книги из ГПНТБ / Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник
.pdf7 0 |
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ |
[Гл. ? |
Левая часть каждого соотношения (12) представляет собой много |
||
член |
степени к — 1 относительно t, коэффициенты которого |
явля |
ются линейными однородными функциями коэффициентов многочле нов (10). Приравнивая нулю коэффициент при каждой степени t в каждом из соотношений (12), мы получим систему линейных одно
родных уравнений |
относительно коэффициентов многочленов |
( 10). |
Эта система эквивалентна уравнению (11). |
ре |
|
Таким образом, |
изложенный метод сводит задачу отыскания |
шений вида (9) к решению некоторой линейной однородной системы
алгебраических уравнений. Из сказанного |
видно, |
что решения |
вида |
||||||||||
(9) определены на всем бесконечном |
интервале |
— оо |
t |
|
-|- оо . |
||||||||
Вопрос о том, как |
отыскивать |
все |
решения |
уравнения |
(8), |
ре |
|||||||
шается |
нижеследующей |
теоремой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Т е о р е м а |
9. Допустим, что детерминант |
D(p) |
системы |
(6) |
|||||||||
не обращается |
тождественно |
в нуль, и пусть |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
^1, |
|
.... |
^т |
|
|
|
|
|
|
|
■— совокупность всех различных |
корней |
многочлена |
Dip). |
Тогда |
|||||||||
произвольное решение |
х уравнения |
(8) |
может быть |
записано |
|||||||||
в виде: |
|
■£: = X |
i - f - |
|
|
|
|
|
|
|
(13) |
||
|
|
|
х т, |
|
|
|
|
|
|||||
где х, |
— некоторое решение уравнения (8), соответствующее кор |
||||||||||||
ню \ |
(см. В)). |
Отсюда, в частности, |
следует, что каждое ре |
||||||||||
шение уравнения (8), определено для |
всех |
значений t. |
|
|
|
|
|||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . Допустим, что х = |
(л;1.......лт") — некоторое |
решение уравнения (8) определенное на интервале rv<^t<^ry, пока
жем, что на этом интервале оно может быть |
записано в |
виде |
(13). |
В силу предложения Б), каждая функция x s, |
s = l , . . . , n , |
на интер |
|
вале r i< ^ t<^г4 удовлетворяет уравнению |
|
|
|
D (p)xs = 0, |
|
|
|
и потому в силу предложения В) § 8 может быть записана на |
этом |
||
интервале в виде: |
|
|
|
т |
|
|
|
* = 1 .... , п. |
|
(Н ) |
|
»=i |
|
|
|
Здесь g* (0 есть многочлен степени kt — 1, где kt — кратность корня Хг.
Таким образом, каждое решение х уравнения (8) на интервале своего определения ry< ^t< V a записывается в виде:
* = * .(9 е М + . . . |
+ «г* ( 0 в Ч |
(15) |
где gi (t) — вектор, компоненты которого являются многочленами степени kt — 1. Для доказательства теоремы 9 нам достаточно пока
зать теперь, что каждое слагаемое gi(t)elit в правой части равен
§ И] МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ 71
ства (15) есть решение уравнения (8). Для доказательства этого под ставим решение (15) в уравнение (8). Мы получим:
О - |
L (р) (ff, (0 |
... + g m (t) ех"') = |
|
|
|
|
||||
|
|
= еМ Ц р + X,) g x (t) + . . . + |
ех" ‘ L (р + |
Xm) g m (t). |
(16) |
|||||
Так |
как |
числа |
Xt .......Xm попарно |
различны, то, в силу предложения |
||||||
В) § |
10, |
из равенства |
(16) следует: |
|
|
|
|
|||
|
|
|
ех‘‘ L (p - \- l,)g l (t) = 0, |
|
1 = 1 , . ...т , |
|
||||
или, |
иначе, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L(p)gi(.t)eXi‘ = |
0, |
1 = 1 .......т. |
|
||||
Но это и значит, что |
лг; = g t (t) e>l ‘ есть |
решение |
уравнения |
(8). |
||||||
Итак, |
