книги из ГПНТБ / Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник
.pdfЛ. С. П О Н Т Р Я Г И Н
ОБЫКНОВЕННЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебника для студентов университетов
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
М О С К В А 1 9 7 4
517.2
II56
УДК 517.9
гвС.публичная
каучьо-тгехн*_.е «а* |
Ж |
- |
библиот s»*** vv^-r |
1ЭКЗЕМПЛЯР
!ЧИТАЛЬНОГО ЗАЛА
'умчззъз
20203— 020
14-74
053(01)-74
СОДЕРЖАНИЕ
От автора .............................................................................................................. |
|
|
|
|
|
; |
5 |
||
Г л а в а п е р в а я . |
В в е д е н и е .......................................................................... |
|
|
|
|
7 |
|||
§ 1. Дифференциальное уравнение первого порядка |
......................... |
|
7 |
||||||
§ 2. Некоторые элементарные методы интегрирования...................... |
|
13 |
|||||||
§ |
3. |
Формулировка теоремы существования и единственности . . . |
21 |
||||||
§ |
4. |
Сведение общей |
системы |
дифференциальных |
уравнений |
к |
25 |
||
|
нормальной.................................................................................................. |
дифференциальные |
уравнения |
|
|
||||
§ 5. |
Комплексные |
|
|
32 |
|||||
§ |
6. |
Некоторые сведения о линейных |
дифференциальных уравне |
38 |
|||||
|
ниях ............................................................................................................ |
|
|
|
|
|
... |
||
Г л а в а |
в т о р а я . Линейные уравнения |
с постоянными коэффи |
41 |
||||||
|
|
циентами ............... |
|
..................................................................................... |
|
|
|
|
|
§ |
7. |
Линейное однородное уравнение с постоянными коэффици |
42 |
||||||
§ |
|
ентами (случай простых корней ) |
|
коэффициен |
|||||
8. Линейное однородное уравнение с постоянными |
50 |
||||||||
§ |
9. |
тами (случай кратных корней) ........................................................... |
|
|
|
||||
Устойчивые многочлены ....................................................................... |
|
|
|
|
58 |
||||
§ |
10. |
Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффици |
62 |
||||||
|
|
ентами ......................................................................................................... |
|
|
|
|
|
|
|
§ И. Метод исключения ................................................................................ |
|
|
|
|
67_ |
||||
§ 12. Метод комплексных амплитуд ........................................................... |
|
|
|
75 |
|||||
§ |
13. |
Электрические |
цепи ............................................................................ |
|
система с постоянными |
ко |
80 |
||
§ |
14. |
Нормальная линейная однородная |
93 |
||||||
§ |
15. |
эффициентами |
......................................................................................... |
|
|
|
|
||
Автономные системы дифференциальных уравнений и их фа |
103 |
||||||||
§ |
|
зовые пространства ................................................................................ |
|
|
|
|
|||
16. Фазовая плоскость линейной однородной системы с постоян |
115 |
||||||||
|
|
ными коэффициентами ....................................................................... |
|
|
|
|
|||
Г л а в а |
т р е т ь я . Линейные уравнения |
с переменными коэффи |
128 |
||||||
|
|
циентами .................................................................................................. |
|
|
|
|
|
|
|
§ 17. Нормальная система линейныхуравнений .................................... |
|
|
128 |
||||||
§ |
18. |
Линейное уравнение я-ro порядка ............ ................................. |
: |
|
|
139 |
|||
§ |
19. Нормальная |
линейная однородная |
система с периодическими |
|
|||||
|
|
коэффициентами...................................................................................... |
|
|
|
|
148 |
||
Г л а в а |
ч е т в е р т а я . |
Теоремы |
существования ............................... |
|
|
15'2 |
|||
§ |
20. |
Доказательство теоремы существования и единственности для |
1г>2 |
||||||
§ |
21. |
одного уравнения ................................................................................... |
|
|
|
|
|||
Доказательство теоремы существования и единственности для |
|
||||||||
|
|
нормальной системы уравнений....................................................... |
|
|
|
1®1 |
1
4 |
СОДЕРЖАНИЕ |
§22. Непродолжаемые решения .................................................................
§23. Непрерывная зависимость решения от начальных значений и
параметров ...............................................................................................
