книги из ГПНТБ / Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы

ленная в объеме V. Обозначим С„,к коэффициенты Фурье этой функции по системе (28.6). Тогда имеет место очевидное ра­ венство

Этим доказана полнота системы функций {cfn,k} в объеме V. Таким образом, система функций (28.5) образует ортонормироваипый базис в пространстве состояний одной частицы и мо­ жет быть использована для изучения объемных свойств макро­ скопической системы наряду с обычным одпочастичным бази­ сом в виде плоских волн.

До сих пор не использовался явный вид функций (28.5) внутри ячейки. Поэтому описанная процедура (с небольшими изменениями) пригодна для построения ячеистого базиса на произвольной полной ортонормированпой системе функций, определенных внутри ячейки.

Вторичное квантование с помощью ячеистого базиса. В представлении вторичного квантования гамильтониан систе­

29#

Операторы а и а+ подчиняются соотношениям антикоммутации:

X и (г, r')<Pn.ik4(r')«Pn, ki(r).

Гамильтониан (28.15) можно представить в виде суммы «адди­ тивного» гамильтониана и члена, учитывающего взаимодейст­ вие между ячейками:

II* 291

n / п' к ,, к., k3, к4

(28.19)

При этом номер ячейки п выступает в задаче как дополни­ тельное квантовое число. Выражения (28.16) —(28.19) являются точными в том смысле, что гамильтониан в формуле (28.16) в точности эквивалентен исходному гамильтониану (28.11), так что.введение ячеистого базиса само по себе не вносит никаких приближений и не связано ни с какими моделями. В частности,

неаддитивная часть взаимодействия W дает вклад в энергию, который в случае однородной системы пропорционален числу частиц. В то же время введение ячеистого базиса позволяет устранить трудности, возникающие при попытках распростра­ нить методы оценок, приведенные в § 27, на системы с макро­ скопически большим числом степеней свободы.

Собственные функции в представлении ячеистого базиса. Оценки энергии в аддитивном приближении. Физически очевид­ но, что при достаточно большом размере ячеек неаддитивный

член W гамильтониана (28.16) мал по сравнению с # ад и его можно учитывать по теории возмущений. Отметим, что ячей­ ка вовсе не должна содержать макроскопически большое число частиц, как этого требует обычная статистическая механика, которая полностью пренебрегает взаимодействием между «под­ системами». Поскольку для применимости теории возмущений

требуется лишь относительная малость W, то ограничения на размер ячейки могут оказаться значительно менее жесткими, чем этого требует статистическая механика. В частности, рас­ четы для предельного случая г8^>1 подтверждают это.

Энергия системы в нулевом приближении по W равна наинизшему собственному значению аддитивного гамильтониана

(28.20)

П

Поскольку Н„ с различными п коммутируют, то собствен­

ный вектор гамильтониана Яад можно представить в виде пря­ мого произведения собственных векторов гамильтонианов яче-

П

где |Ч ^П> определяется из уравнения Шредингера, описываю­ щего движение частиц в n-й ячейке:

292

В этом уравнении п характеризует номер ячейки, а к — полный набор квантовых чисел, определяющих собственную функцию.

Собственные функции полного гамильтониана (28.16) можно представить в виде

возмущений с желаемой точностью. Таким образом, задача сво­ дится к определению l^n.kX из уравнения (28.22).

Полная система собственных векторов ячейки содержит со­ стояния с произвольным числом частиц (и, в частности, состоя­

основном векторы |Ч/'п,к>, соответствующие равновесному чис­ лу частиц в ячейке N„ = nV0= (N/V)V0. Разумеется, в известных случаях флуктуации числа частиц в ячейке AN„ могут быть не

Nn -\-AN п-

Отметим, что неопределенность числа частиц в ячейке свя­ зана, по-видимому, не только с термодинамическими флуктуа­ циями. Как это видно из введения ячеистого базиса во вторич­ ном квантовании, номер ячейки приобретает смысл нового квантового числа. Поэтому вряд ли можно говорить о строгой локализации определенного числа частиц в ячейке.

Таким образом, вычисление энергии электронного газа сво­ дится к решению уравнения Шредингера (28.22) внутри одной ячейки, содержащей конечное число частиц. Разумеется, эта задача все еще очень сложна и, вообще говоря, не может быть решена точно, поскольку, во-первых, внутри ячейки в общем случае нет малого параметра и, во-вторых, ячейка может со­ держать все еще большое (хотя и конечное) число взаимодейст­ вующих частиц. Поэтому речь может идти лишь о получении оценок сверху и снизу для точного собственного значения мето­ дами, изложенными в § 27.

