книги из ГПНТБ / Кузнецов, Б. Г. Этюды об Эйнштейне

ных состояний системы. Нам известен механизм, га­ рантирующий выполнение этого условия в случае больших статистических ансамблей. Не исключено, что конкретный механизм, гарантирующий выполне­ ние принципа наименьшего действия, также окажет­ ся стохастическим. В 1922 г. Эддингтон писал, что действие, быть может, является логарифмом вероят­ ности *. Правда, это относилось к одной конкретной теории того времени, и Эддингтон не придавал тако­ му предположению более общего значения. Но сей­ час стохастическая природа наименьшего действия стала гораздо менее парадоксальным предположе­ нием, и можно себе представить некоторое обобщен­ ное понятие, охватывающее классическую функцию действия, понятие энтропии, фигурирующее в теории информации, и обычное термодинамическое понятие энтропии. Речь идет о логарифме вероятности дан­ ного состояния системы со знаком минус (действие) или плюс (энтропия). В таком случае принцип наи­ меньшего действия оказывается принципом наиболь­ шей вероятности данной мировой линии, а дейст­ вие — мерой «невероятности», интегральной упоря­ доченности, соответствия локальных процессов ин­

каким-либо прямым расширением или ограничением ее физических прообразов, а очень косвенным и неявным путем.

Принципы классической физики. М-. 1958, стр, 75—76,

260

7

Теперь, когда мы знаем о тождественности гравита­ ционного и метрического полей в общей теории от­

теза геометрии и физики, который был дан Эйнштей­ ном в 1916 г. И действительно, связь между геомет­ рическими соотношениями на поверхностях той или иной кривизны с вариационными принципами меха­ ники и физики была одной из исторических предпо­ сылок общей теории относительности. Навстречу этой тенденции шла другая — развитие неэвклидо­ вой геометрии. Последняя разрушила представление об априорном характере геометрии. Эйнштейн с при­ сущей ему ясностью исторической ретроспекции го­ ворил о том, как геометрия и физика, потеряв ха­ рактерную для древности первоначальную связь, привели к представлению об априорности геометри­ ческих идей. Неэвклидова геометрия в известном смысле вернула научную мысль к античному пред­ ставлению о физическом характере и эмпирическом происхождении геометрических понятий. Лобачев­ ский пришел к убеждению о непротиворечивости как эвклидовой, так и новой, неэвклидовой геометрии. В чем же состоит критерий для определения геомет­ рических свойств действительного мира? Лобачев­ ский высказал мысль о различных геометрических свойствах мира, в одних случаях эвклидовых, в дру­ гих — неэвклидовых, в зависимости от того, какова природа полей, действующих в рассматриваемых об­ ластях пространства. Далее Риман, выдвинув непро­ тиворечивую сферически-эллиптическую геометрию, приводящую к идее конечности пространства,

т

связал проблему бесконечности пространства (как ре­ зультата сложения конечных величин) с локальными геометрическими соотношениями. Такая связь была очень эффектной демонстрацией нового смысла по­ нятия бесконечности, появившегося в отчетливой форме в X IX в. Локальные геометрические соотно­ шения, позволяющие судить о бесконечности или конечности пространства в целом, состоят в кривиз­ не и метрике пространства. Риман применил к мно­ гообразиям любого числа измерений идеи Гаусса, относившиеся к -кривизне двумерных пространств. При этом оказалось, что метрика пространства не определяется аксиомами геометрии, и Риман пред­ ложил, что она зависит от силовых полей.

С точки зрения связи между бесконечностью и относительностью особенно важна мысль Римана о возможных границах относительного мероопределе­ ния и об абсолютной метрике в дискретном про­ странстве.

Остановимся несколько подробнее на содержании известной лекции Римана «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», прочитанной в 1854 г. в Гет­ тингене *.

Риман ставит вопрос о количественных различиях между величинами. «С количественной точки зрения сравнение осуществляется в случае дискретных мно­ гообразий посредством счета, в случае непрерыв­ ных — посредством измерения»2. Это поразительно ясное и глубокое разграничение счета и измерения уже само по себе вводит нас в центр фундаменталь-

Сб. «Об основаниях геометрии», стр. 311.

т

НЫх проблем бесконечности й относительности, в ча^ стности исторических проблем. Счет — это метод оценки многообразий, приводящих к абсолютным результатам. Измерение имеет дело с непрерывными величинами, т. е. с бесконечными множествами. Вся­ кое измерение — это измерение бесконечно делимого отрезка другим бесконечно делимым отрезком. Оно происходит с помощью переноса отрезка, принятого за единицу. Аналогичным образом происходит изме­ рение и других непрерывных многообразий. «Изме­ рение заключается в последовательном прикладыва­ нии сравниваемых величин, поэтому возможность измерения обусловлена наличием некоторого способа переносить одну величину, принятую за единицу масштаба, по другой величине» 1. Перенос не дол­ жен изменять размеры величины, принятой за еди­ ницу. Иначе говоря, величины независимы от поло­ жения. Длина линии независима от пространственно­ го места линии, и каждая линия может быть измерена каждой другой линией.

