книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы

Индекс Т относится к величинам, характеризующим пробную частицу. Тензор Д имеет вид

Функция распределения a>/i для полевых частиц под­ чиняется следующему уравнению, в которое подставлены уже вычисленные коэффициенты:

mдх2 {т1ЙГ11^Г<0>С01<0,/1 (Г2’Vz’ *)dVl+

+П | dr3j a)fi (г3, v3; t) <0)fi (r2, v2; t) dvsj = 0. (3.73)

Вышеприведенные результаты получены в предполо­ жении, что функция распределения <0,/1 является мак­ свелловской, а парные корреляции полевых частиц соот­ ветствуют равновесному состоянию.

Отметим, что первоначальный формализм Ростокера и Розенблюта носит более общий характер и не совпадает с только что рассмотренным; уравнение, полученное с его помощью, является инвариантным по отношению к пре­ образованию времени. Это уравнение только позже было приведено к обычному виду.

Приближение, основанное на групповом разложении, успешно применялось для описания неоднородных систем, например, Ишикавой [45] и Гернси [48]. Оба автора рас­ сматривали малые отклонения от равновесия, не исполь­ зуя предположения о пространственной однородности системы и достаточно большой величине времен релак­ сации. Исследования пространственно неоднородных си­ стем являются особенно важными, так как даже малые

284 Гл. 4. Неравное, состояния кулон, сист. с учетом корреляций

отклонения от однородности могут приводить к большим коллективным эффектам, как, например, в случае плаз­ менных колебаний при наличии столкновений.

3.3. Многовременной формализм

Кинетическое уравнение для функции распределения первого порядка является уравнением вида

где А обозначает общую функциональную зависимость от

Л-

В § 1 мы вывели кинетическое уравнение Больцмана,

тическое приближение Боголюбова, которое, по крайней мере в принципе, приводит к методу, позволяющему вы­ вести кинетическое уравнение с учетом эффектов более высокого порядка. Однако теория Боголюбова, основан­

а постулируется существование кинетического уравнения вида (3.74).

Чтобы более глубоко проникнуть в природу кинети­ ческой фазы и доказать существование кинетического уравнения, необходимо вообще отбросить постулат о функ­ циональной зависимости. Конечно, вряд ли можно на­ деяться, что непосредственное применение разложения вида

Д = S ev(v)/s (П, . . . , v s;£), где е = Псв, Ппл, (3.75)

приведет к желаемому результату. Действительно, уже Боголюбов показал [8, 21], что такое упрощенное разло­ жение по малому параметру, произведенное в цепочке уравнений, дает члены, монотонно растущие со временем. Это означает, что разложение по теории возмущений при­ водит к членам, которые астрономы называют «секуляр-

ными». Для того чтобы устранить трудность, связанную с такими секулярными членами, Пуанкаре [49] создал более совершенную теорию возмущений, в которой по степеням малого параметра раскладываются как функции, так и независимые переменные. Для случая нелинейных периодических систем теория возмущений, исключающая секулярную зависимость, была развита Ван дер Полем

(см., например, [50, 51]).

В качестве продолжения указанных работ можно при­ вести работы Сэндри [52, 53] и Фримана [54], в которых дается новое приближение для получения необратимых уравнений, описывающих релаксацию системы мно­ гих частиц к равновесию. Эти исследования существен­ ным образом проливают свет на понимание эволюции таких систем.

Постановка задачи

Поскольку рассматриваемая проблема основывается %на понимании многовременного приближения, остано­ вимся на этом вопросе более подробно. Как и прежде, запишем цепочку уравнений

В случае кулоновской системы в докритическом состоя­ нии (Ппл = 1, Псв = А -1 = е ) функции распределения fs можно представить в виде следующего разложения:

Подставляя (3.77) в (3.76) и собирая члены, пропорцио­ нальные одной и той же степени параметра е, получаем систему уравнений

Важно отметить, что система уравнений (3.78) справедли­ ва, если только операторы, используемые в ней, не изме­ няют относительного порядка величины членов. Опера­ торы, удовлетворяющие этому условию, называются «конформными».

