Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

11.65 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 3411 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

100	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ				[Гл. 2
Пусть		Ь* = 1Ч + Ь*,	v= E +	h\|*,	(21)

где	р.А,	£, т — действительные	величины.	Тогда пару сопряжен

ных между собой уравнений (20) можно заменить парой действитель

ных уравнений
£'• = (!,£— vfcr(*	rlk= чк1к - f \>.knk-	(22)

Производя такую замену для каждой пары комплексно-сопряженных собственных значений, мы сможем заменить систему действительных переменных (13) новой системой действительных переменных, причем уравнения для них частично имеют вид (19) (для действительных

значений Ху),		а частично — вид (22) (для пар комплексно-сопряженных
собственных		значений).		Е)	в пространстве R векторов
Для	доказательства предложения
х = (х1,	...,	х п) поставим	матрице	А	в соответствие линейное пре
образование		А (см. § 34)	и обозначим		через hk собственный вектор

преобразования А с собственным значением ХА. Примем теперь за ба

зис в R	векторы			Л,.. (23)

и соответствующие		этому	базису		координаты		вектора	дг обозначим
через у х,	у п■ Мы получим таким образом						линейное	преобразова
ние (15). В новой системе координат преобразованию А								соответствует
матрица	В, имеющая, как		легко		видеть,	диагональный		вид, причем
на диагонали стоят		числа	Х1(	...,	Х„. Таким образом, система (16) по
лучает вид (19).				действительна,		то	каждому	действитель
Если	теперь матрица А

ному собственному значению Ху поставим в соответствие действитель ный вектор hj, а паре комплексно сопряженных собственных значе ний \ к и Х, = ХА— пару комплексно сопряженных собственных век

торов hk и hi — hf,. Произвольный вектор Jt в новых координатах записывается в виде:

X = j ] y Jhj,	(24)
>=»

и если он действителен, то коэффициенты при действительных век торах должны быть действительны, а коэффициенты при комплексно сопряженных векторах должны быть комплексно сопряжены (см. § 7, Г)). Таким образом, каждому действительному собственному значению Ху соответствует действительное переменное у 1,_а паре комплексно со

пряженных собственных значений Xft и Хг = ХА соответствуют комп

лексно сопряженные величины у к и у 1

•

§ Ml	НОРМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА				101
Для	перехода от пары комплексно-сопряженных			уравнений	(20)
к паре действительных уравнений (22) запишем уравнение (20),					под
ставив в него значения Xft и у к из (21);		мы	получим	тогда
ik +	k=■(( + 1ч) ( + h k) =	-	Ч-Чк + 1(v& + №*)•

Приравнивая отдельно действительные и мнимые части этого соотно шения, получаем систему уравнений (22).

Итак, предложение Е) доказано.

Система уравнений (19) имеет очевидное решение

ук — скеК>'‘>k — \, ..., п,

но для того, чтобы получить решение исходной системы (3), нужно произвести переход от неизвестных (14) к неизвестным (13), а для этого нужно знать собственные векторы (23) матрицы А (см. (24)). Таким образом, предложение Е) равносильно теореме 10.

Для решения системы (1) в общем случае можно использовать приведение матрицы А к жордановой форме; получаемое здесь пред ложение Ж) равносильно теореме 11.

Ж) Пусть матрица А системы (1) произвольная. Выберем преоб разование (15) таким образом, чтобы матрица В имела жорданову

форму (см. § 36). Пусть			X— одно из собственных значений матрицы					А
и k — размер	одной	из	жордановых клеток матрицы В			с	собствен
ным значением	X. Будем		считать, что		эта клетка занимает		первые	k
строк. Соответствующая			этой	клетке	система уравнений	имеет вид:
у = х / +	у , /	=	Х / +	/ , ...,	/ * ‘ = Х /- ‘ + / , у к = 1ук.

Каждой другой жордановой клетке матрицы В соответствует ана

логичная система уравнений, которую легко			решить.
	П р и м е р ы
1. Применение метода,	изложенного в этом параграфе, к реше
нию системы (1) требует	отыскания	базиса
	hij . .	. , hn
векторного пространства,	составленного из		серий (см. теорему 11).