Подобное требование выражается в существова­ нии квадратичной формы, определяющей длину от­ резка через приращения координат. Мероопределе­ ние в каждой точке пространства связано с его кри­ визной в этой точке. Если пространство обладает положительной кривизной (например, поверхность сферы), оно будет конечным. Пространство нулевой либо отрицательной кривизны бесконечно.

Риман вводит очень тонкое и вместе с тем весьма отчетливое разграничение внутренних свойств про­ странства, выражающихся в мероопределении, в метрических соотношениях, и внешних отношений

1Там же.

263

протяженности, характеризующих положение фигур в пространстве: «...мы начали с того, что отделили отношения протяженности (или отношения взаимно­ го расположения) от метрических соотношений, и пришли к заключению, что при одних и тех же отношениях протяженности мыслимы различные мет­ рические отношения, затем установили системы про­ стых метрических отношений, которыми полностью определяется метрика пространства и необходимым следствием которых являются все теоремы геомет­ рия» *.

Если мы установили положение данной фигуры относительно других фигур и задали координаты то­ чек данной фигуры по отношению к некоторой си­ стеме отсчета, это еще не значит, что однозначно заданы расстояния между точками фигуры. Они за­ висят от мероопределения, которое может меняться при одних и тех же внешних отношениях протяжен­ ности, т. е. при тех же координатах точек, из кото­ рых состоит рассматриваемая фигура. Представим себе, что фигура все дальше отходит от начала коор­ динатной системы. Такой отход — он может быть не­ ограниченным — означает прибавление к конечным координатам новых конечных отрезков. Возможность без конца повторять такое прибавление Риман на­ зывает неограниченностью.

Теперь рассмотрим кривизну пространства в дан­ ной точке. Если кривизна равна нулю, то мероопре­ деление выражается простой квадратичной формой, а пространство, кривизна которого определяет мет­ рические свойства в данной точке, оказывается бес-1

1 Сб. «Об основаниях геометрии». М., 1956, стр, 321— 322.

264

конечным. Если же кривизна больше нуля, то про­ странство, соответствующее радиусу кривизны, ока­ зывается конечным, как бы ни была мала кривизна, как бы ни был велик ее радиус.

«При распространении пространственных построе­ ний в направлении неизмеримо большего следует различать свойства неограниченности и бесконечно­ сти: первое из них есть свойство протяженности, вто­ рое — метрическое свойство» *.

Поразительно, до чего близко Риман, вероятно не знавший о гегелевской «истинной бесконечности», подходит к этому понятию. Бесконечность как мет­ рическое свойство — это бесконечность, определяю­ щая свойства своих конечных элементов, это беско­ нечность, входящая в определение каждой части рассматриваемого пространства. Это актуальная бесконечность.

Относительные положения частиц, образующие дискретное множество, могут быть зарегистрированы с абсолютной точностью; в принципе мы можем про­ извести столько же измерений, сколько степеней сво­ боды у рассматриваемых частиц. Но число экспери­ ментов, регистрирующих метрические отношения, всегда меньше числа точек, в которых мы допускаем существование определенной кривизны и определен­ ного мероопределения. Поэтому эксперимент дает принципиально неточную картину метрических отно­ шений.

Разграничив отношения протяженности и простые метрические отношения, «необходимым следствием которых являются все теоремы геометрии», Риман продолжает:

1 Сб. «Об основаниях геометрии», стр . 322.

285

«Остается еще выяснить, обеспечиваются ли опытной проверкой эти простые отношения, и если обеспечиваются, то в какой степени и в каком объ­ еме? Между отношениями протяженности и метри­ ческими отношениями с этой точки зрения имеются существенные различия: именно, поскольку для от­ ношений протяженности возможно лишь дискретное множество различных случаев, результаты опытной проверки не могут не быть вполне точными (хотя, с другой стороны, не могут быть вполне достовер­ ными), тогда как для метрических отношений мно­ жество возможных случаев непрерывно, и потому результаты опытной проверки — неизбежно неточ­ ные, какова бы ни была вероятность того, что они приближенно точны» *.

Далее Риман говорит о бесконечно малых обла­ стях пространства. В очень малых областях мы мо­ жем встретиться с геометрическими соотношения­ ми, которые отличаются от геометрических соотно­ шений в больших областях. Мы продвигаемся в глубь причинных связей в природе, и понятие бесконечно малого выражает это неограниченное продвижение.

