книги из ГПНТБ / Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник
.pdf2 1 0 УСТОЙЧИВОСТЬ (Гл. 5
(см. (4)),
<Ps(0) = q>(s, 1) = |
Ч |
(см. (11)). Таким образом, решения ф, (t) |
и ф2(t) имеют общие началь |
ные значения и потому совпадают, а это |
и означает, что соотноше |
ние (10) выполнено. |
|
В доказательстве теоремы Ляпунова основную роль играет неко торая положительно определенная квадратичная форма, называемая функцией Ляпунова. Отметим сначала некоторые свойства положи
тельно |
определенных квадратичных |
форм (см. Г)), а затем |
построим |
и самую функцию Ляпунова (см. Д)). |
|
||
Г) |
Пусть |
|
|
|
* = (-**, |
.... х п) |
(12) |
— переменный вектор «-мерного пространства. Квадратичной формой от вектора л: называется его функция W (х), определяемая формулой
W ( x ) = |
£ |
|
|
i. j = 1 |
|
где w i] = W]i — действительные |
числа. |
Квадратичная форма W (х) |
называется положительно определенной, |
если при х Ф 0 имеем: |
№ ( х ) > 0.
Оказывается, что для любой положительно определенной квадратичной формы W (х) всегда можно подобрать два таких положительных числа (х, v, что для произвольного вектора х имеют место неравенства
(х|х|'2< lF(x)==Sv | х \ \ |
(13) |
Из этогоследует, что для произвольного х (см. (12)) имеет |
место |
неравенство |
|
|* г|^ ] / 1 1 Г ( л ; ) . |
(14) |
Докажем существование чисел ц и v. Для этого рассмотрим значе ния функции W (|), когда вектор | принадлежит единичной сфере, т. е. удовлетворяет условию
1 1 1 = 1. 05)
Так как сфера (15) представляет собой замкнутое ограниченное мно
жество, а функция 1^(1) непрерывна, |
то на сфере |
(15) |
она достигает |
||||
своего |
минимума fx |
и |
своего максимума ч. Так |
как |
все |
векторы |
|
сферы |
(15) отличны |
от |
нуля, то числа |х и v положительны. Пусть х — |
||||
произвольныйвектор; |
тогда мы имеем |
х — а|, гдевектор | |
при |
I 26! |
ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА |
2 1 1 |
надлежит сфере (15), и потому для вектора | выполнена неравенства
fJL W (§) • < V.
Умножая это неравенство на X2, получаем неравенства (13). Перейдем теперь к построению функции Ляпунова.
Д) Пусть
П |
|
|
х 1— V. a'V , |
1 = 1........ п |
(16) |
/= i J |
|
|
— линейная однородная система уравнений с постоянными коэффи циентами, причем все собственные значения матрицы А — {ар‘ имеют отрицательные действительные части. Существует тогда положительно определенная квадратичная форма W (х ), производная которой в силу системы (16) (см. Б)) удовлетворяет неравенству
• |
|
|
|
|
|
|
|
(1?) |
где лг — произвольный вектор, |
а |
[3 — положительное число, не завися |
||||||
щее от вектора х. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Построим форму W (х). Будем считать, что система (16) |
есть |
|||||||
скалярная запись векторного |
уравнения |
(5). Решение уравнения |
(5) |
|||||
с начальными |
значениями |
0, |
| |
будем, как и в предложении А), |
обо |
|||
значать через |
ф (t, |
|); тогда |
мы |
имеем: |
|
|
||
|
|
|
(* .& )= |
(О |
(18) |
|||
|
|
|
|
|
|
i = 1 |
|
|
(см. (8)). Положим |
теперь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
= |
$ |
|
Ю1* л . - |
09 ) |
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
Мы имеем в силу (18) |
|
|
|
|
|
|
||
|
U '4 s)= |
У |
|
|
о |
Ф_,(т))г/т. |
(20) |
|
|
|
|
<\ |
|
1 |
|
|
Так как каждая функция ф,- (t) удовлетворяет неравенству (6), то каждый несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства (20), сходится, и потому W (х ) есть квадратичная форма относительно вектора §. Эта квадратичная форма является положительно определен ной, так как при § ^ 0 подынтегральное выражение в формуле (19) положительно, и, следовательно, № 4|))>0. Вычислим теперь произ
водную 1Г(16) (1) функции 1Г(|) в силу системы (16). Для этого, согласно предложению Б), мы проведем через точку | решение ф (г,
2 1 2 УСТОЙЧИЙОСТЬ гг». ч
и затем вычислим производную |
при |
1 = |
0 |
от |
функции |
W (ф (1, |
§)). |
|
||||||||
Заметим предварительно, что в силу В) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
так что |
|
ЧК*. Ч>(<. |
§)) = |
"ф (т -ф- |
|), |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S)) = |
s |
|
Ю) г * |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
