Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие]

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

15.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 4928 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

§ 6 .1 . ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

271

В первом случае векторы J t .e R " и ^ e R " 1 е том и только том случае будут решениями задач (1) и (4) соответственно, когда они допустимы в этих задачах и удовлетворяют одному из двух эквивалентных соотно шений::


				{c\xt) = {yjb ),					(5)
		(у .\ А х .-Ъ )			=	{А’у . - с \|х.) = 0.			(6)
Д о к а з а т е л ь с т в о .						В силу замкнутости 5 (г)			по
лучаем, что если 5 (г) — собственная функция,								то по тео
реме	Фенхеля — Моро				S(b) — S**(b).		Если	при	этом
b ен dom S,		то	значения		обеих задач конечны и, в				силу
теоремы 1,		обе они		разрешимы. Если же b ф. dom 5, то
S(b) =	S **(b )= оо.			Это	значит, в частности, что в пер
вой задаче множество допустимых элементов пусто.									(На
помним, что			inf /(х ) =		+ оо .) Рассмотрим случай,				ког-
да S (z )— несобственная					функция. Если		S (z)s= oo,		то и

S**(z)== оо, и мы приходим к уже рассмотренному слу

чаю.	Если S — несобственная		функция	и dom 5 = ^ 0 (в
этом	случае	S (2 ) — — оо на	dom S),	то	S**(z) = — оо.
Это	значит,	что S** (b) s = — оо, т. е.		во	второй задаче

множество допустимых элементов пусто, а в первой либо это множество пусто (когда S (b )— oо ), либо миними зируемая функция неограничена снизу на допустимом

множестве		(когда		S(b) =		— оо).	Первая	часть теоремы
доказана.							(1) и	(4), то по дока
	Если х* и г/» — решения задач
занному (с\|х*) =			(у*\Ь).		Наоборот, для всяких допусти
мых элементов х			и у
		(с I х) >		{А*у \х) = (у\ Ах) > ( у \Ь).					(7)
Поэтому, если выполнено равенство (5),								то х*	и г/* — ре
шения задач. Далее, если выполнено (6),								то
		(с \|х,) =		(А*у, \|x j		= (у. \|AxJ =		(b \|г/*).	(8)
С	другой	стороны,		если	х	и у — допустимые			элементы
в	задачах	(1) и	(4) и		выполнено равенство				(5), то в

силу (7) выполнены равенства (8), эквивалентные усло вию (6). Итак, условия (5) и (6), действительно, рав носильны. Теорема доказана.

272 ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

§ 6.2, Теория квадратичных форм в гильбертовом пространстве

В этом параграфе излагается фрагмент вариацион ной теории квадратичных форм.

6.2.1. Определения. Для полноты изложения приве дем все необходимые для дальнейшего определения. Часть из них уже приводилась нами ранее.

Функция Q(x), заданная в линейном пространстве X, называется квадратичной формой, если существует та кая билинейная симметричная функция В(х,у), что

Q(x) = B (x,x).

(1)

Отметим, что билинейная форма В определяется по Q

однозначно: В (х, у) — lU(Q (х + у) — Q(x — у)).

Квадратичная форма Q называется положительной

(неотрицательной), .если Q (x )> 0 при х ф 0 (соответ ственно Q ( x ) ^ 0 при всех х<=Х ). Аналогично опреде ляются отрицательная и неположительная формы.

Функция k(x) называется квадратичной, если

k (х) = Q (х) + I{х) + а,

где Q — квадратичная форма, / — линейный функционал и а — константа.

Далее X — это сепарабельное гильбертово простран ство. Квадратичную форму Q называют слабо непре рывной, если она непрерывна относительно слабой топологии Х\ слабо полунепрерывной снизу, если она по лунепрерывна снизу относительно слабой топологии про странства X. Наконец, квадратичную форму Q называют лежандровой, если она слабо полунепрерывна снизу и

если пз	слабой сходимости хп к х и сходимости Q (x„)
к Q(x)	следует сильная сходимость хп к х. Максималь

ная размерность тех подпространств, на которых квад ратичная форма Q неположительно определена, назы вается ее индексом*) и обозначается ind Q.

