Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

11.65 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 343 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

20 ВВЕДЕНИЕ ГГл 1

решать по способу, указанному	в примере 2.	Решая уравнение (13)
этим способом, мы получаем: х	1
этим способом, мы получаем: х	— t — с, или
x =	(t — cf.	(14)

Часть графика функции (14) (при t<^c) проходит в полуплоскости jc<^0, часть же (при <^>с) — в полуплоскости лг^>0. Непосредст венно проверяется, однако, что функция (14) является решением

уравнения		(13) при	вс е х	значениях t на интервале — oo<^t<^-]-c>o.
В то	же	время	х = 0	также	является		решением		уравнения	(13).
Таким образом, через каждую					точку	лс = 0, t ^		c	прямой	лг=	0
проходят уже два			решения (рис.		4): решение (14)			и решение х =			0.
Мы видим, что вторая часть теоремы						1	(единственность) не			имеет
места	для	уравнения (13).

§ 3 | ФОРМУЛИРОВКА ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ 21

§3. Формулировка теоремы существования

иединственности

В§ 1 было рассмотрено одно дифференциальное уравнение пер

вого порядка, причем была сформулирована теорема существования и единственности для этого уравнения. Теория обыкновенных диф ференциальных уравнений имеет дело и с более общими системами уравнений. Обычно система обыкновенных дифференциальных уравне ний состоит из стольких уравнений, сколько в нее входит неизвест ных функций; при этом все неизвестные функции являются функциями одного и того же независимого переменного. Во всех случаях те орема существования и единственности является основным теорети ческим положением, дающим возможность подойти к изучению дан ной системы дифференциальных уравнений.

Теорема существования и единственности формулируется и до казывается применительно к системе уравнений, по внешнему виду имеющей несколько частный тип. В действительности же к этой си стеме уравнений сводятся системы сравнительно общего типа. Систе

мы дифференциальных уравнений		того	частного типа,		о	котором
здесь идет речь, мы будем называть в дальнейшем нормальными.
Система
± l = f l {t, х \ х*.......... х");			1 =	1...........п,		(1)
обыкновенных	дифференциальных	уравнений		называется	нормальной.
В этой системе	t — независимое переменное, х 1, . . . , х п — неизвестные
функции этого переменного, а /* ,..., / л — функции от п -\|- 1						перемен

ных, заданные на некотором открытом множестве Г			пространства
размерности	п —\|—1, в котором координатами точки являются			числа t,
х 1, . . . , х я. В	дальнейшем всегда	будет предполагаться,	что	функции
	х 1, х 2, ... , х"),	п,		(2)

непрерывны на открытом множестве Г; точно так же будет пред полагаться, что и их частные производные

dfl (t, х ‘, ха, ..., Xя)	I, j = 1, — ,	п,	( 3)
дх!

существуют и непрерывны на множестве Г. Следует заметить, что частные производные (3), непрерывность которых предполагается, берутся только по переменным х 1, .... х", а не по независимому переменному t.

Решением	системы	уравнений (1) называется система непрерыв
ных функций	х г =	ср'(0.	1 = 1 ,..., п,	(4)

определенных	на некотором		интервале rl < ^t< ^ri и	удовлетворя
ющих системе	(1). Интервал		называется	интервалом

22	ВВЕДЕНИЕ	[Гл I
определения решения (4) (случаи г, = — оо, гг =		-f- оо не исключаются).

Считается, что система функций (4) удовлетворяет системе уравнений

(1) , если при подстановке в соотношение (1) вместо X х... х п функций (4) соотношения (1) превращаются в тождества по t на всем

интервале rx

t <С гг•

Для возможности этой подстановки необходимо,

чтобы функции (4) имели

производные

в каждой

точке

интервала

г,

чтобы

правые части

уравнений

(1)

были определены

для всех подставляемых в них значений

аргументов.

Таким

образом,

точка с координатами

t, <р* (t),

(t)

должна

принадлежать

множеству Г для всех значений t на

интервале

rl <Ct <

Дадим теперь формулировку теоремы существования и единствен

ности для нормальной

системы

(1).

(Доказательство

будет

приведено

в §

21.)

2. Пусть (1) — нормальная система обыкновенных

Т е о р е м а

дифференциальных уравнений,. Здесь правые

части уравнений

(1)

определены на некотором открытом

множестве Г, а функции

(2)

и (3) непрерывны

на

этом

множестве.

Оказывается,

что

для

каждой точки

tv x l> Xs,, ... ,

х" j

(5)

множества Г существует решение

*'' = <р'(0.