§ 24. Дифференцируемость решения по начальным значениям и
параметрам ................................................................................................
§25. Первые интегралы ................................................................................
Гл а в а п я т а я . Устойчивость ....................................................................
173
178
185
196
204
§ 26. |
Теорема Ляпунова ................................................................................ |
|
205 |
|
§ |
27. |
Центробежный регулятор (исследования Вышнеградского) |
218 |
|
§ |
28. |
Предельные циклы ................................................................................ |
|
224 |
§ |
29. |
Ламповый генератор............................................................................. |
второго порядка |
244 |
§ |
30. |
Положения равновесия автономной системы |
251 |
|
§ 31. Устойчивость периодических решений ........................................ |
|
268 |
||
Д о б а в л е н и е 1. Некоторые вопросы анализа .................................. |
|
284 |
||
§ 32. Топологические свойства евклидовых пространств................... |
284 |
|||
§ 33. Теоремы о неявных функциях .......................................................... |
|
298 |
||
Добавле ние II. Линейная алгебра ......................................... |
• . |
309 |
||
§ 34. Минимальный аннулирующий многочлен..................................... |
|
309 |
||
§ |
35. |
Функции матриц ................................................................................... |
|
316 |
§ 36. Жорданова форма матрицы .............................................................. |
|
323 |
||
Предметный указатель ......................................................................................... |
|
329 |
ОТ АВТОРА
Эта книга написана на основе, лекций, которые я в течение ря да лет читал на механико-математическом факультете Московского государственного университета. При составлении программы лекций я исходил из уверенности, что выбор материала не должен быть случайным и не должен опираться исключительно на сложившиеся традиции. Наиболее важные и интересные применения обыкновенные дифференциальные уравнения находят в теории колебаний и в теории
автоматического управления. Эти применения |
и послужили руковод |
||||||
ством |
при |
выборе |
материала для моих |
лекций. |
Теория |
колебаний |
|
и теория автоматического управления, несомненно, |
играют очень важ |
||||||
ную |
роль |
в развитии всей современной материальной |
культуры, |
||||
и потому я |
считаю, |
что такой подход |
к |
выбору материала для |
курса лекций является, если и не единственно возможным, то во
всяком случае разумным. Стремясь |
дать |
студентам |
не |
только |
чисто |
|||||
математическое орудие, пригодное для применений в |
технике, но |
|||||||||
также продемонстрировать и сами применения, я |
включил |
в |
лекции |
|||||||
некоторые |
технические вопросы. В книге они изложены |
в § |
13, 27, |
|||||||
29. Эти |
вопросы составляют неотъемлемую органическую часть |
|||||||||
моего курса лекций и, соответственно, этой книги. |
|
|
|
|
||||||
Кроме |
материала, излагавшегося |
па |
лекциях, |
в |
книгу |
включены |
||||
некоторые |
более |
трудные вопросы, |
разбиравшиеся |
на |
студенческих |
|||||
семинарах. |
Они |
содержатся в § 19, |
31 |
книги. |
Материал, |
содержа |
щийся в § 14, 22, 23, 24, 25, 30, излагался на лекциях частично и не каждый год.
Для удобства читателя в конце книги приведены два добавления, которые содержат материал, не входящий в курс обыкновенных дифференциальных уравнений, но существенным образом использую щийся в нем. В первом добавлении (отсутствовавшем в предыдущем издании) изложены основные топологические свойства множеств
6 ОТ АВТОРА
расположенных в эвклидовом пространстве, и дано доказательство теорем о неявных функциях; второе добавление посвящено линейной
алгебре. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом, втором издании по новому изложены |
теоремы |
о |
непре |
||||||||
рывной зависимости |
решений от начальных |
значений |
и |
параметров, |
|||||||
а также о дифференцируемости решений по |
этим |
величинам. |
Сдела |
||||||||
ны также многие более мелкие исправления. |
|
|
|
|
|
|
|||||
В заключение я |
хочу |
выразить |
благодарность |
моим |
ученикам |
||||||
и ближайшим товарищам |
по работе В, |
Г. |
Болтянскому, |
Р. |
В. |
Гам- |
|||||
крелидзе и Е. Ф. Мищенко, помогавшим мне при подготовке |
и |
чте |
|||||||||
нии лекций, а также |
при |
написании |
и |
редактировании |
этой |
книги. |
Мне хочется также отметить решающее влияние на мои научные интересы, оказанное выдающимся советским специалистом в области теории колебаний и теории автоматического управления Александ ром Александровичем Андроновым, с которым меня связывали долго летние дружеские отношения. Его влияние существенно сказалось на характере и направленности этой книги.
