книги из ГПНТБ / Хачатурян, А. Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов

Таким образом, подбирая суммарные объемы тетрагональных включений так, чтобы средняя деформация (33.6) имела вид (33.9), мы можем обратить в нуль ту часть упругой энергии, ко­ торая пропорциональна объему F0. Так как тензор Q,j(n) явля­ ется положительно определенным, то второе слагаемое в (33.4) является положительным. Следовательно, минимальное значение, которое может принимать последнее, также есть нуль. В этой ситуации оптимальным, с точки зрения упругой энергии, распре­ делением включений будет то распределение, в котором оба сла­ гаемых в (33.4) асимптотически стремятся к нулю. Если это не­ возможно, то задача нахождения минимума упругой энергии существенно усложняется. Однако для довольно широкого круга фазовых превращений обращение в нуль обоих слагаемых может иметь место.

В данном конкретном случае тензоры структурной деформации

Подставляя (33.11) в (33.6), можно убедиться в том, что деформа­ цию с инвариантной плоскостью можно получить несколькими способами. Возникающее при этом вырождение снимается из-за того, что асимптотическое обращение в нуль второго слагаемого в (33.4) возможно, как это будет показано ниже, только для слу­ чая, когда отсутствует один из трех типов тетрагональных вклю­ чений. Пусть, например, Ѵ3 = 0. Тогда процедура отыскания деформации с инвариантной плоскостью становится единственной, и тензор

ex и е2 имеют различные знаки. При этом вектор п0 в (33.9) оказы­ вается равным

где i и k — единичные векторы в направлениях [100] и [001] мат­ рицы.

Таким образом, в рассматриваемом случае комплекс представ­ ляет собой пластину, состоящую из тетрагональных включений двух типов. Ориентация этой пластины (габитус) определяется

290

вектором нормали к поверхности пластины п0, имеющим вид (33.12а). Что касается второго слагаемого в (33.4), то оно асимп­ тотически обращается в нуль, если выполняются следующие со­ отношения:

Необходимость тождества ДѲ3(к) = 0 ведет к условию Ѵ3 = 0. которое было использовано выше. Что же касается первого тож дества, то оно эквивалентно условию, что включения первого и второго типа целиком заполняют комплекс, т. е. Ѵг +Ѵ2 = Ѵ0. Подставляя (33.13) во второе слагаемое в (33.56), получим:

быть представлен симметризованной диадой двух единичных век­

т 0, либо для направления р. Последнее имеет место, если функ­

ция Д0 Х(г) описывает совокупность чередующихся параллельных пластин тетрагональных фаз типа 1 и типа 2, лежащих в плос­ костях (110) матрицы, нормальных к т 0 или р. При этом харак­ терная протяженность этих пластин Ьх должна быть много боль­ ше, чем их характерная толщина ^ (т . е. dJL1<^ 1). Именно в этом случае функция ДѲХ(к) отлична от нуля в области к-прост- ранства, имеющей вид стержня в направлении ш 0 (или р ), изоб­ раженного на рис. 59.

Преобразуя (33.14), можно выделить основной вклад, пропор­ циональный объему комплекса F0, и малую поправку АЕй, свя­

10* 291

где Aa?j= Хц1тАг}т, Ae?* дается выражением (33.15),

есть величина, большая или равная нулю.

Подстановка (33.15) в (33.16) обращает в нуль первое слагае­ мое в (33.16), пропорциональное объему комплекса Ѵ0 (см. соот­ ветствующий расчет в § 23 энергии пластинчатого включения,

Рис. 59. а) Одномерный комплекс, состоящий из пластинок тетрагональ­ ной фазы, имеющих различное направление оси тетрагональное™ (оба типа пластинок отмечены различной штриховкой), б) Обратное пространство, отвечающее изображенному слева одномерному распределению.