Это отыскание само по себе представляет некоторую алгебраическую задачу. Покажем, как, пользуясь результатами этого параграфа, мож но решить систему (1) м е т о д о м н е о п р е д е л е н н ы х к о э ф ф и ц и ентов , не отыскивая базиса, составленного из серий. Пусть X— неко торое собственное значение матрицы (ар. Этому собственному значению

вообще говоря,	соответствует	несколько	серий, входящих	в базис
, ft„;	пусть k будет	наибольшая	из длин серий,	соответ-

102	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ									[Гл. 2
ствуютих		собственному		значению	X. В силу теоремы 11				каждое из
решений, соответствующих собственному значению X, может быть за-
писано	в виде:
			х ‘=	/ ‘(1)еи ,	1 = 1 ,	п,				(25)
где /'(О		есть	многочлен	степени	sg;к — 1.	Таким	образом,		подстав
ляя в систему (1) решение в виде (25) и считая,							что	коэффициенты
многочленов			f ‘ (t), 1 = 1 ,	..., п,	суть неизвестные			константы,		мы,

пользуясь методом неопределенных коэффициентов, найдем все реше ния системы (1), соответствующие собственному значению X. При таком способе решения системы (1) не нужно знать серий, соответ ствующих собственному значению X, а нужно знать лишь д л и н ы этих серий. Отыскание длин представляет собой более простую алгеб раическую задачу, чем приведение к жордаиовой форме; задача эта решается теорией, элементарных делителей матриц, относящейся к линейной алгебре. Теория элементарных делителей нигде в этой книге не используется.

2. Покажем теперь, как решить систему (1) методом исключения, изложенным в § 11. Для применения метода исключения запишем систему (1) в виде:

% L l (p)xi = 0, /=|

где

Lij (p) = a‘/ — pbir

Детерминант D (р) матрицы (Llj{p)) в данном случае представляет со бой характеристический многочлен матрицы (а\). Пусть X— некото рый корень многочлена D(p), или, что то же, собственное значение матрицы (а Кратность корня X обозначим здесь через /. В силу

предложения В) § 11 всякое решение системы (1), соответствующее корню X, следует искать в виде:

х ‘ = g‘(t)

1= 1 > • • • > п>

где степень многочлена ^ ( t) не превосходит числа / — 1. Если срав нить метод, излагаемый в этом примере, с методом, данным в при мере 1, то мы видим, что вся разница заключается в определении максимальной степени многочленов. Метод примера 1 дает более точное определение степени многочленов, так как число к, вообще говоря, меньше числа I. В самом деле, сумма всех длин серий, соответствующих собственному значению X, равна /. Таким образом, равенство к = 1 может иметь место лишь в случае, когда есть только одна серия, соответствующая собственному значению X.

§ 15]

АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ

103

§15. Автономные системы дифференциальных уравнений

иих фазовые пространства

Здесь будет дана геометрическая интерпретация автономной системы уравнений в виде фазового пространства этой системы. Эта интерпретация существенно отличается от геометрической интер претации системы уравнений, указанной в §§ 1, 3 и правильнее дол жна называться не геометрической, а кинематической, так как в этой кнгерпретации каждому решению системы уравнений ставится в соот ветствие не кривая в пространстве, а движение точки по кривой. Кинематическая интерпретация (фазовое пространство) в некоторых отношениях более выразительна, чем геометрическая (система интег ральных кривых).

А в т о н о м н ы е с и с т е м ы

Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется

автономной, если

нее явно

не

входит

независимое

переменное

(или, как мы будем говорить, время ) t. Это значит,

что

закон

из

менения

неизвестных

функций,

описываемый

системой

уравнений

не меняется с течением времени,

как

это обычно

бывает

физи-’

ческими

законами. Очень легко

доказывается,

что

если

х 1= cpf (t),

/ =

1,...,

/г,

есть решение некоторой автономной системы уравнений, то

■*i =

'pU*) =

'P'(* +

i=zX....... п>

где с — константа, также есть решение

той

же

автономной

системы

уравнений. Проведем доказательство этого

факта

на

примере

н о р

м а л ь н о й

автономной

системы

уравнений.