* = 1 .......(6)

системы (1), определенное на некотором

интервале, содержащем

точку tt, и удовлетворяющее условиям:

<Pf0o) =

-*fc

1 = 1 ,..., п.

(7)

Далее,

оказывается,

что

если имеются

два

каких-либо решения

х ‘ =

Ф'(0.

1 = 1 ,...,

п,

•*‘ =

ХЧ0.

1 = \ , . . . , п ,

системы (1),

удовлетворяющих условиям

Ф<(/в) = Х, (^о)= ^ .

1 = \ , . . . , п ,

(9)

причем каждое решение определено на своем собственном ин тервале значений переменного t, содержащем точку 10, то ре

шения эти совпадают всюду, где они оба определены.
Значения		(5) называются начальными для решения			(6), а	соот
ношения	(7)	называются	начальными	условиями для	этого	реше
ния. Мы	будем говорить		в дальнейшем,	что решение (6) имеет на

чальные значения (5) или удовлетворяет начальным условиям (7).

§31 ФОРМУЛИРОВКА ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ 23

Таким образом, теорему существования и единственности для нор мальной системы кратко можно формулировать так:

Каковы бы ни были начальные значения (5), всегда сущест вует решение системы (1) с этими начальными значениями, опре деленное на некотором интервале, содержащем точку t0. Далее, если имеются два решения с одинаковыми начальными значе ниями (5), каждое из которых определено на своем интервале, содержащем 10, то эти решения совпадают на общей части этих интервалов.

Совершенно так же, как в § 2, введем здесь понятие непродолжаемого решения.

А) Пусть

х ' = ?г (0>

1— !,•••,

я,

(1U)

— решение

системы

уравнений

(1),

определеннее

на

интервале

х ‘ = фг (t),

1 =

1 ,...,

п,

(П )

— решение той же

системы

уравнений

(1),

определенное

на

интер

вале

Мы будем говорить, что

решение

(11)

является

продолжением решения (10), если интервал

содержит

интервал

rx< ^t< ^r%(т. е. S y ^ r x, ra^ s . 2) и решение

(10)

совпадает

с решением (11)

на

интервале

rt < ^t< ^rt.

В частности, мы

будем

считать,

что

решение

(11)

является продолжением решения

(10)

в том случае, когда оба решения полностью

совпадают, т.

е.

у, = г1,

ri = si.

Решение

(10)

будем называть непродолжаемым,

если

не

существует никакого отличного от него решения, являющегося его продолжением.

Нетрудно доказать (но это будет сделано позднее, см. § 22, Л)),

что каждое решение может быть продолжено до				непродолжземого
и притом единственным способом.
Формулируем теперь еще одну теорему существования, доказа
тельство которой		будет приведено в § 21.
Т е о р е м а	3.	Пусть
x l =	^	«}(<)./+'(<);	1 = 1 ,..., п,	(12)

— нормальная линейная система уравнений. Здесь коэффициенты

я/(£) и свободные	члены b‘ (t) являются	непрерывными функци
ями независимого переменного I, определенными на некотором
интервале	<7я- Оказывается, что	для любых начальных
значений

U, х\, х \,..., A #

? i < / o O *

(1 3 )

24		ВВЕДЕНИЕ								[Гл. I
существует, решение системы (12) с этими						начальными			значе
ниями, определенное	на в с е м		интервале		qx	t	<?4.
В частности, если	коэффициенты и			свободные члены системы						(12)
определены на всей прямой, т. е. если qx^= — оо,							<?4 = -\|-оо,		то	для
любых начальных значений существует решение						системы		(12),	опре
деленное на всем бесконечном интервале — оо						t -)- оо.
Решения нормальной системы (1) интерпретируются								геометри
чески в виде и н т е г р а л ь н ы х			к р и в ы х		в (п-\- 1)-мерном				прост
ранстве с координатами t,		X х, ..., х п (ср. §			1).	Уравнения интеграль
ной кривой имеют вид:
	*' =	<р'(0.	/ =	1, ....	я,					(14)
где (14) есть решение системы.
Сама система (1)	интерпретируется			с помощью			поля	направлений

в(я -|- 1)-мерном пространстве (ср. § 1).

Пр и м е р ы

1.Решим нормальную линейную систему уравнений

х — — иу ,

J) =

шдг.