о |
|
оо |
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
= |
|
5 |
Ж |
|
|
* |
- |
К |
|
Ю |
Р |
^ |
|
Таким образом, мы имеем: |
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wm {i)= *-t w w { t , & ) ) | , _ 0 = |
й .5 |
ж |
х. S)l‘ * |
t = о |
|
|
|
|
||||||||
Итак, мы получили равенство |
|
|
|
= |
|
|
|
t , - |
| |
) |
Ж | |
* |
| |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
^ (1е)(Ю= - | 1 Р. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
по |
в силу |
второго из неравенств |
(13) |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
- | 6 Р |
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
потому |
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ ( 1.) ( S ) < - ^ ( S ) - |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким образом, неравенство (17) доказано. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Т е о р е м а Л я п у н о в а |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Перейдем, наконец, к формулировке |
н |
доказательству |
теоремы |
|
|||||||||||
Ляпунова. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
|
а = |
{а\ ... , |
ап) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
— положение |
равновесия автономной |
системы |
(1). Положим: |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
х ‘ — а‘ -|-Д хг, |
г = |
1, |
2, |
..., |
я, |
|
|
|
(21) |
|
|||
и примем за |
новые неизвестные функции величины |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Дх1, |
..., |
Ьхп. |
|
|
|
|
|
|
(22) |
|
|||
Производя подстановку (21) в системе |
(1) и разлагая |
правые |
части |
|
||||||||||||
в |
ряд Тейлора по переменным |
(22), |
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
* 26] ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА 213
где |
R1— член второго порядка малости относительно неизвестных (22). |
|||||
Так |
как а есть положение равновесия |
системы |
(1), |
то |
|
|
|
Р (а ) = |
0; |
|
|
|
|
далее, полагая |
|
|
|
|
|
|
|
d f (а) |
|
|
|
(24) |
|
|
д х > |
' |
|
|
||
|
|
|
|
|||
мы |
можем записать систему (23) в |
виде: |
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
t\xl = ^ a ^ x j - \-R \ |
l = 1, |
..., |
n. |
(25) |
|
|
7= 1 |
|
|
|
|
|
Т е о р е м а 19. Если все собственные значения матрицы A — {alj)
(см. (24)) имеют отрицательные действительные части, то поло жение равновесия а системы (1) асимптотически устойчиво; более полно, существует настолько малое положительное число о, что
при | | — а |< ^ а |
имеет место неравенство |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|<Р& |
I) — а | < г Ц — а\е~«, |
|
|
|
(26) |
||||
где г и о. — положительные |
числа, |
не зависящие от |
§. |
|
|
|||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Будем |
считать, что положение равновесия а |
||||||||||
системы (1) совпадает с началом |
координат, т. е. что |
а = |
0. |
Этого |
||||||||
всегда |
можно |
достичь, произведя параллельный перенос системы коор |
||||||||||
динат; при этом матрица А не изменится. Предполагая, |
что а — 0, мы |
|||||||||||
имеем: |
|
|
|
|
h x ‘ = |
х 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и потому система (25) записывается |
в виде: |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
(27) |
|
|
|
х ‘ — 2 |
а}‘х/ - f |
Rl, |
I — |
1, ..., |
п, , |
|
|
||
где |
|
|
у = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д*р (0л:) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Я' = |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
d x f d x k X Jx k. |
|
|
|
|
|||
Пусть |
теперь |
W (х ) — функция |
Ляпунова |
(см. |
Д)) |
для |
линейно;'! |
|||||
системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х ‘ — |
2 |
а‘х', |
|
I — 1, |
..., п, |
|
|
|
(28) |
|
|
|
/= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получаемой |
из |
системы |
(27) |
линеаризацией, т. е. |
отбрасыванием |
|||||||
остаточных членов R ‘. Вычислим производную |
(х ) функции |
W{X) |
2 1 4 |
|
|
|
|
УСТОЙЧИВОСТЬ |
|
|
|
|
|
[Гя. 6 |
||||
в силу системы |
(27). Мы имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
+ 2 |
dW(x) |
; |
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
дх< |
Н |
|
|
|
|
|
|||
|
|
i. ;=i |
|
|