Л. С. Понтрягин
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ВВЕДЕНИЕ
Эта глава посвящена в первую очередь определению тех понятий, которые будут изучаться в дальнейшем. Что такое система обыкно венных дифференциальных уравнений, что называется ее решением и как много этих решений существует — таковы главные вопросы, на которые дается ответ в этой главе. Количество решений определяется теоремами существования и единственности, которые здесь не дока зываются, а только формулируются. Доказательство этих и ряда дру гих теорем того же типа дается в четвертой главе, а до этого сфор мулированные в первой главе теоремы многократно используются, чем выясняется их значение. Кроме этих основных сведений, в первой главе приводятся решения дифференциальных уравнений нескольких простейших типов. В конце главы рассматриваются комплексные диф ференциальные уравнения и их комплексные решения и приводятся простейшие замечания относительно систем линейных дифференциаль ных уравнений.
§ 1. Дифференциальное уравнение первого порядка
Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения,
в которых неизвестными являются функции одного или нескольких
переменных, причем |
в уравнения |
входят не только |
сами функции, но |
|
и их производные. |
Если неизвестными функциями |
являются |
функции |
|
многих переменных, |
то уравнения |
называются уравнениями в |
частных |
производных, в противном случае, т. е. при рассмотрении функций только одного независимого переменного, уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями. В дальнейшем мы будем иметь дело только с последними.
Так как в ряде физических применений независимым переменным, от которого зависят неизвестные искомые функции, является время, которое принято обозначать через t, то всюду в дальнейшем неза висимое переменное будет обозначаться через t. Неизвестные функции будут обозначаться через х, у, z и т. д. Производные функций по t
8 |
ВВЕДЕНИЕ |
|
|
[Гл. |
I |
будут, |
как правило, обозначаться точками: х = |
dx ■ |
d^x |
и т- |
Д- |
— , |
|
В тех случаях, когда это неудобно или невозможно, мы будем указы
вать |
порядок |
производной |
верхним |
индексом в скобках; например, |
|
v-( л) _dnx |
|
|
|
|
|
~ |
dtn' |
очередь мы |
займемся |
рассмотрением о д н о г о |
д и ф |
В |
первую |
||||
ф е р е н ц и а л ь н о г о у р а в н е н и я п е р в о г о п о р я д к а , |
т. е. |
уравнения, в которое входит лишь первая производная неизвестной функции. Уравнение это может быть записано в виде:
F(t, х, х ) = 0. |
(1) |
Здесь t — независимое переменное, х — его неизвестная |
функция, |
dx
j£=r — — ее производная, a F — заданная функция трех переменных.
Функция |
F может быть задана не для всех значений ее |
аргументов; |
|||||
поэтому |
говорят об области В задания функции |
F. Здесь имеется |
|||||
в виду |
множество В |
точек координатного пространства |
трех |
пере |
|||
менных |
t, х, Л. Решением уравнения (1) называется |
такая |
функ |
||||
ция jc = |
tp(i) независимого переменного t, определенная на некотором |
||||||
интервале г1<^<<^г2 |
(случаи г, = |
— оо, rs = -|- оо |
не |
исключаются), |
|||
что при |
подстановке |
ее вместо х |
в соотношение |
(1) |
мы получаем |
||
тождество на всем интервале r i< ^ < V 8. Интервал |
rj< ^ < V a |
назы |
вается интервалом определения решения y(t). Очевидно, что под
становка |
х = ср (f) в |
соотношение (1) возможна |
лишь тогда, когда |
функция |
<р (t) на всем |
интервале r ,< ^ < V a имеет |
первую производ |
ную (и, в частности, непрерывна). Для того чтобы подстановка дг==<р(<) в соотношение (1) была возможна, необходимо также, чтобы при произвольном значении переменного t из интервала г ,< ^ < V S точка с координатами (£,?(<)> Ф(0) принадлежала множеству В, на котором определена функция F.