теорема 9 доказана. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
П р и м е р ы |
|
|
|
|||
1. Решим |
методом исключения систему уравнений |
|
||||||||
|
|
|
|
X х-f- X1 |
|
х* = 0, |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Jc1 — x l + |
Jca- f л-а= :0 . ) |
|
|
|||
Перепишем ее в символической |
форме: |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
(/>+ !)■*' +рлга = |
°, |
1 |
|
|
|||
|
|
|
(р2— 1 ) х Ч - ( р а+ 1 )х а = 0. } |
|
|
|||||
Детерминант системы, как легко видеть, |
равен p4-j-2 p -j-l; он име |
|||||||||
ет двукратный |
корень |
Х= — 1. Согласно |
теореме |
9 решение |
систе |
|||||
мы следует искать в |
виде: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
лл = |
(at 4 - b) е~*, |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
х 4,= |
(ct 4- d) е~(. |
J |
|
|
Подстановка этих функций в первое уравнение дает (после сокра щения на е~‘):
а -\-с — ct — d = 0,
откуда
с = 0, )
a = d. )
Те же соотношения для коэффициентов получаются и при подста новке во второе уравнение системы. Таким образом, общее решение
72 |
ЛИНЕПНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ |
[Гл. 2 |
|||||||
рассматриваемой системы записывается |
в виде: |
|
|||||||
|
|
|
х 1= |
(at -}- b) е~{, |
) |
|
|||
|
|
|
х 4= |
а |
ё |
|
) |
|
|
где а |
и |
b — произвольные |
постоянные. |
к |
нормальной системе |
линейных |
|||
2. |
|
Применим метод |
исключения |
||||||
однородных уравнений |
с постоянными коэффициентами: |
|
|||||||
|
|
x J = |
Y i |
a [ x s, |
7 = 1 , |
...» л |
(17) |
||
|
|
|
5= 1 |
|
|
|
|
|
|
(более полно такая система будет изучена в § 14). Перепишем |
систе |
||||||||
му (17), |
пользуясь символическими |
обозначениями |
|
||||||
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
p x ’ — ^ a ' s Xs, |
/ = |
1, ... , п, |
|
||||
|
|
|
5= 1 |
|
|
|
|
|
|
или, |
иначе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- £ ( a i - p b js ) x s = |
Q, |
7 = 1 ........ п, |
(18) |
||||
|
|
5 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
где g' — символ Кронекера. Система (18) является частным случаем
общей системы (6), причем
U(Р) = aJs — phi
идетерминант D(p) в данном случае оказывается характеристическим детерминантом матрицы (а{) системы (17). Решение системы (18) следует теперь искать методом неопределенных коэффициентов, изло
женным в предложении |
В) |
и теореме 9. |
|
|
|||
|
Систему (17) можно |
записать в векторной форме: |
|
||||
|
|
|
|
х = А х , |
|
(19) |
|
где |
A= ( a j ) . jc= (jc1, ... , |
х п). |
В частном |
случае, когда все корни |
|||
А,, |
..., Ая характеристического |
многочлена |
D(p) попарно |
различны |
|||
и потому просты, решение уравнения (19), |
соответствующее собствен |
||||||
ному значению |
Аг, имеет вид: |
|
|
|
|||
|
|
|
|
Xl = |
V |
|
(20) |
|
|
|
|
gle . |
|
|
|
где |
компоненты |
вектора |
|
являются многочленами нулевой |
степени, |
||
т. е. числами. |
решение |
(20) в уравнение (19), получаем: |
|
||||
|
Подставляя |
|
§ И] |
|
|
МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ |
73 |
После |
сокращения |
на |
е находим: |
|
а это |
значит, что |
g t |
есть собственный вектор |
матрицы А с соб |
ственным значением Х;. Так как в случае различных собственных значений все собственные векторы с заданным собственным значением коллинеарны между собой, то, выбирая для собственного значения Хг
некоторый фиксированный собственный вектор ft,-, |
мы получим g t = |
|||||
= c‘hi, |
где |