характеризуемого деформацией с инвариантной плоскостью). Причина этого связана с тем обстоятельством, что плоскости (ИО)матр, по которым происходит сопряжение тетрагональных фаз с направлениями осей тетрагональности [100]Матр и [010]маТр, одинаковы в обеих сопрягающихся фазах. Поэтому сопряжение фаз по плоскостям (110), расположенным под углом 45° к на­ правлениям тетрагональности, не приводит к появлению внутрен­ них напряжений. Все напряжения сосредоточены вблизи торцов тетрагональных пластинчатых включений (вблизи поверхности, ограничивающей комплекс), которые сопрягаются с матрицей уже не по инвариантным плоскостям и поэтому служат источником внутренних напряжений. Энергия этих напряжений равна АЕ%. Она, как уже упоминалось, асимптотически мала и имеет поря­ док dx/Lx <С 1.

292

Проведенный анализ показывает, что пластинчатые включения с разными направлениями тѳтрагональности [100] и [010] сопря­ гаются по плоскостям (110), относительно которых эти включения находятся в двойниковых положениях. Включения расположены параллельно друг другу и целиком заполняют комплекс, который в свою очередь представляет собой пластину с габитусом, опре­ деляемым единичным вектором нормали

Таким образом, распределение включений носит одномерный характер. Без уменьшения общности можно полагать, что рас­ пределение включений является периодическим с произвольной элементарной ячейкой. Для того чтобы определить вектор транс­ ляции этого распределения а0, необходимо исследовать на минимум выражение (33.4) для полной энергии упругих напряжений. Так как первые слагаемые в выражениях (33.7) и (33.16) для энергий Ех и Ег соответственно равны нулю, то полная энергия Е равна

E — AEx -f- AE2,

где АЕХи АЕг определяются выражениями (33.10) и (33.17). Энер­

взаимного расположения фазовых составляющих. Поэтому струк­ тура периодического распределения фаз определяется из условия минимума энергии АЕ2 при дополнительном условии, что отно­ шение объемов фаз с различными направлениями оси тетрагональности задано и равно Ѵх/Ѵ2 = |ех/е2|; последнее равенство есть необходимое условие обращения в нуль первого слагаемого в выражении (33.7), пропорционального объему комплекса.

Так как комплекс имеет форму пластины, то он может быть представлен в виде цилиндра прямоугольного сечения, ось кото­ рого параллельна плоскости габитуса, а вектор трансляции а параллелен этой оси (см. рис. 59, а).

При выбранном нами периодическом распределении пластин­ чатых включений величина |АѲг(к) |2 отлична от нуля в узлах соответствующей одномерной «обратной решетки»: kz — (2л/а0)т, где т = гЬ 1, + 2, . . а0 = т 0а есть «межплоскостное расстоя­ ние» одномерного периодического распределения (рис. 59, а). Каждый из узлов обратной решетки (рис. 59, 6) представляет со­ бой плоский диск с длиной порядка 2n/D и толщиной порядка 2л/Ь&, где Ls — размер комплекса в направлении оси цилиндра, ограничивающего комплекс. Эти узлы можно получить в резуль­ тате сечения стержня с характерной толщиной 2л/Ьх, располо­ женного в направлении т 0, системой эквидистантных параллель­ ных плоскостей, перпендикулярных к направлению трансляции а и отстоящих друг от друга на расстоянии 2л[а.

293

Что касается узла, отвечающего т = О, то в соответствии с определением (33.2) функция |АѲ1(к)|2 в этом узле равна нулю.

нуль. Это обращение в нуль происходит с точностью до параметра d J L s ^ 1, где Ls — протяженность комплекса в направлении оси цилиндра, ограничивающего комплекс.

Используя приведенное рассуждение, можно упростить вы­

области интегрирования исключается область, представляющая

где к — (г, kz), г — компонента вектора к на плоскость, нор­ мальную к вектору т 0 (плоскость габитуса (110) тетрагональ­ ного пластинчатого включения), kz — компонента вектора к на направление m0, ßi7(m0) — положительно определенный тензор второго ранга в плоскости, нормальной к т 0. Определение ßi;(m0) совпадает с определением (24.8).

