ей базис. |
Тогда |
х = |
||||||||
= [xB, x N], |
где |
Вхд = Ь, |
и |
x N = 0. По предположению |
Ь — |
||||||||
целочисленный вектор, а по условию |
1, det В = ± 1 . |
Тогда по |
|||||||||||
правилу |
Крамера |
следует, |
что |
х в — целочисленный |
вектор. |
||||||||
Значит, |
крайняя точка х = |
[хв, х^] |
целочисленна. |
|
|
|
|||||||
|
Из условия 2 следует условие 3. |
Действительно, пусть В — |
|||||||||||
базис, а |
у — произвольный |
целочисленный вектор, |
такой, |
что |
|||||||||
у + |
В _1ег ^ |
0, |
где |
е, есть |
i-й единичный вектор-столбец. Пусть |
||||||||
z = |
у + |
В - Ч |
^ |
0. |
Тогда |
Bz = |
By |
— целочисленный век |
тор, так как В, у, е* целочисленны. Поскольку в качестве Ь мож но взять любой целочисленный вектор, то положим Bz = Ь. Имеем Bz = b, z ^ 0, а это значит, что z является крайней точ кой выпуклого многогранника С, определяемого ограничениями Ах = Ь, х ^ 0. По условию 2 z является целочисленным векто ром. Но z — у — В_1ег, значит, В_1ег — целочисленный вектор (как разность двух целочисленных векторов z и у). Вектор В_1ег является i-м вектор-столбцом в В-1, значит, i-й столбец матрицы
В-1 |
целочислен. Эти рассуждения справедливы для любого ег, |
|
г = |
1, 2, . . ., |
т. Следовательно, матрица В-1 целочисленна. |
Из условия |
3 следует условие 1. Пусть В — некоторый базис. |
По предположению матрица В целочисленна и, следовательно, det В — целое число, не равное 0. По условию 3, В-1 — целочис ленная матрица, det В-1 — также целое число, не равное 0. Но
(det В) (det В-1) = 1, откуда следует, что det В = det В-1 = ± l - i
Аналогичные результаты могут быть получены для выпуклого многогранника С, определяемого ограничениями Ах ^ Ь, х ^ 0.
8.5. СВОЙСТВО АБСОЛЮТНОЙ УНИМОДУЛЯРНОСТИ |
161 |
Следствие. Рассмотрим выпуклый многогранник С, определяе
мый условиями Ах ^ Ь, х ^3=О, где матрица А целочисленна. Тогда
следующие три условия являются эквивалентными.
1'. Матрица А абсолютно унимодулярна.
2'. Все крайние точки многогранника С целочисленны при любом целочисленном векторе Ь.
3'. Каждая невырожденная подматрица матрицы Аобладает целочисленной обратной матрицей.
Положим А = (А, I). Можно легко доказать эквивалентность условий 1 и 1', 2 и 2', 3 и 3'. Покажем, например, что из условия 1' следует условие 1. Пусть М — произвольная невырожденная под матрица матрицы А, имеющая ранг т — к. Тогда некоторый базис
Вматрицы А можно представить (после перестановки столбцов)
вследующем виде:
в= 'М |
О |
|
N |
Ь |
|
где Ife — единичная матрица размера к X |
к. Очевидно, det В = |
|
= det М, и, следовательно, в силу 1' det |
В = + 1 . |
Аналогичными преобразованиями можно получить все осталь ные результаты, впервые приведенные в работе [103]. Заметим, что если хотя бы одна из матриц А, Ат, —А, (А, А) или (А, I) абсолютно унимодулярна, то этим свойством обладают и все остальные^выписанные матрицы. Более подробный материал, касающий ся рассмотренных преобразований, можно найти в работах [103], [199].
Чтобы проверить, обладает ли матрица А свойством абсолют ной унимодулярности, надо провести большую работу, если пере бирать все миноры матрицы А. Существуют, однако, достаточные (но не необходимые) условия абсолютной унимодулярности мат риц, которые проверяются гораздо легче.
Теорема 8.9. Матрица А абсолютно унимодулярна, если вы полняются следующие условия.
1. Каждый ее элемент равен 0, + 1 или —1.
2. Каждый ее столбец содержит не более двух ненулевых эле ментов *).
3. Строки матрицы А можно разбить на два непересекающихся множества /?( и Й2 таким образом, что
г) Можно показать, что если матрица А обладает свойством 2, то усло
вия 1, За, 36 необходимы для абсолютной ушшодулярности матрицы А .—
Прим. ред.
иТ . Ху
162 |
ГЛ. 8. МАКСИМАЛЬНЫЙ ПОТОК |
а) если столбец из А содержит два ненулевых элемента одного, знака, то один из них входит в Rt, а другой — в R 2,
б) если столбец из А содержит два ненулевых элемента с про тивоположными знаками, то оба они входят либо в R\, либо в R 2.
Д оказательство. (Предложено Гофманом в добавлении к рабо те [99].) Легко видеть, что любая подматрица матрицы А в свою очередь удовлетворяет условиям теоремы. Поэтому достаточно доказать, что определитель любой квадратной матрицы, удовлет воряющей условиям теоремы, равен 0, -(-1 или —1. Доказатель ство проведем индукцией по размеру матрицы. Для матрицы размера 1 x 1 теорема выполняется согласно условию (1). Пред положим теперь, что теорема верна для матрицы размера (п — 1 ) X,
X (п — 1), и пусть А — матрица размера п X п. Если в некото ром столбце все элементы равны 0, то det А = 0. Если в какомнибудь столбце матрицы А только один ненулевой элемент, то разложим определитель матрицы А по элементам этого столбца. Тогда det А = ± А ', где А' — алгебраическое дополнение нену левого элемента, равное 0 или ± 1 по индуктивному предположе
нию. Остается рассмотреть случай, когда каждый столбец матри цы А имеет ровно два ненулевых элемента. Тогда из условий (1) —
(3) следует, что |
2 |
аи = 2 aih 7 = 1» 2, . . ., п. Отсюда сле- |
дует, что det А = |
i£Hi |
г£Яг |
0 1). Заметим, что все рассуждения справедли |
||
вы и в случае, когда одно из множеств R t пусто. н |
Упражнения
1. Используя метод расстановки пометок, найти максимальный поток из N s в N t в сети, изображенной на рис. 8.13. В качестве исходного потока взять xsi = xi2 = хгъ — x3t = 2 , остальные xij — 0- (Число, написанное около дуги, обозначает ее пропуск ную способность.)
2.Найти минимальное связывающее дерево для сети, изобра женной на рис. 8.13, принимая числа, указанные рядом с дугами, за их длины.
3.При доказательстве теоремы о максимальном потоке и мини
мальном разрезе множество X определялось следующими прави
лами : |
если N t £ X |
и |
Хц < Ь ^ , |
то N j £X, |
N s £ X, |
||||
|
если N t £ X |
и |
хп > / 0 , |
то N } ^X. |
Дать аналогичное рекуррентное определение минимального |
||||
разреза (Y , Y), используя |
некоторый максимальный поток из N s |
|||
в N t и начиная с правила Nt |
6 Y. |
|
х) Действительно, в этом случае строки матрицы А линейно зависимы.—
Прим. ред.