(15)

Множеством Г для нее является

все

трехмерное пространство с коор

динатами

t, х , у. Непосредственно

проверяется, что

система

функций

х = схcos (ш( 4- с4),

у — с, sin (cot -f- с4),

(16)

где с,

с4— произвольные

постоянные,

представляет

собой реше

ние системы (15). Для того чтобы показать,

что,

выбирая

надлежа

щим образом постоянные с, и с4,

можно

получить

по формуле

(16)

произвольное решение,

зададимся

начальными

значениями t0,

jc0,

у 0

и покажем,

что среди

решений

(16) имеется решение

с этими

на

чальными

значениями. Мы получаем для постоянных

сх и с4

условия

с, cos (tof0 -f- с4) =

jr0,

ct sin (u>t0-j- c4) =

у й.

(17)

Пусть

ср— полярные

координаты

точки (л;0, ср0),

так

что

лг0 =

р cos ср,

уо = р sin ср.

Тогда

уравнения (17) переписываются

в виде:

С, COS (U)t0-f- С4) =

р COS ср,

С1sin (и)(0-f- с4) =

р sin ср.

Полагая

с, =

р,

с4=

ср— св(0,

мы, очевидно, выполним условия (17). Таким образом, через каждую точку (f0, jc„, у0) проходит решение, задаваемое формулой (16).

5 4 ]	СВЕДЕНИЕ ОБЩЕЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ К гЮРМАЛЬНОЙ									25
В силу теоремы 2 (единственность) формула						(1 ^		охватывает		сово
купность в с е х решений.
2.	Покажем,	что если правые части				(2)	системы		уравнений (1)
k раз	непрерывно дифференцируемы, т. е. имеют							непрерывные		про
изводные порядка		k	(включая	смешанные)		по	всем переменным t,
х 1,	хл, то (A-f-l)-H производная				решения (4)		системы		(1) сущест
вует и	непрерывна.
В самом деле, для			решения	(4)	имеет место		тождество:
	'■(<) = /'( ,		т ч о . ....							(is)

Если правые части (2) имеют непрерывные первые производные, то правая часть тождества (18) имеет непрерывную производную по t, и потому функция (t) существует и непрерывна. Дифференцируя написанное тождество (18) k раз, мы последовательно убедимся в су ществовании и непрерывности всех производных порядков 2, 3 ,..., A-j- 1 функций <р*(0-

§4. Сведение общей системы дифференциальных уравнений

кнормальной

Впредыдущем параграфе была сформулирована теорема суще ствования и единственности для нормальной системы дифференци

альных уравнений. Здесь будет показано, каким образом весьма общие системы дифференциальных уравнений сводятся к нормальным

системам дифференциальных уравнений, и тем			самым будет установ
лена теорема существования и единственности			для этих общих си
стем уравнений.
Дадим	сначала	понятие о системе дифференциальных		уравнений
в общем	виде.	неизвестной функции х
В случае одной			независимого	перемен

ного t обычно рассматривается одно уравнение, которое можно запи

сать в	виде:
	F(t, х, х , ...,		jt(n)) = 0 .		(1)
Здесь	t — независимое	переменное,	х — его	неизвестная	функция, а
F — заданная функция		п -f- 2 переменных.		Функция F	может быть

задана не для всех значений ее аргументов, поэтому говорят об области В задания функции F. Здесь имеется в виду открытое

множество В координатного пространства				размерности п -j- 2, в			ко
тором координатами точки			являются переменные t, х ,		Я,	...,	х {п\
Если максимальный порядок производной,				входящей в	дифференци
альное уравнение, равен и,			то говорят, что имеется уравнение				п-го
порядка.		Решением уравнения (1) называется такая непрерывная функ
ция	jr =	cp(£) независимого	переменного t,	определенная	на	некото
ром	интервале		что при подстановке ее вместо х			в урав

26					ВВЕДЕНИЕ						[Гл I
нение (1)	мы	получаем		тождество		по	t	на интервале
Очевидно,	что	подстановка			х — <f(t)		в	соотношение		(1)	возможна
лишь тогда, когда функция					с р ( ^ ) на	всем		интервале	своего		существо
вания Гх	t	г9	имеет	производные			до	порядка	п	включительно.
Для того	чтобы		подстановка		x — y(t)		в	соотношение (1)			была воз

можна, необходимо также, чтобы точка, имеющая координаты {t, ср (t), <р(0. .... ?(л)(0}> принадлежала множеству В определения функции р

при произвольном t из интервала

rx< ^t<^rs.