А)

Пусть

х != ф ‘(х '.......х п),

/ = 1 , . . . , л ,

(1)

— автономная нормальная система

уравнений

порядка

п и

x = f ( x )

— векторная ее запись. Автономность системы

(1) заключается в том,

что функции / ' (лг1, ... ,

лг”),

являются

функциями

пере

менных

лг1, ... , х п и не

з а в и с я т

от времени t.

Относительно

функ

ций f

(х1....... х п) мы

будем

предполагать, что

они

определены

на

некотором

открытом

множестве

Д пространства размерности п, где

координатами точки

являются переменные

х 1, . . . , х п.

Мы будем

пред

полагать,

что функции / ‘ (лг1, ..., х п)

их

частные

производные

пер

вого

порядка непрерывны на множестве Д . Оказывается,

что если

лг' = ?'(*)>

г = 1 ,

... ,

(2)

104	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ								[Гл. 2
— решение		уравнения	(1), то
		х '1 =	ср'* ( 0	=(t -j- <ср‘),	/ =		1 ,		я ,
также есть		решение системы (1).
	Из правила дифференцирования сложной функции вытекает соот
ношение			=	+	1 =	\ ........я.			(4)
			=	+	1 =	\ ........я.			(4)
Действительно,
¥*		^ = Ш ¥ <*+		с )= JTT+7) ¥		{t +	с) ’ ^	=

Докажем теперь, что (3) есть решение системы (1). Так как (2) есть решение, то мы имеем тождества

♦ | ( 0 = / ,'(? , (0 •••> т ” (0)>

/ = 1........

Я.

Заменяя в этих тождествах t через t -}- с, мы получаем:


ф1( / -f-с ) = / ‘(tp* (/-\|-с),			... , <р"(t -f-с)),	i =	\ , ..., я.
Из этого в силу (4) и (3)			вытекает
(<) =	(t	c)— f ‘ (<р' (t-f- с)........ «р"(< + 0 ) =		/ '( <р1(0...........?;(<))•
Перейдем теперь к кинематической интерпретации решений системы
(1). Формально		речь будет идти об интерпретации			в «-мерном про

странстве, но для наглядности разумно представлять себе случай плоскости (п = 2).

Б) Каждому решению
^	= ?'(0.	/ = ! , . . . , «				(5)
автономной системы (1)	поставим	в	соответствие движение			точки в
«-мерном пространстве,	задаваемое уравнениями (5),				где х 1........х" —
координаты точки в пространстве,			a t	— время. В	процессе	своего
движения точка описывает некоторую				кривую — траекторию дви

жения. Если сопоставить решению (5) не процесс движения, а траек

торию движения точки, то мы получим менее		полное	представление
о решении, поэтому желательно на	траектории	указать хотя бы		на
правление движения. Оказывается,	что если наряду с		решением	(5)
имеется другое решение
хг = ф‘(0,	/ = 1 ........».			(6)

то траектории, соответствующие этим решениям, либо не пересека ются в пространстве, либо совпадают. Именно, если траектории име ют хотя бы одну общую точку, т. е.

(h) — (*»)>

l — li •••) п.

(? )

§ 151	АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ			105
ТО	ф'- (0 = ср*‘ (t - f с),	где	c = ti — ti.	(8)

Последние	равенства показывают,	что	траектории,	описываемые пер

вым и вторым решениями, совпадают между собой, но первое ре шение описывает ту же самую траекторию, что и второе, с «запоз данием» на время с. Если точка, соответствующая первому решению,

достигла	некоторого положения на траектории в момент времени
t-\-c, то	точка, соответствующая второму решению, уже побывала в

этом положении в момент времени t.

Для того чтобы вывести из равенства (7) тождество (8), рассмот

рим наряду

с решением (5)

решение

тКО =

? '(' +

(9)

(см. А)). Из

равенства

(7) при

c =

tx— 12 следует

равенство

<Рг* (h) — ?' (h +

с) =

ср; (tx) = f

(tt),

1 = 1 , ... , п.