с‘ — произвольная |
константа. Таким |
образом, |
если все |
|
собственные |
значения матрицы |
А различны, то произвольное решение |
||||
х уравнения |
(19) записывается в виде: |
|
|
|
||
|
|
х — c'hye |
-j- ... -)- cnhne'r>t, |
|
(21) |
|
где с1, |
..., сп — произвольные |
константы. |
|
|
||
3. |
Рассмотрим линейную систему |
|
|
|
||
|
|
^ и г (р)х*=/>(0, |
/ = 1........ п, |
(22) |
||
|
|
5=1 |
|
|
|
|
с постоянными коэффициентами (см. ( 1)), и пусть qt — ее порядок относительно неизвестной функции jc‘, а
Я — Я\ + Яч + • • • Н~ Яп t
— порядок системы (22). Пусть, далее,
'£ > ) ••• Ln(p)
(23)
— матрица системы (22), a D(p) — ее детерминант. Мы покажем, что степень многочлена D(p) не превосходит числа q. Если эта степень равна q, то систему (22) мы будем называть нормализуемой. В этом случае ее можно разрешить относительно высших производных
(х'У<‘\ |
(хпучп), |
(24) |
и потому она может быть сведена к нормальной системе (см. § 4, Б)). По предположению, степень многочлена LJs(p) не превосходит
числа qs, так что мы можем написать
^ 00 = |
’ |
(25) |
где многоточием обозначены члены меньшей, чем qs, степени. Вычис ляя детерминант D(p) матрицы (23) с учетом формулы (25), легко убеждаемся, что
Я(Р)= Д-Р?+ ...,
74 |
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл. 2 |
где Д есть детерминант матрицы (а'). В этой формуле опущены члены
меньшей, чем q, степени. Таким образом, установлено, что максималь ная возможная степень многочлена D(p) есть д, и если эта степень равна q, то Д ф 0. Выделяя в системе (22) члены со старшими про изводными (24), мы приходим к системе
|
2 < |
+ |
• ■• = f ‘ (')- |
/ = 1. ..., |
л. |
(26) |
|
|
S— \ |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, если система (22) нормализуема, то |
|
Д 9* 0, и си |
|||||
стема (26) разрешима относительно высших производных (24). |
|||||||
Так как |
нормализуемая |
система |
(22) |
сводится |
к |
нормальной, |
|
то согласно |
сказанному |
в примере 2 |
§ 3 |
каждое решение нормали |
зуемой системы (22) имеет любое наперед заданное число производ
ных, если только правые части f 1(t) системы |
(22) |
достаточное число |
|||
раз дифференцируемы. |
|
|
|
|
|
4. |
Рассмотрим теперь случай, когда детерминант |
D(p) системы (22) |
|||
не равен |
тождественно нулю, но степень многочлена |
D(p) |
меньше |
||
порядка |
q системы (22). Мы покажем, что и |
в этом |
случае |
всякое |
|
решение |
системы (22) имеет любое заданное число |
производных, |
|||
если только правые части f (£) достаточное |
число |
раз |
дифференци |
руемы.
Согласно предположению степень многочлена D(p) меньше q, и потому детерминант Д равен нулю. Таким образом, между столбцами
матрицы (a]s) имеется линейная зависимость; |
пусть Ьх, ..., |
Ьп—коэф |
||||||
фициенты, осуществляющие эту зависимость. |
Среди |
чисел Ьх, ..., Ьп |
||||||
могут оказаться |
равные |
нулю. |
Мы |
изменим |
нумерацию |
функций |
||
дг1........ х п таким |
образом, |
чтобы |
имели место соотношения |
|
||||
9*0, b* 9* 0, |
..., Ьт Ф 0, bm+x= |
. . . = |
bn = |
0; |
1 < / и < я . (27) |
|||
Я \^ Я ь |
<?i 5= <7з> |
•••■ |
Я\ 5^ Ят- |
|
Так как в силу (27) имеем Ьх Ф- 0, то мы можем считать, что b1 = 1. Введем теперь вместо неизвестных функций дг1, ..., х п новые
неизвестные функции у х, ..., у п, положив:
х х = у х; |
х 1= |
у ‘ |
b‘pqi~4iy x, |
1 = |
2, ..., |
т; |
|
|
х ' = у 1, |
1 = т - \-\, ..., |
п. |
|
(28) |
||
Соотношения (28) могут быть разрешены относительно новых |