|
i= l |
|
--- ^(28) (X) ~Ь у |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dW(x) pi |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxi |
K ' |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
Так как функция W (х) |
удовлетворяет |
условию |
(17), |
то |
мы имеем: |
||||||||||
|
|
& {П) (х) ^ — $W (х) + У |
|
|
R г. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b” l |
|
|
|
|
|
|
Выберем теперь |
настолько малое |
положительное число Ь, чтобы при |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
W ( x ) ^ b |
|
|
|
|
|
|
(29) |
||
вектор |
х |
принадлежал |
множеству |
Д |
(такое |
число |
Ь |
существует |
|||||||
в силу (13)). Вторые производные dxi'dxkL. |
будучи |
непрерывными |
|||||||||||||
функциями, ограничены в эллипсоиде (29) |
и потому в этом эллипсоиде |
||||||||||||||
|
|
|
|
| Я ' к *| |
|
|
г* П * ), |
|
|
|
|
||||
где k — некоторая |
|
|
о |
|
|
|
как |
<jW(x) |
есть |
линейная |
|||||
константа. Далее, так |
—^ |
г |
|||||||||||||
форма |
относительно лг1, |
..., |
х п, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где / — некоторая |
константа |
(см. |
(14)). |
Таким |
образом, |
существует |
|||||||||
такое |
положительное число q, что при |
W ( x ) ^ b мы |
имеем: |
|
|||||||||||
|
|
|
|
*= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выберем |
теперь |
положительное |
число |
с |
таким |
образом, |
чтобы |
было |
|||||||
|
|
|
|
|
cs^.b, |
q Y с |
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда |
мы будем |
иметь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
^ ( « ) ( * ) < — ! ИЧ*)> |
|
|
|
|
|
|||||
если только выполнено |
неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
W W |
с- |
|
|
|
|
|
(30 ) |
§ 261 |
|
|
|
|
|
|
ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА |
|
|
|
|
|
|
2 1 3 |
|||||
Полагая |
— |
получаем неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
W'(OT) (х) < |
|
— 2t.\V (х), |
|
|
|
|
|
|
|
||||
справедливое, если для х |
|
выполнено |
неравенство |
(30). |
|
|
|
|
|||||||||||
Пусть |
| |
— внутренняя |
точка |
эллипсоида (30), |
|
т. |
е. точка, |
удо |
|||||||||||
влетворяющая |
неравенству |
^ ( ? ) < с . |
|
|
|
|
|
|
|
(31) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение |
системы |
(27) |
с |
начальными |
значениями 0, |
§, |
как |
и |
раньше, |
||||||||||
обозначим через |
<р(£, |) |
и |
положим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
w { t ) ~ w ( q { t , D). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Функция |
w(t) |
определена для всех тех значений |
t ^ O , |
для |
кото |
||||||||||||||
рых определено |
решение |
ф (t, |), |
и |
в |
силу |
Б) |
она |
удовлетворяет |
|||||||||||
условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w (t)s ^ — 2o.w(t) |
|
|
|
|
|
|
(32) |
|||||
до тех пор, |
пока |
для |
нее |
выполнено |
неравенство |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
W (t ) |
|
С. |
|
|
|
|
|
|
|
(33) |
|
Если бы решение «р(<, §) существовало не для |
всех |
положительных |
|||||||||||||||||
значений |
t, |
то |
точка |
x — |
|) |
|
непременно |
должна |
была |
бы при |
|||||||||
возрастающем |
t |
покинуть |
эллипсоид (30) (см. § |
22, |
Б), |
Допустим, |
|||||||||||||
что точка л;= |
ф (t, 5) покидает этот |
эллипсоид и |
пусть |
г'^> 0 — то |
|||||||||||||||
значение |
t, |
при котором |
она впервые попадает |
на |
его границу. |
Тогда |
|||||||||||||
на отрезке |
0 |
|
|
|
точка ;p(t, |
|) |
принадлежит |
эллипсоиду |
(30), и |
||||||||||
потому выполнено |
неравенство (32), |
так |
что |
w (t) |
неположительно. |
||||||||||||||
Следовательно, |
с = |
w (f) |
|
w (0) |
|
с, что |
противоречиво. |
|
|
|
|||||||||
Таким образом, |
решение «р (f, |
|), |
а вместе |
с ним и функция w(t) |
определены для всех положительных значений t и для всех этих зна
чений |
выполнено |
неравенство |
(32). |
Если |
£ ^ 0, |
то |
0, и |
мы |
||
можем |
произвести |
следующие |
выкладки, исходя |
из |
неравенства |
(32) |
||||
|
w (t) ^ |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
_2а. |
Г |
®_(^1 dt ^ |
— 2zt |
при |
|
0; |
|
||
|
|
’ |
3 |
w(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
In w (t) — In w (0) — 2<x t.