Таким образом, решения (6)

и (9)

системы (1)

имеют

общие

началь

ные условия (а именно, значения в момент времени

f4) и потому в

силу теоремы единственности совпадают, так что мы имеем:

ф'(0= ч>ио = ?'(* + О.

i = h

•••>«•

П о л о ж е н и я р а в н о в е с и я и з а м к н у т ы е т р а е к т о р и и

Поставим

вопрос о том, может

ли

траектория,

изображающая

решение системы, пересекать себя.

В) Пусть

лт1’= <р* (*),

/ = 1, .... я

(10)

— некоторое

решение

системы

(1). Допустим,

что

имеет место

ра

венство

?'(<!) = ?'(<*).

/ =

(И)

где числа tx и tb конечно, принадлежат

интервалу

ri< ^ (< V 4 опре

деления решения (10). Оказывается,

что

при

этом

условии

решение

(10) может быть продолжено на весь

бесконечный

интервал

— оо<^

< ^i< ^ -|-oo .

Поэтому мы сразу будем считать,

что само решение (10)

определено на этом интервале — со

-|- оо. Оказывается далее,

что возможны два следующих взаимно исключающих случая.

1) Для

всех значений t

имеет место равенство

ср' (t) =

а\

i = \ , . . . , n ,

где (а1,..., а") есть точка множества

Д,

не

зависящая от t. Таким

образом, в

этом случае точка (ср1(t),....

cp"(f))

действительности

не движется

при изменении

t, а стоит

на

месте.

Само

решение

(10)

106	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ								[Гл. 2
и точка		(а1, ... , а") в этом случае называются положением равнове
сия	системы (1).
	2) Существует такое положительное число Г, что при произвольном
t имеют место равенства
		<р''(* +		Т) =	^((),	1 =	1....... п,
но при		\| -с, — ч \ < Т	хотя бы		для	одного	1 = 1 , ..., п имеет		место
неравенство
				?' Ы Ф Ф Ы -
В этом		случае решение		(10)	называется		периодическим	с	перио
дом	Т,	а траектория,	описываемая решением (10), называется					замкну

той траекторией, или циклом.

Докажем предложение В). Как было отмечено в предложении Б),

из равенства (11) следуют тождества
ф (t + с) = (0,	t = 1........ п,	c = U — t*	(12)
При этом функции cp'(i-f-c)........ср” (^ -}—с)		также представляют реше

ние системы (1) (см. А)). Это решение и первоначальное решение (10) совпадают там, где они оба определены (теорема 2). Если объеди нить эти два решения, мы получим новое решение с ббльшим интер

валом	существования, чем исходное, а именно, с интервалом						— с<^
t	rs при	с^>0 и Г\	t гз — с при	с < 0 .	Так	как tl и fs
равноправны,		то знак величины с можно изменить,			так	что	решение
можно	продолжить на		интервал гх — \| с I	<СГ*	I с I-		Так как>

кроме того, для продолженного решения равенство (11) по-прежнему выполнено, то к нему опять можно применить указанный способ


расширения интервала существования, и потому					мы	можем	продол
жить	решение		(10)	на всю бесконечную прямую	с	сохранением для
него	тождества		(12).
Каждое число с,				для которого выполнено тождество (12),			будем
называть		периодом		решения (10); множество всех периодов реше
ния (10)		обозначим		через F. Множество F есть некоторое множество

чисел. Установим некоторые его свойства. Заменяя и соотношении (12)

t через t — с, получаем	y l (t) =	y'(t — с).		Таким	образом, если с
есть период, то —с также есть период. Допустим,					что ct		и с2 — пе
риоды, т. е.
ср* (^-\|-с1) = ср<(<),	<р1(t	са) =	<р* (0,	i =	l,	... ,	п.
Тогда
Ф ((t -f- Cj) -(- ct) =	ср1(t —\|- сг) =		ф (t),	1 =	1,	...,	п.