286 Гл. 4. Неравное, соопояния кулон, еист. с учетом корреляций

Операторы 3&s и по порядку величины равны еди­ нице, если время измеряется в единицах времени взаимо­ действия твз = r j v c (см. стр. 267). В кулоновской си­ стеме время взаимодействия твз л; Юр1, а поэтому опера­ торы 9Вs, % s и dldt являются конформными, если только функция fs «изменяется в шкале» времени плазменных колебаний.

Если изменения во времени характеризуются време­ нем между столкновениями

то система уравнений (3.78) уже не пригодна. В этом слу­ чае вводится новая переменная времени t' = et так, чтобы оператор

и операторы 9Вs и %s стали конформными. Для этих опе­

Подставляя в (3.81) разложение (3.77), получаем систему

Очевидно, что эта система отличается от (3.78).

Таким образом, ясно, что вид разложения по малому параметру сильно зависит не только от типа системы, но также и от характера изменения рассматриваемых явле­ ний, в частности от их изменения во времени.

Распространяя разложение, справедливое для харак­ терного времени изменения Tt, на явления с характерным временем т2, можно получить неверные результаты, если между Ti и т2 существует связь, зависящая от е.

Формализм

Если стремиться к тому, чтобы разложение правильно описывало изменения, происходящие в различных времен­ ных масштабах, то необходимо явно учесть неконформ­

ность оператора дифференцирования по времени. Исходя из этого, Сэндри и Фриман [52—54] для своего метода заимствовали разложение, применяемое в методах нели­ нейной механики. Вместо одного характерного времени они ввели много масштабов времени, связанных со вре­ менем t соотношением

в котором е — параметр малости (например, Псв или

П„ л).

Ввышеуказанном смысле предполагается, что введен­

ные таким образом масштабы времени должны явно раз­ личать те производные по времени, которые отличаются друг от друга на порядок величины е. Независимость ре­ шений уравнения (3.83), обусловленная выбором началь­

и оператора дифференцирования по времени

V

где все операторы d/dxv должны теперь рассматриваться как конформные. Разложение функций распределения fs по-прежнему имеет вид

Обратим внимание на тот факт, что введение много­ временных функций расширяет возможный класс решений. Поэтому необходимы дополнительные требования, при­ водящие к уменьшению произвола в выборе функций.

288 Гл. 4. Неравное, состояния Кулон, сист. с учетом Корреляций

Таким требованием является условие «устранения секулярности», которое очень существенно для данной теории. Подставляя разложение (3.87) в цепочку уравнений (3.76) и группируя коэффициенты порядка ev, приходим к системе уравнений для плазмы

n = 0

Очевидно, что эти уравнения не являются еще расцеп­ ленными с частью цепочки более высокого порядка, так как они содержат функцию fs+l, имеющую тот же самый порядок v в разложении по малому параметру.

Само собой разумеется, что нельзя иметь дело одно­ временно со всеми порядками s; поэтому Сэндри [52, 53], следуя Ростокеру и Розенблюту [44], использовал допу­ щение, что корреляционные функции g i...s, определяемые через групповое разложение

упорядочены в том смысле, что они подчиняются соот­ ношению

Это допущение отнюдь не является очевидным. В дей­ ствительности можно ожидать, что соотношение (3.90) нарушается для малых расстояний между частицами.

Таким образом, цепочку уравнений (3.88) можно преобразовать в цепочку уравнений для функции /4 и кор­ реляционных функций g i,..s, используя групповое раз­ ложение (3.89). Благодаря допущению (3.90) достигается обрыв цепочки. Корреляционная функция g i...s+i, содер­ жащаяся в уравнении для gi... s, не может давать связь с частью цепочки более высокого порядка, поскольку эта функция является величиной следующего порядка мало­ сти в разложении по малому параметру.

Что же касается самих вычислений, то читателю сле­ дует обратиться к оригинальной работе Сэндри [52, 53]; здесь же мы приведем только ее результаты.

10.Prout R., Physica (Utrecht), 22, 509 (1956).

11.Prout R., Prigogine / . , Physica (Utrecht), 22, 621 (1956).