Если имеются две неизвестные функции одного независимого

переменного, то

рассматриваются

два

дифференциальных уравнения,

вместе образующих систему уравнений. Система эта

может

быть

записана

в виде:

(2)

Здесь t — независимое

переменное, х

у — две

его

неизвестные

функции,

a F и О— две функции,

каждая

от т ~|- п -f- 3

переменных,

заданные

в некотором

открытом

множестве

В. Если максимальный

порядок

производной функции х,

входящей в

систему (2), равен

т,

а максимальный

ггЪрядок производной

функции

у,

входящей

си

стему (2),

равен п, то число т

называется

порядком

системы

(2)

относительно х,

число

п — порядком

системы (2) относительно у,

а число

т -\-п называется порядком системы (2). Решением си

стемы (2)

называется пара непрерывных функций

x =

y(t)

и y =

ty(t),

заданных

на некотором интервале г,<^<<^г2

обладающих

тем

свойством, что

при

подстановке их в соотношения

(2) мы приходим

к тождествам

по

на всем интервале

г,

^ <d

Как и в случае од

ного уравнения, предполагаются выполненными условия, дающие воз

можность	делать подстановку x — <?(t), y = ty(t) в		систему	(2).
Аналогично определяются		системы дифференциальных		уравнений
с тремя и	большим числом	неизвестных функций	от одного незави

симого переменного. Если неизвестными функциями системы диф


ференциальных уравнений				являются функции х 1,			...,	х п, а	наивыс
ший	порядок		производной		функции	х 1, входящей		в систему, ра
вен	qt,	1 = 1,	... , я, то	число qt		называется	порядком		системы
относительно х ‘, а число				q = q{-f- q^ -(- ... -f-qn называется поряд
ком системы. Таким образом, нормальная система								(1) §	3	имеет
порядок		п.		может быть		разрешено	относительно			х 1"',
Если		соотношение (1)
то уравнение (1) переписывается в виде:
			Xn— f(t,		X, X........ лг(я_1)).					(3)

Точно так же, если система (2) может быть разрешена относительно

« о

СВЕДЕНИЕ ОБЩЕЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ К НОРМАЛЬНОЙ

величин х {т) и У п), то эта система может быть переписана в виде:

x xm)= f ( t ,	х,	х ,	х {т- 1], у, j>,	У "-1)),		)
У(п) — g(t,	х,	х ........ У “"У у, $>...........У " '0)-			J	(4)

Уравнение (3) и система (4) называются разрешенными относитель но высших производных. Аналогично определяются разрешенные от носительно высших производных системы с произвольным числом не известных функций. В частности, нормальная система (1) § 3 является разрешенной относительно высших производных. В дальнейшем мы будем заниматься почти исключительно системами, разрешенными от носительно высших производных.

Покажем теперь, что всякая имеющая порядок п система диффе ренциальных уравнений, разрешенная относительно высших производ ных, сводится к нормальной системе порядка п. Для начала покажем,

как одно уравнение порядка п сводится

к нормальной

системе

по

рядка

п.

А)

Пусть

y {n)— f(t, у,

У ..., У " '0)

(5)

— одно дифференциальное уравнение порядка

п,

разрешенное

отно

сительно

высшей производной.

Здесь

t — независимое

переменное,

у — неизвестная функция переменного t.

Далее, f( t, у,

5>, ...,

Уя_,))

есть заданная функция п-\- 1 переменных t, у, у, ...,

Уя_,),

опреде

ленная

некотором

открытом множестве

координатного

прост

ранства размерности л -f- 1. Относительно функции f ( t ,y ,j >, ... ,

у (я_,))

мы будем предполагать, что она

непрерывна

на

множестве

что

ее частные производные

df(t, у, $........У"-»)

k — 0,

... ,

п — 1

д_у,й’

(где предполагается,

что У 0) = у )

также непрерывны на множестве Г.

Для замены уравнения (5) нормальной системой

уравнений

вводятся

новые неизвестные функции л;1,

х 4, ...,

х п

независимого

перемен

ного t

при помощи

равенств

Xх— у, x 4=j>,

х п = у (п~1\

Оказывается, что уравнение (5) эквивалентно системе

* я ‘= х я,
* n= f ( t ,	х \ X4........	Xя).