Таким образом, если с, и суть периоды, то с, -f- с9 также есть период. Допустим, что сх, сг, ... , ст, ... есть последовательность

5 15]

АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ

107

периодов,

сходящаяся

некоторому

числу с0; тогда мы имеем

<р' (t

с т ) ~

?*' ( 0 >

1 = \ ,

П, т =

1 ,

2 , . . .

Так как

функции <p‘(f)

непрерывны,

то при /я-^-оо

мы

получаем:

ср‘(t -|-с0)= <р‘(t),

т. е. мы

видим,

что

с0

также

есть

период, так

что

множество

з а м к н у т о .

от

нуля (f, ф (,г),

то

Так как число с в равенстве (12) отлично

множество F содержит

числа, отличные от пуля. Из установленных

свойств

множества

легко

выводится, что для

него

есть только

две возможности: 1) множество F совпадает с множеством всех дей

ствительных чисел; 2) в

множестве F имеется

минимальное

положи

тельное число

Т, и тогда F состоит

из всех целочисленных кратных

числа

Т.

Докажем, что действительно

имеются только эти две возмож

ности.

Так как

множество F вместе

с каждым числом с

содержит

число — с и так как в F имеются числа, отличные от нуля, то в f имеются положительные числа.

Допустим, что в множестве F нет наименьшего положительного числа, т. е. что для произвольного положительного числа г имеется положительный период c<^s. Из доказанных свойств множества F следует (так как с есть период), что все числа тс, где т — целое, также являются периодами. Так как с<^е, то для произвольного

действительного

числа

с0

можно

подобрать

такое целое

т,

что

|с0 —

т е |

е . Таким образом, произвольное

число с0

является

пре

дельным

для

множества F,

и потому, ввиду замкнутости множества F,

это

множество

совпадает

множеством

всех

действительных

чисел.

Допустим

теперь, что

F не есть множество всех

действительных

чисел. В силу доказанного,

в F имеется

тогда

наименьшее

положи

тельное

число Т. Пусть

с — произвольный период. Можно тогда выб

рать такое целое число т, что | с — тТ\<^Т. Допустим,

что

с Ф m Т;

тогда | с — тТ\

есть отличный от

нуля

период,

это

невозможно,

так

как

|с — /пТ\<^Т,

что противоречит

минимальности

числа

Т.

Итак, доказано, что каждое число с из F может быть записано в виде

с =

тТ,

где

m — целое

число.

Теперь уже легко проверить, что если F есть множество всех

действительных

чисел, то

имеет место случай 1), а

если F

не

есть

множество действительных

чисел, то имеет место случай 2). Таким

образом, предложение В) доказано.

Кратко предложение

В)

можно

сформулировать,

сказав,

что

име

ется три сорта траекторий: 1) положение равновесия; 2) периодичес кие траектории (циклы); 3) траектории без самопересечений. Естест венно считать, что последний случай является «наиболее общим».

Из теоремы 2 следует, что через каждую точку области Д зада ния системы (1) проходит траектория, изображающая решение системы.

108	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ	[Гл. 2
Таким	образом, вся область Л заполнена траекториями, причем,	сог

ласно Б), траектории эти попарно не пересекаются. Среди всех траек торий особо выделяются самопересекающиеся, которые являются либо положениями равновесия, либо циклами. Эти два сорта траекто рий имеют весьма важное значение.

Такова кинематическая интерпретация решений автономной си стемы уравнений. Сама система уравнений также допускает геомет рическую интерпретацию.

Ф а з о в ы е п р о с т р а н с т в а

Г) Поскольку автономная система уравнений (1) определена на открытом множестве Д, каждой точке (xj, ..., х£) множества Д по ставлена в соответствие последовательность из я чисел, именно по следовательность:

Р (К....... О ......... / п (xj, ..., х?).