Последнее неравенство дает:
W4q> (t,
Из этого неравенства, используя неравенства (13), мы получаем:
6) 1* = |
1 Г2е " ^ ’ |
(34) |
причем это верно, если только для § выполнено неравенство (31).
2 1 6 |
УСТОЙЧИВОСТЬ |
[Гл. 8 |
|
В силу второго из неравенств (13), из соотношения |
|
|
Ш О = ] / т |
(35) |
следует неравенство (31). Таким образом, если выполнено неравен ство (35), то верно неравенство (34). Извлекая из него квадратный корень, получаем неравенство:
которое |
совпадает |
с неравенством (26), |
причем г = |
а а = 0. |
||||||
Итак, теорема 19 доказана. |
|
|
|
|
|
|||||
|
Нижеследующее |
предложение Е) описывает |
случай, в некотором |
|||||||
смысле противоположный рассмотренному в теореме 19. |
|
|
||||||||
|
Е) Положение равновесия а уравнения (2) будем называть вполне |
|||||||||
неустойчивым, если существует такое положительное число с, |
что |
|||||||||
всякое |
решение q>(t, |) уравнения (2), |
начинающееся в точке \ |
Ф а |
|||||||
шара |
\1 — а |< ^ о , |
обязательно покидает этот шар и больше в него |
||||||||
уже не возвращается, т. е. найдется такое положительное число |
Т — |
7(§), |
||||||||
что |
при t — |
T решение <р (t, |
|) определено, и для всех значений t~^> Т, |
|||||||
для |
которых |
это |
решение |
определено, |
оно удовлетворяет |
неравен |
||||
ству |
| <р (t, |) |
— а | |
а. Оказывается, что если |
все собственные |
зна |
|||||
чения |
матрицы |
имеют положительные |
действительные части, |
то положение равновесия а уравнения (2) является вполне неустой чивым.
Для доказательства предложения Е) используем некоторые резуль таты, установленные в процессе доказательства теоремы 19; при этом, как и раньше, будем считать, что а = 0. Для этого, наряду с урав нением (2), для которого по предположению все собственные значе
ния матрицы |
имеют положительные действительные |
части, рас |
смотрим уравнение |
x — — f(x ), |
(36) |
|
для которого точка 0, очевидно, удовлетворяет условиям теоремы 19. В силу конструкции, данной при доказательстве теоремы 19, для уравнения (36) существует функция Ляпунова W (х), удовлетворяющая неравенству
W {M) ( x ) ^ — 2zW{x)
при условии (30). Выписывая левую часть этого неравенства в явном
виде (см. (9)), получаем:
П
WV; (*) = У |
(*)) < ~ 2а Г (*), |
1= |
1 |
§ 26] |
ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА |
2 1 7 |
или, иначе,
W {i]( x ) ^ 2 a W ( x ) .