Диагонализируя квадратичную форму (33.19), получим:

где ßx(m0) и Рг(т о) — положительные постоянные — собственные значения тензора ß17(m0); хх и т„ — компоненты вектора х в сис­ теме координат, связанной с главными осями тензора ßi7(m0).

Подставляя (33.20) в (33.18) и производя вычисления, практи­ чески идентичные вычислениям, проведенным в Приложении 4, получим выражение для энергии оптимального распределения пластинчатых включений тетрагональной фазы:

294

где

S — площадь тетрагональных включений в плоскости их габитуса (110), а0 — «межплоскостное расстояние» периодического распре­ деления включений. Интегрирование в (33.22) производится по кон­ туру SP, охватывающему

поверхность тетрагональ­ ных пластинчатых вклю­ чений по периметру Р. Величина а(у) определяет­ ся формулой (4.П.17). Кон­ станта у —доля объема комплекса, занятая тет­ рагональными включения­ ми первого типа. В дан­ ном случае

находящихся в двойнико­ вых положениях относительно плоскости (110) и отличающихся

направлениями осей тетрагональности. Все включения одного типа имеют одинаковые размеры и форму и расположены на одинаковых расстояниях друг от друга.

Таким образом, мы приходим к окончательному выводу отно­ сительно равновесной структуры гетерофазного кристалла. Ге­ терофазная структура состоит из отдельных комплексов, пред­ ставляющих собой полидоменные пластины, состоящие из перио­ дически чередующихся доменов — пластинок тетрагональной фазы (рис. 60). Пластинки имеют различные направления оси тетра­ гональности и находятся в двойниковых положениях относительно плоскости их сопряжения (110).

Полученные теоретические результаты допускают простую качественную интерпретацию. Как упоминалось выше, комплекс состоит из включений тетрагональных фаз двух типов, соотноше­ ние объемов которых таково, что средняя деформация, сопровож­

2 9 5

дающая образование этого Комплекса в свободном от напряжений состоянии, представляет собой деформацию с инвариантной плос­ костью. При этом именно инвариантная плоскость является плос­ костью сопряжения комплекса и кубической фазы. Если бы комплекс представлял собой однородный монокристалл, то такое сопряжение являлось бы идеальным и не приводило бы к внут­ ренним напряжениям на границах раздела. На самом же деле комплекс имеет неоднородное внутреннее строение, связанное с периодическим распределением включений. Масштаб этой неод­ нородности равен периоду модуляции а0. По этой причине поле напряжений, создаваемое комплексом, равно нулю на расстоя­ ниях, существенно больших а0, для которых неоднородное строе­ ние комплекса несущественно, и, наоборот, отлично от нуля в не­ посредственной близости от границы раздела «тетрагональная фаза —кубическая фаза» на расстояниях порядка а0. Внутренние напряжения оказываются локализованными вблизи внешней поверхности комплекса в пределах слоя, толщина которого име­ ет порядок а0.

Объем этого слоя имеет порядок Sa0, а сосредоточенная в нем энергия внутренних напряжений — порядок ߣa0, где ß, в соот­

ветствии с определениями (33.22) и (24.8), имеет порядок Яец (Я — характерный модуль упругости, е0 — характерная тетрагональ­ ная деформация, сопровождающая фазовое превращение) и, сле­

поверхностной энергии комплекса, величина которой становится тем меньше, чем меньше период распределения включений а0.

По этой причине уменьшение величины а0 приводит к выигры­ шу в упругой энергии. В то же время уменьшение периода а0 при заданном объеме комплекса означает увеличение числа по­ верхностей раздела между включениями с разными направле­ ниями осей тетрагональности и, следовательно, увеличение ис­ тинной поверхностной энергии. Конкуренция этих двух меха­ низмов определяет оптимальное значение периода а0 х).