12. Boltzmann L ., Wien. Ber., 66, 213 (1872); 72, 427 (1875).

13.Ludwig G., Miiller W. J., C., Schroter J., Physica (Utrecht), 30, 479 (1964).

14.Ecker G., Holling J ., Phys. Fluids, 6, 70 (1963).

15.Van Kampen N. G., Felderhof B. U., Theoretical Methods in

Plasma Physics, W iley, New York, 1967.

16.Ландау Л. Д., ЖЭТФ, 7, 203 1937, Journ. Phys. USSR, 10, 154 (1936).

17.Fokker A . D ., Ann. Phys., 43, 812 (1914).

19.Chandrasekhar S., Rev. Mod. Phys., 15, 1 (1943).

20.Rosenbluth M. N., McDonald W. M., Judd D. L., Phys. Rev., 107, 1 (1957).

21.Боголюбов II. H., Проблемы динамической теории в статистиче­

ской физике, Гостехиздат, М .—Л., 1946.

22.Lenard A., Ann. Phys. (New York), 10, 390 (1960).

23.Balescu R., Phys. Fluids, 3, 52 (1960).

24.Thompson W. B., Hubbard J., Rev. Mod. Phys., 32, 714 (1960).

25.Suchy K., Ergeb. Exakt. Naturw., 35, 103 (1964).

26.Maecker II., Peters T Zs. Phys., 144. 586 (1956).

27.Schliiter A., Zs. Naturforsch., 5a, 72 (1950); 6a, 73 (1951).

28.Chapman S.,' Phil. Trans. Roy. Soc. London, Ser. A, 216, 279 (1916); 217, 115 (1917).

29.Enskog D., Thesis, Uppsala, 1917.

30.Enskog D., Arkiv Ast. Fys., 16, 1 (1921).

31.Chapman S., Cowling T. G., The Mathematical Theory of NonUniform Gases, Cambridgo Univ. Press, London — New York, 1952 (см. перевод: С. Чепмен, T. Каулинг, Математическая тео­ рия неоднородных газов, ИЛ. М., 1960).

32.Kogan М. N., Rarefied Gas Dynamics, Plenum, New York, 1969.

33.Hilbert D., Math. Ann., 72, 562 (1912).

34.Hilbert D., Grundziige einer allgemeinen Theorie der Lenearen Integralgleichungen, Wien, 1924.

35.Grad II., Phys. Fluids, 6, 147 (1963).

36.Bhatnagar P. L., Gross E. P., and Krook M., Phys. Rev., 94, 511 (1954).

37.Devanathan C., Bhatnagar P. L., Proc. Nat. Inst. Sci. India, 106, 1398 (1965).

38.Gross E. P., Jackson E. A., Phys. Fluids 2, 432 (1959).

39.Liepmann II. W., N arusimha R., Chahine M. T., Phys. Fluids, 5, 1313 (1962).

40.Guernsey R. L., The theory of fully ionized gases, Thesis, Uni­ versity of Michigan, 1960.

41. Dorfman J . R., Cohen E. G. D., Phys. Letters, 16, 124 (1965).

42.Wu T. Y., Rosenberg R. L., Canad. Journ. Phys., 40, 463 (1962).

43.Wu T. Y., Kinetic Equations of Gases and Plasmas, AddisonWesley, Reading, Massachusetts, 1966.

44.Rostoker N., Rosenbluth M. N., Phys. Fluids, 3, 1 (1960).

W.E. Brittin). University of Colorado Press, Denver, Colorado, 1967. Oberman L., Ron A., Dawson / . , Phys. Fluids, 5, 1514 (1962). Ron A., Kalman (7.,'Ann. Phys., 11, 240 (1960).

Sandri G., The foundations of nonequilibrium statistical mecha­

nics, Notes from lectures given at Rutgers University, Spring term, 1961—1962.

Sandri G., ARAP Report № 80, Princeton, N. J. (1966).

Schram P. P. J . M., Kinetic equations for plasmas, Thesis, Garching, 1964.

Uhlenbeck G. E., Ford G. W., Lectures in Statistical Mechanics, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1963.

Willis C. R., Phys. Fluids, 5, 219 (1962).