(6)

(7)

Из	этого в	силу теоремы 2 следует, что для	каждой	точки	tt,
Уд>	_р0» ...»	jV n"1) множества Г существует	решение	у =	']>(*)

28		ВВЕДЕНИЙ				[Гл. I
уравнения (5), удовлетворяющее начальным условиям
ф<> („)=/*>,			k = 0,	1........ я — I,
или, как говорят,	решение	с накальными			значениями
	^о>	У»'	Ли	Уоп	'*•	(8)
Далее, любые два	решения	с	начальными		значениями	(8) совпада


ют на общей части их интервалов определения.				Если	уравнение (б)
линейно, т. е.	функция /	линейна относительно		переменных у,			j>,
..., У "-0 , а коэффициенты ее определены и			непрерывны			на	интер
вале <?,	10 для	любых начальных	значений		t9,	у 0,	у 0, ...
..., У " -1'. где		имеется решение y =		ty(t),	определенное
на в с е м интервале <71<0		<C9V	системе (7). Допустим,
Докажем, что уравнение (5) эквивалентно
что функция у	удовлетворяет уравнению (5),		и докажем, что функции
х 1, ..., х", определенные		соотношениями (6),	удовлетворяют				систе

ме (7).	Дифференцируя соотношения (6), вводящие новые неиз
вестные	функции	х 1, .... х п, получаем:
		(9)
		( 10)
Заменяя	правые	части соотношений (9) на основе соотношений (6),

а правую часть соотношения (10) на основании уравнения (5), кото рому функция у удовлетворяет, мы получаем систему (7). Допустим,

что, наоборот, функции		х 1, ...,	х п удовлетворяют	системе (7);		при
мем тогда х 1 за у и покажем,			что функция у удовлетворяет уравне
нию (5). Полагая в первом из уравнений системы				(7)	х ‘ = у ,	полу
чаем х 2 =J>.	Заменяя во	втором из уравнений (7)		х 2	через J>,	полу
чаем x 3= jl .	Продолжая	это построение дальше, мы приходим к со

отношениям (6). Наконец, заменяя в последнем из уравнений системы

(7) каждую		функцию х 1, .... х" в силу формул		(6),	получаем	урав
нение (5) для у.			на множестве	Г,	то правые	части
Так	как	функция / определена
системы	(7)	также определены на	множестве Г при		условии замены

координат по формулам (6). Для системы (7) выполнены условия

теоремы 2 на множестве Г.	Таким образом,	можно произвольно
выбрать начальные значения	xj, х*......... x j в	множестве Г. Эти

начальные значения в силу замены (6) превращаются в начальные значения

				t,	То. $ о. •••. Т1ол~1)
для уравнения			(5).
Если		уравнение (5)		линейно, то		система (7) также	линейна. Из
этого	в	силу	теоремы	3	вытекает	заключительная	часть предло
жения	А).

5 41	СВЕДЕНИЕ ОБЩЕЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ К НОРМАЛЬНОЙ	29
	Таким образом, предложение А) доказано.
	Прием, описанный в предложении А), дает возможность	привести

к нормальной системе произвольную систему дифференциальных уравнений, разрешенную относительно высших производных. Для

того

чтобы

не

загромождать

изложения

формулами,

рассмотрим

в нижеследующем предложении Б)

систему

четвертого

порядка,

со

стоящую из двух уравнений.

Б)

Пусть

« = / (t,

и,

й,

v, i>),

)

v — g(t,

и,

v, i))

— система двух уравнений второго

порядка. Здесь

t — независимое

переменное,

а и и v — его неизвестные функции. Сведем систему (11)

к нормальной системе,

введя новые неизвестные функции

лг1,

Xя,

Xх, по

следующим формулам:

Xх= и,

х я — й,

х я = V,

х * — v.

При этой замене

система (11) переходит в систему

JC* = х я,

x %— f( t,

Xх,

Xя, Xя,

x x),

jt3 — Xх,

x* = g(t,

Xх,

Xя, Xя, Xх).

Если предположить, что функции /

и g,

стоящие

правых

частях

уравнений (11), определены в некотором

открытом

множестве

пя

тимерного пространства, где координатами точки служат t, и, й, v, v, причем функции эти непрерывны и имеют непрерывные частные про изводные первого порядка по переменным и, it, v, v, то система (12) нормальна и удовлетворяет условиям теоремы 2 на множестве Г.

Отсюда легко	следует, что для произвольной точки			t0, щ, и0,	щ
множества Г	существует решение	u = <p(t),	v = ty(t)	системы	(11),
удовлетворяющее начальным условиям
	?(*о) = но>	$(<о) = йо-
	Ф(^о) = г’о>	<!'(<o)=	*o-

Кроме того, всякие решения с одинаковыми начальными условиями совпадают на общей части их интервалов существования.

Доказательство предложения	Б) проводится точно так	же, как
и доказательство предложения А).
Если одно уравнение «-го порядка задано в форме
F(t, у, Jr,	.... / я)) = 0,	(13)

не разрешенной относительно высшей производной у<л) неизвестной фун кции, то прежде всего возникает вопрос о возможности разрешения

<<< < Предыдущая 1 23 / 343 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