книги из ГПНТБ / Ху, Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях

152 ГЛ. 8. МАКСИМАЛЬНЫЙ ПОТОК

потока в сети достаточно не больше чем п3раз найти путь, увели­ чивающий поток (где п — число узлов в сети).

Д оказательство. Пока не получен максимальный поток, длина любого пути, увеличивающего поток, не превышает п — 1. Чтобы доказать теорему, достаточно показать, что расстояние между N s и N t должно стать больше, чем п — 1, если п3 раз найти путь, увеличивающий поток.

Из леммы 8.3 следует, что в последовательности сетей N (F0), N (F^, . . ., N (Fh) каждая дуга A tj может изменить свою ориен-

тацию самое большее—^— раз. По лемме 8.1 при переходе от сети

N (Fk) к сети N (Fk+i) каждый путь, увеличивающий поток, изме­ няет ориентацию не менее чем у одной дуги. Так как всего в сети имеется п (п — 1) дуг, а каждая дуга может менять ориентацию

не может быть больше чем \^п (п — 1) • —g-"] + 1 ^ п3.Л

Ясно, что полученная оценка может быть немного улучшена, если учесть, что у дуг вида A si и А и ориентация не изменяется. Однако в настоящее время неизвестно, как эту оценку существенно уменьшить, например, до О (п2)* 2).

8.3. Приложения

/М ногие обобщения задачи о максимальном потоке по существу /сводятся к ней. Известно, что эта задача находит приложения

О(п3) операций. — Прим, перев.

2)В работе Н. Заде [19*] приведен пример, когда поиск максимального потока по алгоритму Эдмондса — Карпа требует перебора О (п3) путей, увели­ чивающих поток.— Прим, перев.

промежуточные узлы R и стоки Т. Каждому узлу N t £ S поставле­ но в соответствие неотрицательное число a (N г) (предложение в N t), а каждому узлу N } 6 Т — неотрицательное число b (Nj) (спрос

Р(ис. 8.10.

вN j). Возникает вопрос: при каких условиях спрос в стоках мож­ но удовлетворить предложением в источниках, т. е. когда ограни­ чения

0 ^ Xij b%j

допустимы? - Если потоку разрешается течь из любого источника в-любой

сток, то эта задача легко сводится к задаче с одним источником

иодним стоком добавлением одного дополнительного источника

иодного дополнительного стока. Добавляются новые ориентиро­

ванные дуги, ведущие из дополнительного источника во все N t £ S и имеющие пропускные способности а (Л^), а также ориентирован­ ные дуги с пропускными способностями Ъ(Nг), ведущие из каждо­ го N t £ Т в дополнительный сток. Получается сеть, изображенная на рис. 8.10. Тогда задача об удовлетворении требуемого спроса заданным предложением сводится к нахождении! максимального потока в расширенной сети. Подробности можно найти в [67].

Если в сети с несколькими источниками и стоками поток дол­ жен идти из определенных источников в заданные стоки, возникает так называемая задача о многопродуктовых потоках в сети. Она будет рассматриваться в гл. 11.

Получим еще одно обобщение задачи о потоке, если дуговые потоки ограничим снизу не нулями, а заданными положительны­ ми целыми числами, т. е. для каждой дуги введем ограничение

Множество узлов называется (S , Т)-рассекающим множеством, «ели удаление из графа этих узлов вместе с инцидентными им дуга­ ми разрывает все цепи из S в Т .

Теорема 8.4 (теорема Кёнига — Эгервари). Пусть G — дву­ дольный граф. Максимальное число дуг графа G, попарно не имею­ щих общих узлов, равно минимальному числу узлов в (S , Т)-рас- секающем множестве узлов.

Т еорема 8.5 (теорема Менгера). Пусть- S и Т — два непересекающихся подмножества узлов графа. Максимальное число цепей из S в Т, попарно не имеющих общих узлов, равно минимальному числу узлов в (S , Т)-рассекающем множестве узлов.

Граф называется ориентированным, если он содержит только ориентированные дуги. Граф называется ациклическим, если он не содержит циклов. Пусть G — ациклический ориентированный граф. Разложение графа G на цепи есть такое разбиение множества узлов и дуг графа G на цепи, что каждый узел из G принадлежит одной и только одной цепи (или говорят, что множество цепей покрывает граф). Разложение с минимальным числом цепей назо­ вем минимальным. Будем говорить, что N j больше, чем N t, если имеется цепь, ведущая из N t в N } (это отношение порядка будем обозначать следующим образом: N t > N j). Два узла ациклическо­ го графа называются несравнимыми, если не выполняется ни N t >

несравнимых узлов в ациклическом ориентированном графе равно числу цепей в минимальном разложении графа.