|||||||
неизвестных функций у х, |
... , |
уп; именно |
мы имеем: |
|
|
||
у1— х х\ |
у 1 = |
х 1— blp4'~4ix x, |
1 = 2 , ..., |
т\ |
|
||
|
у ‘ = х \ |
l = m - f- 1, |
..., |
п. |
|
(29) |
|
Подставляя вместо |
неизвестных функций |
х 1, ... , х п новые |
неизвест |
||||
ные функции у х, , |
у п в систему (22), мы получим новую |
систему |
§ 12] |
МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД |
7 5 |
||||
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
Ё и (p)ys = f (0, |
' У = |
1, |
Я. ' |
(30) |
|
|
5=1 |
|
|
|
|
|
Непосредственно видно, что порядок 9* системы |
(30) относительно |
|||||
функции у/1 |
меньше <?,, а порядки ее |
относительно остальных |
неиз |
|||
вестных у 2, |
у п равны |
соответственно <7*, .... |
д„. Таким образом, |
|||
порядок q* |
системы (30) |
меньше порядка |
q системы (22). |
|
Если рассматривать преобразования (28) и (29) как линейные преобразования переменных у х......... у'г в переменные х 1, ... , х" и обратно с коэффициентами, являющимися многочленами относительно р,
то видно, что детерминант каждого |
из линейных преобразований (28) |
|||||||||||||
и (29) равен |
- |- 1. Из этого |
|
следует, что детерминант D* (р) |
си |
||||||||||
стемы (30) равен |
детерминанту |
D(p) системы (22). Таким |
образом, |
|||||||||||
разность |
между |
порядком |
и |
|
степенью детерминанта |
в системе |
(30) |
|||||||
меньше, |
чем |
в системе (22); |
применяя описанное преобразование |
ко |
||||||||||
нечное число |
раз, |
мы придем |
к нормализуемой |
системе. |
|
|
||||||||
Пусть теперь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
*' = |
<р'(0. |
|
|
|
Л, |
|
|
|
(31) |
|
— некоторое |
решение |
системы |
(22). Так как порядок системы |
(22) |
||||||||||
относительно |
неизвестной |
функции |
х 1 равен |
qt, то |
функция |
ср* (t) |
||||||||
предполагается |
qt раз дифференцируемой. |
В силу преобразования (29) |
||||||||||||
решению |
(31) |
системы |
(22) |
соответствует |
решение |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
У = |
<!»'(0 > |
1 = 1 |
|
|
|
|
(32) |
|||
системы (30). |
Из соотношения (32) |
видно, |
что функция У(() |
диффе |
ренцируема qt раз. Из сказанного следует, |
что из каждого решения (31) |
||||||||
системы |
(22) |
мы получаем |
некоторое |
решение |
(32) системы |
(30), |
|||
так что |
при |
переходе |
от |
системы (22) |
к |
системе (30) ни одно ре |
|||
шение не теряется. Так |
как |
в результате |
ряда |
преобразований |
мы |
||||
приходим |
к нормализуемой |
системе, решения которой имеют любое |
|||||||
заданное |
число производных, то из преобразования (28) видно, |
что |
|||||||
и решение (31) |
системы (22) имеет любое заданное число производных. |
||||||||
|
|
§ 12. Метод комплексных амплитуд |
|
||||||
В различных разделах техники и физики, |
в которых имеют |
дело |
|||||||
с колебательными процессами, важную роль |
играют гармонические |
колебания. Математически гармоническое колебание задается функцией
■ГCOS (mt ~f- а), |
0. |
(1) |
Здесь г — амплитуда колебания, а — его начальная фаза, а число со определяет частоту колебания и обычно называется частотой. Мы
76 |
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ |
[Гл. 2 |
уже видели (см. пример 1 § 4), что уравнение |
|
|
|
х -(- (Лс = 0 |
(2) |
имеет в качестве своего общего решения гармоническую функцию (1) частоты ш с произвольными амплитудой и фазой. Уравнение (2) назы вается уравнением гармонического осциллятора.