Уравнение (28.22) описывает систему, заключенную в ячей­ ку объемом Vo и содержащую конечное число частиц. Для такой системы уже сравнительно легко построить несложные подпространства УЛ, обладающие достаточной полнотой по от­ ношению к интересующим нас состояниям |Чгп,к>- Поэтому для оценки значений Еп_к сверху и снизу можно воспользо*

293

эти подпространства. Верхние и нижние граничные значения для Е n.k являются собственными значениями уравнений Шредингера:

Важно, что для основного состояния пространственно однород­ ной системы (или системы в периодическом внешнем поле) E f 0 и E f 0не зависят от п:

Видно, что при оценках энергии основного состояния полная энергия основного состояния большой системы пропорциональ­ на полному числу частиц в системе N. Отметим, что собствен­

Тогда из уравнений (28.28) и (28.29) следует оценка для энер­

где Е0— точное значение энергии основного состояния системы. В заключение параграфа сделаем одно существенное за­

нант из плоских волн в ячейке (28.5)], то уравнения (28.24) и

294

(28.25) описывают в сущности именно движение этих пар. В этом случае приходится решать уравнения Шредингера, за­ висящие от координат двух — четырех квазичастиц, хотя исход­

определяемой характером задачи, а отнюдь не со спектроскопи­ ческой точностью, как это нужно было делать Лёвдину в случае гелиеподобных ионов.

также является эрмитовым проекционным оператором:

другими «свободными» функциями Грина, которые теперь с са­ мого начала учитывают различные взаимодействия внутри ячейки. Задача, таким образом, сводится к диагонализации

гамильтониана 0 Я ад0. Собственные функции этого гамильто-

295

пиана, так же как и гамильтониана Н, принадлежат подпрост­ ранству ЯЛ=П ЯЛП. Но в подпространстве ЯЛ

Следовательно, гамильтониан ОЯадО можно заменить аддитив-

/ N

ным гамильтонианом 2 Я „, диагонализация которого не пред-

П

ставляет большого труда.

Оценка снизу. В представлении ячеистого базиса гамиль­

цице можно представить в виде ряда теории возмущений по W, и задача сводится к диагонализации аддитивного гамильтониа­

на ЕЯП (см. § 27).

П

Однако при построении внутренней проекции, соглас-

/Ч

но (27.11), необходимо явное выражение для Д|/2, что в слу­

в задаче многих тел можно обойти, построив нижнюю проек­ цию другого вида. Так, для операторов вида

296

что и доказывает неравенство (29.10).— Запишем теперь гамильтониан Н„ в представлении «ячеи­

При этом, если объем ячейки Vo достаточно велик, можно по­ ложить*

<кх, к21и | к3, к4> = и ( | ki — к31) б(к4 + к2 — к3 — к4),

где и — оператор взаимодействия электронов. Тогда

297

где оператор q-й компоненты флуктуации плотности в n-й ячей­ ке имеет вид

~~+

Pn,q — ^n.k—q.a^n.k.a; k,o

T и U — операторы кинетической энергии электрона и периоди­ ческого внешнего поля соответственно. При этом в операторы рождения а+ и поглощения а электрона в n-й ячейке явно вве­ дены спиновые индексы. Последний член в выражении (29.13) учитывает двухчастичное взаимодействие и представляется сум­ мой по q операторов (29.7), поскольку оператор взаимодейст­ вия в импульсном представлении d(q)—4ne2/q2 положительно определен. Выбирая далее набор эрмитовых проекционных опе­

фоне положительного заряда в двух предельных случаях. Что­ бы не усложнять выкладок, исключим из рассмотрения перио­ дическое внешнее поле, т. е. проведем вычисления в упрощен­ ной постановке задачи. Отметим, что предлагаемый здесь фор­ мализм диктуется соображениями удобства вычислений и не является единственно возможным. Тем не менее такое кон­ кретное вычисление является наглядной иллюстрацией эффек­

d .P i .<*1 .P t.

где fln.p.a — оператор уничтожения частицы в состоянии (29.12);

р = Пк- е (р) = ра/2т, и (q) = 4ne2/q\

Яп,р,о #П+, р ,0 ^П,р,СГ.

298

Будем строить внешнюю проекцию оператора #„ на подпро­ странство ЭЛ, определяемое системой базисных векторов*:

ка; р — химический потенциал n-й ячейки, в равновесии одина­

n-й ячейки на подпространство ЯЛП. С помощью этого операто­ ра строим внешнюю проекцию

ранству ЯЛ 2. Поэтому вектор основного состояния гамильтониа­ на (29.19) можно представить в виде

* Здесь и далее под р понимаем (р, о ).

299