называется системой различных представителей семейства S, если

Т еорема 8.7 (теорема Холла). Система различных представи­ телей для семейства S существует в том и только том случае, если объединение любых к множеств из S содержит по крайней мере к различных элементов, к = 1 , 2 , . . ., т.

Если теперь нужно перевезти заданное количество товара из источника в сток с минимальными затратами, то, возможно, не удастся весь поток пропустить по единственной цепи. Но число

8.5. Свойство абсолютной унимодулярности (Гофман, Краскал [103], Вейнотт, Данциг [199])

Выше было показано, что всякая задача о потоке в сети может быть сформулирована как задача линейного программирования

максимизировать

Задача о максимальном потоке, изучаемая в этой главе, и зада­ ча о потоке минимальной стоимости (гл. 1 0 ) могут быть представ­

лены в виде (1). В § 8.2 было показано, что всегда существует целочисленное оптимальное решение задачи о максимальном потоке, если пропускные способности дуг целочисленны. Мы не мо­ жем утверждать, что и для общей задачи линейного программиро­ вания оптимальное решение всегда целочисленно.

Будем исследовать подкласс тех задач линейного программи­ рования, которые обладают целочисленным оптимальным реше­ нием. Гофман и Краскал [103] показали, что задача линейного программирования с ограничениями Ах ^ Ь, х ^ 0, всегда имеет целочисленное оптимальное решение при любом целочисленном векторе ограничений Ь, если матрица А является абсолютно унимодулярной.

Напомним, что матрица А называется абсолютно унимодулярной, если все ее миноры равны либо 0, либо ± 1 . Результат, полу­ ченный Гофманом и Краскалом, означает, что выпуклый много­ гранник, определяемый ограничениями Ах ^ Ь, х ^ 0, имеет целочисленные крайние точки при любом целочисленном векторе Ь, если матрица А абсолютно унимодулярна. Ясно, что условие абсо­ лютной унимодулярности матрицы А достаточно для существова­ ния целочисленного оптимального решения. Труднее показать, что это условие является и необходимым. Доказательство Гофма­

на и Краскала [103] довольно громоздко, поэтому рассмотрим более простое доказательство Вейнотта и Данцига [199].

Если А есть (т X н)-матрица ранга т, то любую ее квадрат­ ную подматрицу ранга т назовем базисом матрицы А.

Т еорема 8.8. Пусть задача линейного программирования имеет ограничения вида Ах = Ь, х ^ 0. Если при этом матрица А целочисленна, ее вектор-строки линейно независимы, а вектор Ь целочислен, то следующие три условия являются эквивалентными.

1.Определитель любого базиса В матрицы А равен 1 или —1

2.Все крайние точки выпуклого многогранника С, определяе­ мого ограничениями Ах = Ь, х ^ 0, целочисленны при любом целочисленном векторе Ь.

3.Обращение В"1 любого базиса В является целочисленной матрицей.

Доказательство. Из условия 1 следует условие 2. Действи­

тельно, пусть х — произвольная крайняя точка выпуклого мно­

тор, так как В, у, е* целочисленны. Поскольку в качестве Ь мож­ но взять любой целочисленный вектор, то положим Bz = Ь. Имеем Bz = b, z ^ 0, а это значит, что z является крайней точ­ кой выпуклого многогранника С, определяемого ограничениями Ах = Ь, х ^ 0. По условию 2 z является целочисленным векто­ ром. Но z — у — В_1ег, значит, В_1ег — целочисленный вектор (как разность двух целочисленных векторов z и у). Вектор В_1ег является i-м вектор-столбцом в В-1, значит, i-й столбец матрицы

По предположению матрица В целочисленна и, следовательно, det В — целое число, не равное 0. По условию 3, В-1 — целочис­ ленная матрица, det В-1 — также целое число, не равное 0. Но

(det В) (det В-1) = 1, откуда следует, что det В = det В-1 = ± l - i

Аналогичные результаты могут быть получены для выпуклого многогранника С, определяемого ограничениями Ах ^ Ь, х ^ 0.