При изучении гармонических колебаний нередко приходится иметь дело с уравнением
L(p)x = r cos (u>t -(- а), |
(3) |
где в правой части стоит гармоническая функция. Уравнение (3) легко решить, пользуясь способом, изложенным в теореме 8, так как гар моническая функция является квазимногочленом. В случае, когда коэффициенты многочлена L (р) действительны, можно использовать теорему 8 несколько иным способом. Способ этот называется в электро технике методом комплексных амплитуд и заключается в сле дующем.
А) Наряду с действительной гармонической функцией (1) рас смотрим соответствующую ей комплексную гармоническую функцию
Реш , |
(4) |
где |
|
fp = ге‘\ |
(5) |
Функция (4) обладает тем свойством, что ее действительная часть совпадает с функцией ( 1):
ре‘ш = ге1 = г cos (wt -j- а) -{- ir sin (шt -j- а).
Комплексное число (5) называется комплексной амплитудой ком плексной гармонической функции (4); оно объединяет в себе дейст вительную амплитуду г и начальную фазу а. Отметим, что
г= |р|-
В случае, если коэффициенты многочлена L (р) действительны, для решения уравнения (3) решают предварительно уравнение
Цр) г = |
Реш . |
(6) |
Непосредственно видно, что если |
г — х-\-1у |
есть решение уравне |
ния (6), то х есть решение уравнения (3). Предполагая, |
что ш не есть |
корень многочлена L (р): |
|
L (Ь) ф 0, |
(7) |
ищем (см. теорему 8) решение уравнения (6) в виде комплексной гармонической функции г = яеш‘ с комплексной амплитудой o = se'*i.
§ 12] |
МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД |
77 |
Подставляя функцию z = аеш‘ в уравнение (6), получаем:
|
|
|
|
|
L (/«>) |
|
(S) |
(см. § 7, Б)). |
Таким образом, |
решение уравнения (3) |
находится в виде |
||||
функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х = |
s cos (wt -j- р); |
(9) |
|||
амплитуда |
s |
и начальная |
фаза р этого |
решения |
определяются из |
||
формулы |
|
|
|
|
re"1 |
|
|
|
|
|
|
se& |
|
|
|
|
|
|
|
L (tu) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(см. (8)). |
В частности, s = |
| о ] == |-ц,-м-у| • |
Если многочлен L (р) устой |
чив, то соотношение (7), очевидно, выполнено. В этом случае любое
решение уравнения (3) имеет вид: |
|
х = и -J- s cos {y>t —J—р), |
(10) |
где и есть решение однородного уравнения |
L (р) и — 0. Решение и |
этого однородного уравнения стремится к нулю при t —* оо, и потому любое решение уравнения (3) стремится к решению (9). Решение (9)
называется установившимся', оно соответствует установившемуся
процессу, в то время как решение ( 10) описывает переходный про цесс. Установившееся решение (9) является единственным периодиче ским решением среди всех решений ( 10).
При применении метода комплексных амплитуд обычно не рас сматривают решений действительного уравнения (3), а сразу исходят из комплексного уравнения (6).