Эти числа можно рассматривать как компоненты вектора/(x j, ..., xj), проведенного в я-мерном пространстве и выходящего из точки (xj, ..., х"). Таким образом, автономной системе ставится в соот

ветствие	геометрический	образ — в е к т о р н о е поле,	заданное	на
открытом	множестве Д.	В каждой точке (xj, ..., х£)	множества	Д

определен вектор f{x\, ..., xj), выходящий из этой точки. Связь между геометрической интерпретацией решений и геометрической


интерпретацией	самой системы уравнений				заключается		в следующем:
Пусть (х', ...,	xj) — произвольная			точка	множества		Д. В силу	гео
метрической интерпретации			системы	уравнений этой точке поставлен
в соответствие	выходящий		из нее	вектор /(x j,		... ,	х"). Далее, в
силу теоремы 2 существует решение х ' =						системы (1),		удов
летворяющее начальным		условиям
	?'(*•) =		х ',	1 = 1 ........ п.
В силу кинематической		интерпретации решению				х 1=	<р‘ (t) соответст

вует в пространстве движение точки, описывающее траекторию,

причем в

момент времени

t = ta движущаяся

точка

проходит через

положение (х ‘, ... ,

х£) в

пространстве.

Оказывается,

что

вектор

ная скорость точки, описывающей решение х ' =

(t), в момент ее

прохождения

через

положение

(xj,

...,

х ”)

совпадает

вектором

/(x j, ...,

xj).

Именно

это совпадение и выражается

системой уравне

ний (1) при

х ‘=

xj,

i ~

\ ,

...,

я; t = t0.

Пространство размерности я, в котором интерпретируются реше ния автономной системы (1) в виде траекторий и сама автономная система (1) в виде векторного поля, называется фазовым прост

§ 15] АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ 1 0 9

ранством системы (1). Траектории называются фазовыми траек ториями, векторы f ( x '0, ..., xf) называются фазовыми скоростями.

Связь между обеими интерпретациями заключается в том, что ско рость движения точки по траектории в каждый момент времени со впадает с фазовой скоростью, заданной в том месте пространства, где в этот момент находится движущаяся точка.

Рассмотрим теперь положения равновесия с точки зрения фазовых скоростей.

Д) Для того чтобы точка (а1, ... , ап) множества Д была положе

нием равновесия системы (1), т.		е. чтобы имелось решение			=	(/)
системы, для которого
	< рЧ 0= в'.	/ = 1,				(13)
необходимо и	достаточно, чтобы фазовая		скорость	/ ( а 1,	... ,	ап) в
точке (а1, ...,	ап) была равна	нулю. Таким	образом,	для	отыскания

всех положений равновесия системы (1) нужно решить систему урав нений

f ‘(a\ ..., о") = 0, / = 1 , ... , и.

Эта система представляет собой не систему дифференциальных урав

нений, а, как говорят,

систему к о н е ч н ы х уравнений

(производные

в нее не

входят).

Для доказательства утверждения Д) допустим,

что (а1,

... ,

«")

есть положение равновесия, т. е. что

имеется

решение лг'=

<р‘ (/),

для которого выполнены соотношения (13), и подставим

в систему (1)

это

решение. Так

как

производная

постоянной

равна

нулю,

то

под

становка

дает

а") = ±

? ’ ( ( ) = - ^ а 1 = 0.

Таким образом,

вектор /(а1,

... , ап) фазовой скорости

действительно

обращается

в пуль

в точке а1, ... ,

а".

Допустим,

что,

обратно,

век

тор / ( а 1,

...,

а")

фазовой

скорости

обращается

нуль

точке

(а1,

..., а"),

т.

е.

что

/ '( а 1........ ап) =

0, / =

1, ..., и,

и покажем,

что

в этом

случае

равенства

(13)

определяют

решение

системы

(1).

Подстановка дает

* ' ( 0 = / V ,

•••> «")-

/ = 1 ,

....

я;

равенства эти выполнены, так как слева стоит производная константы,

а справа — нуль.
Е) Геометрическая интерпретация решения (2)			системы		уравнений
(1), указанная в § 3, ставит в	соответствие этому		решению кривую К
в (п -{- 1)-мерном пространстве переменных t,		х *,	...,	х п,	определя
емую системой уравнений (2).	Здесь t является	одной		из	координат
в пространстве R. Переход	к интерпретации	в	л-мерном" фазовом

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 3411 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