Таким образом, для того, чтобы найти период распределения а0, необходимо учесть вклад в энергетический баланс поверхност­ ной энергии межфазных границ, по которым сопрягаются тетра­

где Y(uo) — коэффициент поверхностного натяжения. Миними­ зируя сумму (33.21) и (33.23), аналогично тому, как это делалось

х) Следует обратить внимание иа аналогию между результатами настоя­ щего параграфа и результатами § 30.

296

в § 30, получим:

(33.24)

Ьг = V JS — характерная протяженность тетрагональных плас­ тинчатых включений. Условие применимости теории d1jL1 ~

— a0/L%< ^1 с помощью (33.24) можно представить в виде

Результат (33.24) показывает, что, как и во всех рассмотрен­ ных случаях, мы вновь имеем дело с ситуацией, когда учет упру­ гих напряжений приводит к образованию упругих доменов.

Подводя итоги, можно видеть, что упругая энергия такой си­ стемы доменов, пропорциональная объему тетрагональной фазы F0, оказывается равной нулю. Любое изменение в тонкой струк­ туре комплекса приводит к проигрышу в упругой энергии, про­ порциональному объему F0, или, иными словами, к увеличению объемной свободной энергии тетрагональной фазы. Последнее означает, что такой измененный комплекс не может находиться в термодинамическом равновесии с кубической матрицей.

Введение в матрицу группы комплексов с оптимальной тонкой структурой не изменяет ни их форму, ни их внутреннее строение. Это связано с тем, что энергия взаимодействия комплексов есть вели­ чина первого порядка малости по малому параметру теории L J L s ^ . 1 х), а следовательно, соответствующее изменение их внут­ ренней структуры должно приводить к изменению энергии, кото­ рое имеет второй порядок малости по отношению LJLs. Суммарный объем комплексов, равный полному объему тетрагональной фазы, определяется диаграммой равновесия и зависит от среднего сос­ тава сплава и равновесных составов кубической и тетрагональной фаз, возникающих в процессе распада.

Наконец, следует обсудить применимость предположения о том, что модули упругости всех фаз одинаковы.

Так как сопряжение всех фаз происходит, в основном, по ин­ вариантным плоскостям, то такое сопряжение не приводит к воз­ никновению внутренних напряжений, и, как следствие этого, энергия внутренних напряжений, пропорциональная объему комплекса, равна нулю. Так как при этом как тетрагональные включения, так и матрица оказываются в ненапряженном состоя­ нии, то этот результат, естественно, не зависит от соотношения модулей упругости фаз. Слагаемое в упругой энергии АЕ%(33.21) возникает за счет того, что в масштабах, соизмеримых с перио-

1) На расстояниях существенно больших, чем период неоднородности а„, поле напряжений, создаваемое комплексом, совпадает с полем дислокацион­ ной петли, охватывающей комплекс по периметру в плоскости габитуса. Поэтому взаимодействие^комплексов может быть описано как взаимодей­ ствие системы^дислокационных петель.

297

дом модуляции а0, граница «комплекс — матрица» не является ин­ вариантной плоскостью. Слагаемое АЕХ возникает за счет того, что сопряжение по торцам комплекса также не является идеальным.

В обоих случаях, когда модули упругости тетрагональной и кубической фаз являются одинаковыми и когда эти модули от­

ложенного вдоль габитусных плоскостей, ограничивающих объем комплекса. Выражение (33.21) в этом случае оказывается, строго говоря, несправедливым. Однако из смысла энергии АЕ2 следует, что она пропорциональна объему поверхностного слоя Sa0(a0 — толщина слоя), и поэтому, когда модули обеих фаз различны, энергия АЕ2 отличается от (33.21) определением характерной

величины удельной упругой энергии ß. Таким образом, с точ­

ностью до определения величины ß все полученные результаты оказываются справедливыми и в ситуации, когда модули упру­ гости фаз различаются.

Теоретические результаты, полученные в настоящем пара­ графе, показывают, что на начальном этапе распада, когда выде­ ления достаточно малы, они имеют равноосную или пластин­ чатую форму (в зависимости от соотношения между упругой и поверхностной энергией (23.126)). При этом система находится

298