Изложим теперь метод комплексных амплитуд в применении к системе уравнений. Речь идет об отыскании частного решения системы уравнений
П
Y i L [ ( P ) x S = Г, c°s (u>f+ аО, |
] = \ .... П |
(И) |
S= 1 |
|
|
с действительными коэффициентами, в правых частях |
которой стоят |
|
гармонические колебания одной и той |
же частоты и>. |
(см. § 11, А)) |
Б) Предположим, что детерминант D(p) системы (11) |
не обращается в нуль при p — im. Для отыскания решения системы (11) будем искать сначала решение системы уравнений
^ 7/А(р)2* = р еш , |
] = \ , |
п, |
( 12) |
А = 1 |
|
|
|
где
73 |
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл. 2 |
|||||
Так |
как коэффициенты |
всех |
многочленов |
LJk (p) |
действительны, то |
|
из всякого решения z1, |
zn |
системы (12) мы |
получаем решение |
|||
|
|
x k — Rezk, |
k = \ |
|
|
|
системы (11). |
Решение системы (12) ищем |
в виде: |
|
|||
|
|
г" = <зкеш , |
k = l , |
п. |
(13) |
|
Подстановка |
функций (13) в систему (12) |
дает |
(после сокращения |
на еш ) систему уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 (/ч>)о* = |
Р/ |
|
|
|
|
|
ь=\ |
|
|
|
|
|
|
|
которая однозначно разрешима |
относительно неизвестных |
о*, |
так |
||||
как детерминант ее D{im) по |
предположению отличен от нуля. |
Найдем |
|||||
решение этой системы и положим: |
|
|
|
|
|
||
|
о* = |
|
|
|
|
|
|
тогда в силу (13) мы находим решение |
|
|
|
|
|
||
х к= sft COS (wt -j- |
k z = l ........ n, |
|
|
|
(14) |
||
системы (И). Если детерминант |
D(p) системы (11) |
есть |
устойчивый |
||||
многочлен, то неравенство |
D(/u) ) ^ 0 |
выполнено, |
и, |
сверх |
того, |
каждое решение системы (11) отличается от решения (14) слагаемым,
стремящимся к нулю |
при |
t —--j-oo (см. § 11, Б)). Таким образом, |
|
в случае устойчивого |
многочлена D(p) решение (14) |
системы (11) |
|
не только является одним из частных решений, но |
представляет |
||
собой установившееся решение. |
|
||
|
|
П р и м е р |
|
Решим уравнение |
|
|
|
х -f- |
= г cos (ш( -|- а) |
(15) |
гармонического осциллятора, находящегося под воздействием внешней гармонической силы. Вместо уравнения (15) рассмотрим соответствую щее комплексное уравнение
5 + co^ = |
rei(“,+a). |
(16) |
Если и>^ и,, то уравнение (16) |
имеет решение вида 2 = |
ae,m<, причем |
в силу формулы (8) |
ге1л |
|
О= |
|
|
О)3—о>а • |
|
|
|
1 |
|
S 121 |
МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД |
79 |
Таким образом, уравнение (15) имеет решение |
|
|
|
■* = |-т»=ГЙ» |~COS(orf + P), |
(17) |
где р = а при u ) | со и (3=*=а-|-7г при а)1<^(«. Формула (17) дает вынужденные колебания осциллятора под воздействием гармониче ской внешней силы. Здесь важно отметить явление резонанса, заклю чающееся в том, что амплитуда
вынужденного |
колебания |
в о з р а с т а е т |
с |
убыванием разности |
||
| о), — о» |. Интересно также |
отметить, что фаза р колебания (17) совпа |
|||||
дает с фазой а |
вынуждающей силы при u>,^>u> и противоположна |
|||||
ей |
при |
(Oj<^u). |
Общее решение уравнения |
(15) |
записывается в виде: |
|
|
|
Х = |
Г Х COS ( ( V |
+ a t) + j ш8 _ '"Y j' c o s |
( ° ^ + P)> |
|
где |
и = |
rt cos (u>tt ~(- aj) есть решение соответствующего однородного |
уравнения. Слагаемое и называется собственным колебанием осцил
лятора. |
|
|
|
|
В этом случае |
ре |
Если 00, = о), то формула (17) теряет смысл. |
||||||
шение уравнения (16) |
следует искать в виде: |
|
|
|||
|
|
z==pteia,‘, |
|
|
|
|
где р — комплексное |
число (см. |
теорему 8). Согласно формуле |
(9) |
|||
§ 10 имеем: |
|
[(р -)- Iwf -)- о/2] рt — геы, |
|
|
||
|
|
|
|
|||
откуда |
|
|
ге<* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
2ш |
|
|
|
Таким образом, частное решение |
уравнения (16) |
имеет (при ш1 = |
ш) |
|||
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
z |
2Ы |
|
2(о |
|
|
а решение уравнения (15) оказывается равным |
|
|
||||
X==£ - C0S ( ^ + * - - 5-) = |
-£sin(a>f + a). |
|
||||
Таким образом, |
при ш = ш, явление |
резонанса |
заключается в том. |
|||
что амплитуда ft |
становится переменной и неограниченно возрастает |
с течением времени. В реальных приборах это явление не наблюдается ввиду наличия «трения».