Это неравенство заведомо верно, когда выполнено неравенство (30). Пусть теперь | — некоторая внутренняя точка эллипсоида (30) (см. (31)). Положим:
|
|
|
|
I)). |
|
|
|
Для функции w{t) выполнено |
неравенство |
|
|
|
|||
|
|
w ( t ) ^ s ‘2oLw(i), |
|
|
(37) |
||
когда для нее имеет место |
неравенство |
|
|
|
|||
|
|
|
w (t) |
с. |
|
|
|
Так как § ^ 0, то |
|
и можно произвести |
следующие выкладки, |
||||
исходя из неравенства (37): |
|
|
|
|
|
||
^ |
2а; |
1" — ~ сit |
2аt при |
t ^ |
0; |
||
w { t ) |
|
J » ( < ) |
|
р |
|
’ |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
w(0 |
w(0) е2*'; |
W(<р (t, g)) ^ |
W(|) е2*'. |
||||
Из последнего неравенства |
следует, |
что при |
росте t |
точка д: = ф(^ |) |
непременно выйдет на границу эллипсоида (30) и, следовательно, покинет его внутренность. Покажем, что после этого она уже не вернется внутрь эллипсоида (30). Допустим противоположное; тогда найдется такое положительное значение t', что w(t') — c, а при всех
положительных |
достаточно |
малых |
значениях Д^ |
выполнено |
неравен |
|||||||||||
ство w ( f -j- ДО |
|
с. |
Из |
последних |
двух |
соотношений |
следует, |
что |
||||||||
w (t')^ . 0, |
а |
эго |
противоречит неравенству (37), |
которое верно |
при |
|||||||||||
t = t', |
так |
как w (t') = |
с. |
|
что траектория х — tp (t, |), |
|
|
ф 0 — |
||||||||
Таким образом, |
доказано, |
где | |
||||||||||||||
внутренняя |
точка |
эллипсоида |
(30), |
обязательно |
уходит |
из |
эллип |
|||||||||
соида |
(30) |
и |
больше |
в |
него |
уже |
не возвращается. В силу |
|
второго |
|||||||
из неравенств (13), из неравенств (35) следует неравенство |
(31), |
так |
||||||||||||||
что шар (35) содержится в |
эллипсоиде (30). Ввиду этого |
из дока |
||||||||||||||
занного следует |
правильность |
утверждения |
Е). |
|
|
|
|
|
Пр и м е р
Вдополнение к предложению А) покажем, что если матрица А имеет собственное значение л с положительной действительной частью, то положение равновесия л; = 0 уравнения (5) уже не является устой чивым по Ляпунову. Действительно, в силу предложения А) § 14 решением уравнения (б) является векторная функция x = chelt, где
с — произвольная действительная константа, a h — собственный
2 1 8 |
|
УСТОЙЧИВОСТЬ |
[Гл. 5 |
вектор матрицы А с собственным значением X. Если X— действительное |
|||
число, то |
при достаточно |
малом с указанное решение начинается |
|
в точке |
ch, сколь угодно |
близкой к положению равновесия |
д; = 0, |
но с течением времени становится сколь угодно большим по модулю. Если же X— комплексное число, то тем же свойством обладает ре
шение c(helt -j- heXl) уравнения (5).
§ 27. Центробежный регулятор (исследования Вышнеградского)
В современной технике благодаря изобилию |
приборов |
автомати |
||||||||||||
ческого управления |
чрезвычайно |
большую |
роль |
играет |
т е о р и я |
|||||||||
а в т о м а т и ч е с к о г о |
р е г у л и р о в а н и я . |
Одним |
|
из |
важнейших |
|||||||||
|
|
|
вопросов, возникающих перед кон |
|||||||||||
|
Центробежный |
структором |
автоматического |
регу |
||||||||||
|
|
регулятор |
лятора, |
является |
вопрос |
об у с т о й |
||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
ч и в о с т и |
р а б о т ы |
системы |
ма |
||||||||
|
|
|
шина — регулятор. Этот |
вопрос |
во |
|||||||||
|
|
|
т многих |
|
случаях |
может быть |
решен |
|||||||
|
|
|
на |
основании |
теоремы |
|
Ляпунова |
|||||||
|
|
|
(см. § 26). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Наиболее давно |
существующей |
|||||||||
|
|
|
системой |
автоматического |
|
регули |
||||||||
|
|
|
рования |
является |
система |
паровая |
||||||||
|
|
|
машина — центробежный |
|
регулятор |
|||||||||
|
|
|
Уатта. Центробежный регулятор, |
|||||||||||
|
|
|
вполне |
|
хорошо |
справлявшийся |
со |
|||||||
|
|
|
своей задачей в конце XVI11 и в |
|||||||||||
|
|
|
первой половине XIX века, в се |
|||||||||||
|
|
|
редине XIX века ввиду его кон |
|||||||||||
Рис. |
41. |
|