Пусть В( х, у) — непрерывная в сильной топологии

билинейная симметричная функция. Тогда отображение
__________________		х - +В( х , у)
* )	И н о г д а	и н д е к с о м	к в а д р а т и ч н о й	ф о р м ы	н а
н у ю	р а з м е р н о	с т ь п о д п р о	с т р а н с т в а , н	отрицательнок о о р	м

о п р е д е л е н а .

§ 6.2. ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ

273

есть при фиксированном у е ! линейная непрерывная функция на X. Следовательно, по теореме об общем виде линейного функционала в гильбертовом простран стве найдется такой элемент г] = Лу, что

В (х, у) = (х fo).

Легко понять, что оператор А ^ З ’ (Х ,Х ), т. е. является линейным и непрерывным оператором, а в силу сим метрии функции В он является самосопряженным. От> сюда и из формулы (1) получается, что непрерывная квадратичная форма допускает следующее представ ление:

Q M = V2(A*U ),

где Л — непрерывный линейный самосопряженный опе ратор. Коэффициент ‘/г мы выбрали ради удобства. (Отметим, что ранее в п. 0.2.5 мы последнее соотноше ние принимали за определение квадратичной формы.)

Л ^	Если	Л — самосопряженный		оператор, то символ
	0 (соответственно Л > 0) означает, что квадратич
ная	форма Q(x) =		1/2(Ах, х) неотрицательно		(соответ
ственно положительно) определена.					оператор.
Пусть		Л: Х —*Х — линейный		непрерывный
Число X называется			собственным значением		оператора
Л, если существует вектор х ф 0 такой, что
			Ах = Хх.

Сам	вектор л: называется при этом собственным векто
ром.	Оператор Л ^ 3? {X, X) называется компактным,

если он всякое ограниченное множество переводит в от носительно компактное или, что равносильно, всякую

слабо сходящуюся последовательность — в сильно				схо
дящуюся.
6.2.2.	Гладкие экстремальные		задачи с квадратич
ными функциями. Рассмотрим задачу с ограничениями
типа равенств:
k0(*)->inf (sup);		ki(x) = 0,	я,	(2)
где			г = 0, . . . , п,
kt (х) = ‘/г (А{Х \|х) + (а, \|х) + а„
— квадратичные функции. В п. 0.2.5			было показано,	что
квадратичные функции		являются дифференцируемыми

274	ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
по Фреше.	Следовательно, задача (2) относится к числу

гладких задач, к которым применимо следствие 1 из теоремы 1 § 1.1. Из этого следствия сразу вытекает та кое утверждение.

П р е д л о ж е н и е			1. Для того чтобы элемент xt до
ставлял экстремум в задаче (2),				необходимо, чтобы на
шлись числа Хо, ....			Хп, не все равные нулю и			такие,
что выполнено следующее соотношение:
		2	(А{х^ + а{) =		0.	(3)
		i=0
С л е д с т в и е		1.	В задаче	без	ограничений
		k0М -> inf (sup)
решение	удовлетворяет соотношению
			Л0*, + а0=	0.		(4)
С л е д с т в и е		2.	Решение х » экстремальной			задачи
	(Лл: \|а с ) — > inf (sup);			(л: \|лг) = = 1		(5)

является собственным вектором оператора Л, и при этом собственное число является значением задачи (5).

Действительно, уравнение (3) дает

А,оЛлг„ +	— 0.
При этом Хо Ф 0, ибо иначе	и второй множитель Ла

гранжа равнялся бы нулю, чего не может быть. Следо вательно,

Axt = Xxt.

Домножая это равенство на х*, мы получаем, что

Х= (Л**|*»), что и требовалось.

6.2.3.Слабо непрерывные формы. Теорема Гильберта.