Соотношение (1) связывает три переменные величины t, х, х . В не которых случаях оно определяет переменное х как однозначную неявную функцию независимых переменных t, х . В этом случае диф ференциальное уравнение (1) равносильно дифференциальному урав
нению вида |
|
£ * = f(t,x ) . |
(2) |
Дифференциальное уравнение (2) называется разрешенным относи тельно производной; оно в некоторых отношениях более доступно для изучения, чем общее дифференциальное уравнение (1). Именно уравнения, разрешенные относительно производной, мы и будем те перь рассматривать. Мы не будем уже считать, что соотношение (2) получено в результате разрешения относительно х уравнения вида (1), а будем исходить из функции f(t, х) как из заданной функции двух независимых переменных t, х.
5 П |
|
|
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ |
УРАВНЕНИЕ |
ПЕРВОГО ПОРЯДКА |
9 |
||||||||||
|
Для |
того |
чтобы |
пользоваться наглядными геометрическими пред |
||||||||||||
ставлениями, |
мы |
введем |
в рассмотрение координатную плоскость Р |
|||||||||||||
переменных t и х. При |
этом |
t как независимое переменное мы бу |
||||||||||||||
дем |
откладывать |
по |
оси |
абсцисс, |
а |
х как |
зависимое переменное — |
|||||||||
по оси |
ординат. |
|
Функция / , |
определяющая |
дифференциальное |
урав |
||||||||||
нение (2), |
может |
быть |
|
задана |
не |
|
|
г |
|
|||||||
для |
всех |
значений |
своих |
аргумен |
|
|
|
|||||||||
тов t и at, или, говоря геометри |
|
|
|
|
||||||||||||
ческим языком, не во всех точках |
|
|
|
|
||||||||||||
плоскости |
Р, а лишь в точках |
не |
|
|
|
|
||||||||||
которого множества |
Г плоскости |
Р |
|
|
|
|
||||||||||
(рис. 1). Относительно множества Г |
|
|
|
|
||||||||||||
мы в дальнейшем всегда будем |
|
|
|
|
||||||||||||
предполагать, |
что |
оно является |
от |
|
|
|
|
|||||||||
крытым. |
Это |
значит, |
что |
наряду |
|
|
|
|
||||||||
с каждой точкой р в Г входит и |
|
|
|
|
||||||||||||
некоторый |
|
круг |
|
положительного |
|
|
|
|
||||||||
радиуса |
с |
центром |
в р |
(см. |
§ |
32). |
|
|
|
|
||||||
Относительно |
функции |
|
/ |
будет |
|
|
|
|
||||||||
предполагаться, |
что |
как |
она |
сама, |
так |
и |
ее частная производная |
являются непрерывными функциями пары переменных t, х на всем
множестве Г. Решение x = y(t) уравнения (2) будем геометрически изображать в плоскости Р в виде кривой с уравнением л; = ср(<). Кривая эта в каждой точке имеет касательную и полностью прохо дит в открытом множестве Г; она называется интегральной кривой дифференциального уравнения (2).
|
Т е о р е м а с у щ е с т в о в а н и я и е д и н с т в е н н о с т и |
|
|||
Известно, какую большую |
роль |
в алгебре играют теоремы, |
отве |
||
чающие на вопрос о том, сколько |
решений имеет та или другая си |
||||
стема |
алгебраических уравнений. Такова, например, |
о с н о в н а я |
те о |
||
р е ма |
а л г е б р ы , утверждающая, |
что многочлен л-й степени всегда |
|||
имеет |
ровно п корней (считая |
с их кратностями). |
Точно так |
же в |
теории дифференциальных уравнений важным теоретическим вопросом является вопрос о том, насколько много решений имеет дифферен циальное уравнение. Оказывается, что каждое дифференциальное
уравнение имеет |
б е с к о |
н е ч н о е множество решений, и потому при |
ходится ставить |
вопрос |
не о числе решений, а о том, как можно |
описать совокупность всех решений данного дифференциального урав
нения. Ответ на этот |
вопрос дает |
т е о р е м а |
с у щ е с т в о в а н и я и |
е д и н с т в е н н о с т и |
(теорема 1), |
которая в |
этом параграфе приво |
дится без доказательства. Доказательство будет дано значительно позже (см. § 20).