структивных изменений стал работать |
|||||||||||
|
ненадежно. |
Широкие |
круги |
теоре |
||||||||||
|
|
|
тиков |
и |
инженеров |
искали |
выхода |
|||||||
из возникшего |
кризиса. Вопрос |
с полной |
ясностью |
и простотой |
был |
решен выдающимся русским инженером Вышнеградским, основателем теории автоматического регулирования. Работой Вышнеградского «О регуляторах прямого действия» (1876 г.) начинается теория регу
лирования машин, |
отвечающая |
на |
вопросы |
промышленной практики. |
||
В настоящем параграфе в упрощенном |
виде |
излагается |
исследование |
|||
Вышнеградского. |
регулятор |
(рис. |
41) |
представляет |
собой верти |
|
Центробежный |
кальный стержень 5, могущий вращаться вокруг своей вертикаль ной оси, в верхнем конце которого на шарнирах прикреплены два одинаковых стержня /_, и L% с одинаковыми грузами на концах. Стержни Ц и Ц скреплены дополнительными шарнирами, гак что отклоняться от своего вертикального положения они могут лишь
§ 2 7 ] |
ЦЕНТРОБЕЖНЫЙ РЕГУЛЯТОР |
21 9 |
одновременно |
на один и тот же угол ср, находясь в одной |
и той же |
гертикальной плоскости, неподвижно связанной со стержнем S'. Когда |
||
стержни L\ и |
о т к л о н я ю т с я о т своего вертикального |
положения |
на угол ср,они при помощи шарниров приводят |
в движение |
специальную |
||||
муфту М, надетую |
на стержень 5, так что |
расстояние |
этой |
муфты |
||
до верхнего конца |
стержня |
S пропорционально |
cos ср. Длину |
герти- |
||
кальных стержней |
Lt и Z.2 |
примем за единицу, |
а массу каждого ив |
грузов, прикрепленных на их концах, обозначим через т. Если стер жень 5 вращается с угловой скоростью 6, а стержни 1Л и Ы откло
нены |
от вертикального |
положения |
на |
|
|
|
|
|
|
|
||||
угол ср, то на |
каждый |
из |
грузов дейст |
|
|
|
|
|
|
|
||||
вует центробежная |
сила |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
тВ* sin ?■ |
|
( 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Одновременно |
на |
каждый |
груз действует |
|
|
|
|
|
|
|
||||
сила тяжести, |
равная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
mg. |
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как в направлении стержня Li |
силы, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
действующие на груз, уравновешиваются |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
реакцией стержня |
Z;,то для расчета силы, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
действующей на груз, |
следует разложить |
|
|
|
Рис. |
42. |
|
|
||||||
обе упомянутые силы по осям, первая из |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
которых направлена вдоль стержня, а |
вторая — в перпендикулярном |
|||||||||||||
направлении, в |
сторону |
возрастания |
угла |
ср. |
Непосредственно видно |
|||||||||
(рис. 42), что составляющая силы |
(1) |
в |
направлении |
возрастания |
||||||||||
угла ср |
равна |
|
|
|
mb'-1sin ср cos ср, |
|
|
|
|
|
|
(3) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а составляющая силы тяжести (2) в том же направлении равна |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
— mg sin ср. |
|
|
|
|
|
|
(4) |
||
Таким |
образом, |
равнодействующая |
обеих |
сил |
(3) |
и |
(4) |
задается |
||||||
формулой |
|
тВг sin ср cos ср — mg sin ср. |
|
|
|
|
(5) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Упрощенное объяснение работы центробежного регулятора заклю |
||||||||||||||
чается в том, что при заданной угловой скорости 0 |
стержни |
Lx и |
Lt |
|||||||||||
отклоняются под действием сил (1), |
(2) |
на |
угол |
<р, |
определяемый |
из |
||||||||
равенства |
|
тВг sin ср cos ср — mg sin ср = 0, |
|
|
|
|
(6) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
т. е. путем приравнивания нулю силы (5). Из соотношения (6) угол у определяется как однозначная монотонно возрастающая функция ско
рости 0; в этом смысле |
регулятор |
Уатта может рассматриваться как |
и з м е р и т е л ь скорости |
вращения. |
Это есть гак называемое стати - |