Т е о р е м а 1 (Гильберт). Для того чтобы квадратич ная форма Q (jc) = V2 (А л: |jc) , где Л — линейный непре рывный самосопряженный оператор, была слабо непре рывной, необходимо и достаточно, чтобы оператор А был компактным. При этом существует ортонормированный базис еи , . . , еп, . . . в пространстве X, состоящий

§ 6.2. ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ. ФОРМ

275

из собственных векторов оператора А, в котором форма Q принимает вид

		оо
	Q W = '/2 2 l k (x\ek)\		(6)
		k—\
Afift == A^Cfc,	{&i I£j ) == 6;/,	\| A;] \| ^ . . . ^-3 \| Хц I	A; —►0.
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Докажем сначала	достаточ
ность. Пусть	Л — компактный оператор. По		определе

нию это означает, что всякую слабо сходящуюся после довательность он переводит в сильно сходящуюся. По кажем, что форма Q — слабо непрерывна. Пусть хп слабо сходится к х. Тогда по теореме Банаха — Штейнгауза эта последовательность является сильно ограни

ченной, т. е. существует такое число			С,	что	\|\|x„\|\| =£7 С
и,	следовательно,	\|\|x\|\| ^ С. В итоге	получается:
2 I Q (хп) — Q (х) \|=		\|(Ахп \|хп) — (Ах \|х) \|<
	\|{Ахп \|хп)	(Ад: \|хп) \|-(-1{Ахп \|х)		(Лл: \|л:) \|^
<	\|Ахп- А х \|\|хп\|+ 1\|Ахп- А х \|\|л: \|<		2С \|Ллг„ -		Ах \|-> 0

Достаточность доказана.

Необходимость докажем, выведя предварительно со отношение (6). Базис еи . . . , еп, . . . будем строить ин дуктивно. Для определения щ рассмотрим экстремаль ную задачу:

*/21(Л * \х) |= |Q(x) I—> sup;

(х | х )< 1 .

(7)

Значение этой

задачи

обозначим

силу того,

что

единичный шар 5(0, 1)

= {х| (х | х )^

является слабо

компактным, а форма Q слабо непрерывна по условию,

решение задачи (7) существует.

Допустим сначала,

что

а( =

0. Тогда

(Лх |х ) е= 0 на

и, значит, любой

век

тор х

является

экстремумом

задаче без ограничений

{Ах |х) -»

inf. По

следствию

из предложения

1 полу

чаем,

что

тогда

Ах =

0, т.

е.

любой вектор

является

собственным	с собственным значением нуль. В этом слу
чае теорема	Гильберта доказана. Если же	ах Ф 0,	то
решение ei принадлежит единичной сфере {х \(х\х) =			1}
и является экстремумом такой задачи:
V2(Ax\|x) = Q (x)->inf(sup); (х \ х )=		1.

276		ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
В силу следствия 2 из предложения					1 вектор еi являет
ся собственным вектором оператора А:
		Аб) —		I Я] \|=	а.\.
	Пусть	теперь	п	ортонормированных		векторов
е\.........	е„,	являющихся собственными векторами опера
тора А с собственными значениями					. . . ,	Яп, уже по
строены.		Рассмотрим экстремальную задачу:
	I Q M \|-> sup;		(л:\|л:)< 1 , (jc \|ef) =		0, г =	1,

Значение этой задачи обозначим ап+1. Существова ние решения в этой задаче сразу вытекает из слабой компактности единичного шара в X. Ясно и то, что если ап+1 Ф 0, то решение en+i принадлежит единичной сфе ре и, следовательно, является решением задачи:

Q(jc) —►inf (sup); (х \х) = 1, (х\|е,) =	0,	/ = 1 , . . . , п.
В силу предложения 1 найдутся числа Я0, Но........ н«
такие, что
П
^oAert+1 + Hoe«+i + i i	=	0.
i = l

Домножив это равенство последовательно на ei......... еп

и использовав		ортонормированность			системы		еи . ..
. . . ,	еп+и получаем:
	Я0(Ле„+1 \ек) +		^ =	Х0(Аек \|е„+1) +	ц* =	pfe =	0,
т. е.	(Хй = 0. k =	1,	. . . ,	п, а значит, Яо Ф 0		(ибо	иначе
все множители Лагранжа были бы нулями)						и Aen+i —

=(—poAo)en+i. Таким образом,


	А в п + \ == ^71+I^rt + I» 1 ^«+1 I =		+
Итак,	en+i — собственный	вектор, и мы можем		продол
жать	наше индуктивное построение. Если же ап+1 = 0,
то получается, что на		подпространстве		ортого