«От той точности, с которой нам удается просле­ дить явления в бесконечно малом, существенно за­ висит наше знание причинных связей. Успехи в по­ знании механизма внешнего мира, достигнутые на протяжении последних столетий, обусловлены почти исключительно благодаря точности того построения, которое стало возможно в результате открытия ана­ лиза бесконечно малых и применения основных про­ стых понятий, которые были введены Архимедом,

’ Сб. «Об основан иях геометрии», стр . 322.

266

Галилеем и Ньютоном й которыми пользуется совре­ менная физика» *.

Риман говорит, что астрономические данные сви­ детельствуют о неискривленности мирового простран­ ства или, по крайней мере, о ничтожности областей, доступных телескопу, по сравнению со сферой ис­ кривленного пространства. Если даже кривизна про­ странства не равна нулю, то мы можем предполо­ жить, что пространство остается неискривленным в целом, несмотря на искривления в малых областях: «...в таком случае в каждой точке мера кривизны может по трем направлениям иметь какие угодно значения, лишь бы в целом кривизна доступных из­ мерению частей пространства заметно не отличалась от нуля» 2.

В бесконечно малом физические прообразы по­ стоянных метрических отношений, демонстрирую­ щие отсутствие кривизны (прямолинейное распро­ странение света) и инвариантность расстояний — неизменность формы и размеров тел от их положе­ ния в пространстве (существование твердых тел), теряют свою определенность. Поэтому у нас нет уве­ ренности в сохранении метрических соотношений при неограниченном уменьшении пространственных областей.

При переходе в бесконечно малые области может оказаться, что расстояния после определенной вели­ чины далее недробимы. Риман считал подобную недробимость, если она существует, проявлением свойства реальной субстанции, которая заполняет пространство и служит основой пространственных представлений.1

1Там же, стр. 323. ! Там же.

267

Ёсли существует последняя неделимая простран­ ственная ячейка, то число промежуточных ячеек между двумя данными ячейками будет естественным расстоянием между ними.

«Вопрос о том, справедливы ли допущения гео­ метрии в бесконечном малом, тесно связан с вопро­ сом о внутренней причине возникновения метриче­ ских отношений в пространстве. Этот вопрос, конеч­ но, также относится к области учения о пространстве, и при рассмотрении его следует принять во внима­ ние сделанное выше замечание о том, что в случае дискретного многообразия принцип метрических от­ ношений содержится уже в самом понятии этого многообразия, тогда как в случае непрерывного мно­ гообразия его следует искать где-то в другом месте. Отсюда следует, что или то реальное, что создает идею пространства, образует дискретное многообра­ зие, или нужно же пытаться объяснить возникнове­ ние метрических отношений чем-то внешним — сила­ ми связи, действующими на это реальное» *.

Что может служить реальной основой дискретно­ сти пространства, какие физические процессы устра­ няют возможность измерения пространства в мас­ штабах, меньших некоторой минимальной области?

Риман не дал ответа на подобный вопрос, он ждал его от новых фактов, которые не могут быть объяс­ нены в рамках классических концепций.

«Решение этих вопросов,— говорит Риман,— мож­ но надеяться найти лишь в том случае, если, исходя из ныне существующей и проверенной опытом кон­ цепции, основа которой положена Ньютоном, станем постепенно ее совершенствовать, руководясь факта-1

1 Сб. «Об основаниях геометрии», стр. 323—324.

268

ми, которые ею объяснены быть не могут; такие же исследования, как произведенные в настоящей рабо­ те, именно имеющие исходным пунктом общие поня­ тия, служат лишь для того, чтобы движению вперед и успехам в познании связи вещей не препятствова­ ли ограниченность понятий и укоренившиеся пред­ рассудки.

Здесь мы стоим на пороге области, принадлежа­ щей науке — физике, и переступать его не дает нам повода сегодняшний день» *.

Сейчас, сто с лишним лет после речи Римана, у нас есть некоторые основания для физических ги­ потез дискретного пространства и времени. Чтобы подойти к этим гипотезам и к их отношению к про­ блеме бесконечности и относительности, нужно пред­ варительно остановиться еще на некоторых тенден­ циях физико-математической мысли X IX в.

8

Пространство произвольного числа измерений с опре­ деленной кривизной и соответствующей метрикой представляет собой в общем случае множество, за­ данное позитивным образом, с ненулевыми разли­ чиями между точками. Физическим эквивалентом этого геометрического образа является силовое поле, по-разному, вообще говоря, определяющее поведение тел в различных точках пространства. До общей тео­ рии относительности Эйнштейна геометрическая кон­ цепция Римана не могла соединиться с концепцией однородного, негативно заданного пространства, в ко­ тором движение имеет относительный смысл.

1 Там ж е , стр . 324.

269