нальном к еи . . . , е п, оператор А является нулевым и,

§ 6.2. ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ				277
п
значит, х = 2 xke k + 1,	£ е	и
k=\
Q (x) = '/г (Лл: \|я) — '/г ^A ^ 2 хкек+			\|2 хкек+ \|) =
=	Va 2	M * * )2= V »		I ] M * \| e ft)2-
	a=i			fe=i

В этом случае теорема Гильберта уже доказана. Подведем итоги. Либо наше индуктивное построение

приводит к тому, что оператор А оказывается конечно мерным, либо оно продолжается неограниченно. Нера венства |Xi|^|^2| ^ ••• следуют сразу из наших по строений. Далее, последовательность единичных векто ров е„ слабо стремится к нулю, откуда

I А-п I = I (Ae„ j £„) |= 2 1Q (е„) |—> 0.

Рассмотрим, наконец, ортогональное дополнение Lx к подпространству L, натянутому на все векторы в\, ...

. . . , е„, ... , и следующую задачу:

|Q(x) |->sup;

(*|л:)^1,

x e L 1 .

Ее значение есть нуль, ибо оно не может превосхо

дить никакого ап+и a an+i—* 0.

Значит,

на подпростран

стве /А квадратичная

форма

Q (x )= 0 .

Взяв

базис

/ ь ... ,

fs, ...

подпространстве L1-

и дополнив его

векторами

еи . . . . еп, . . . , получим

базис

простран

стве X, состоящий из собственных

векторов

оператора

Л. При этом имеет место равенство

Q(*) =

V2 (л

{х\ек) е к +

(x\fi)fi)

(х\ек) е к +

\А=1

ft=l

(* lf,)f/) =

bk{x\ek)\

k=\

Образ

ЛВ(0, 1) =

{y\y — Ax,

(x | x )^ 1}

единичного

шара

B {0,

при

отображении

есть

эллипсоид

2 ( Ж

) 2/; Ц <

осями

|Allen, . . . .

|А„|е„, .. .

Этот

эллипсоид в силу условия |Ап|—*■0 является компакт ным. Итак, оператор А является компактным. Теорема Гильберта полностью доказана.

278	ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
6.2.4. Минимаксное свойство собственных значений.
Допустим, что	Q(x) = 112{Хх\х) — неотрицательная сла

бо непрерывная квадратичная форма. Тогда в силу тео

ремы	Гильберта Л — компактный						оператор и		сущест
вует	базис	в	X,	состоящий из			собственных		векторов
в\, ... , еп, ...			оператора		Л.	Собственные			значения
		являются неотрицательными в силу неот
рицательности			Q. Покажем,		что если A,n+i ф 0,				то
	А,п+1 =		inf sup {Q (x )		\{x	\ x )	— 1,	x <^Ln),	(8)
где нижняя		грань		берется	по	всем		подпространствам

Ln размерности п. Действительно, по доказанному в теореме Гильберта

К+\ = sup (Q (x )\ ( х \| лг)	= 1,	x ^ ( L n		) 1 },
где L*n есть линейная оболочка	еи . . . ,		еп.	Значит,
inf sup {Q W \ { х \| х ) =		1 ,	х е ! » 1 ).
Пусть теперь Ln — любое	n-мерное			подпростран

ство. Рассмотрим единичный вектор Хо, лежащий в под пространстве Ln+и натянутом на векторы еи .. ■, еп+и и ортогональный к Ln (такой, очевидно, всегда найдет ся) . Имеем:

	л+ 1				л+1
Y	----	y k p		' (Х0 Iek)<	2 « ) ! = К Г = 1 -
0	Н,	о	к'		2 « ) ! = К Г = 1 -
0	Н,	о	к'		к—1
	k= \
Следовательно:
sup {Q (х) \|(х \|х) =				1, х <= Ln} >	Q (х0) =
					л+1
	=	2	к (*о I чт > (,		™in. +, » ? , W 2= ^ 1

Итак, минимаксное соотношение (8) доказано.

6.2.5. Лежандровы формы. Теорема Хестенса.

Т е о р е м а	2 (Хестенс).	Лежандрова	квадратичная
форма имеет конечный индекс.
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Снова, подобно тому, как
это было в	теореме 1,	рассмотрим	экстремальную

§ 6.2. ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ	279
задачу:
7г (А х \х) = Q (л:) —v inf; (jc\|*)^1.	(9)

Существование решения в задаче (9) обеспечивает тео рема о существовании минимума полунепрерывного сни зу функционала на компакте. Следовательно, по след ствию 2 из предложения 1 всякое отличное от нуля решение задачи (9) есть собственный вектор опера тора Л. Пусть

Ле1 = Я,е1( (б1[е1) = 1, Я ,!<0.

Будем опять индуктивно строить ортонормированную систему , еп, . . , , последовательно решая экстре мальные задачи:

V2 (Л* |x)==Q(x)->inf; (аг|л) < 1, (х|ег) = 0, (10)

г = 1, . . п.

Покажем, что наше построение оборвется через конеч ное число шагов. (Это выразится в том, что экстре мальная задача (10) не будет иметь ненулевого ре шения.) Действительно, допустим, что мы построили счетную систему векторов

G i f . * • , &nt • * • \|	^ п ^ п > I I 1 1
я ,< я 2< . . .	. . . < 0 .

Последовательность единичных векторов {еп} слабо схо дится к нулю. Значит, в силу полунепрерывности фор мы Q снизу в точке нуль, мы получаем (использовав монотонность последовательности кп)

lim %п = lim	— Urn (Аеп \еп) =
tl~> ОО	п-> о о
	= lim 2Q (e„)> 2Q (0) = 0.
	n->oo
Итак, lim Хп =	0. Следовательно, {еп} слабо сходится

к нулю и Q(en)knl2 -+0 . По условию форма Q — лежанд-

рова, отсюда должно	следовать, что	\|\|еп\|\|->0, но это
не так. Значит, через	конечное число	шагов наше по

строение закончится. Пусть построение оборвется через N шагов. Тогда на ортогональном дополнении L

280	ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
L N= \ i n { e v	. . . , е м] форма	обязана быть положитель
ной. Любое	подпространство	L размерности большей,

чем N, имеет непустое пересечение с Ljj и, значит, на этом подпространстве форма Q не может быть неполо жительной. Отсюда следует, по определению индекса, что ind Q ^ N. С другой стороны, на самом простран стве Ljv форма Q, очевидно, неположительна, т. е. ind Q ^ N . Итак, indQ = M Теорема Хестенса доказана.

Взаключение приведем формулировку теоремы,

характеризующей	слабо		полунепрерывные		снизу
формы.
Т е о р е м а 3.	Для того чтобы квадратичная				форма
Q(x) — V2 (Ах \|х)	была слабо полунепрерывна снизу, не
обходимо и достаточно,		чтобы пространство		X	можно
было бы разложить на		два	подпространства	L+ и L-,
причем на L+ форма Q		неотрицательна, а на		L - — от

рицательна и слабо непрерывна.

Доказательство ее основано на тех же идеях, что и доказательство теорем 1 и 2.

§ 6.3. Квадратичные функционалы в классическом вариационном исчислении

6.3.1. Определения и простейшие свойства. Мы будем изучать квадратичные формы одномерного вариацион ного исчисления следующего вида:

Ж (х ( ■)) = j	К (t,	х, х) dt =
и		л
		л
	=	J ((Ах \х)-\-2 (Сх \х) + (Вх \|л:)) dt, (1)
		*0
где матрицы	.4 =	A (t), В = В (t) и С —	C(t) имеют
размеры м X Ц и		непрерывно зависят от t. Матрицы
A(t) и B(t)	можно считать симметричными.		Роль квад

ратичных форм такого вида в классическом вариацион ном исчислении весьма велика, ибо вторая вариация простейших функционалов классического вариационно го исчисления, как это следует из § 2.2, является квад ратичной формой вида (1).

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 4928 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

ченной, т. е. существует такое число			С,	что	\|\|x„\|\| =£7 С
и,	следовательно,	\|\|x\|\| ^ С. В итоге	получается:
2 I Q (хп) — Q (х) \|=		\|(Ахп \|хп) — (Ах \|х) \|<
	\|{Ахп \|хп)	(Ад: \|хп) \|-(-1{Ахп \|х)		(Лл: \|л:) \|^
<	\|Ахп- А х \|\|хп\|+ 1\|Ахп- А х \|\|л: \|<		2С \|Ллг„ -		Ах \|-> 0