книги из ГПНТБ / Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник

£

ся к началу координат, описывая логарифмическую спираль. Это— ус­ тойчивый фокус (рис. 27, а). Если р^>0, то точка уходит от на­ чала координат в бесконечность, и мы имеем неустойчивый фокус (рис. 27, б). Если число р равно нулю, то каждая фазовая траектория, кроме положения равновесия (0, 0), замкнута, и мы имеем так назы­ ваемый центр (рис. 28).

122 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл. 2

равенство jj.= 0 может нарушиться, и центр перейдет в устойчивый или неустойчивый фокус. Включение этого вырожденного случая (центра) в основной текст па­ раграфа объясняется его важ­ ностью. Остальные вырожден­ ные случаи будут рассмотрены

в примерах 1 и 3.

П р и м е р ы

1.

Если матрица А системы (1) имеет лишь одно собственное значение X, то возможны два существенно различных слу­ чая, при описании которых

Существование базиса одного из видов (11), (12) непосредственно вытекает из теоремы 30, но здесь мы докажем этот факт непосред­ ственно. Пусть h 1 — собственный вектор преобразования А и ft2 — произвольный вектор, не коллинеарный вектору Н,. Тогда мы имеем:

Заменяя это уравнение нормальной системой по способу, изложенному в § 4, получаем:

х— у,

у— — Ьх — ау.

Фазовую плоскость системы (17) считают фазовой плоскостью урав­ нения (16). Непосредственно проверяется, что характеристический многочлен системы (17) совпадает с характеристическим многочленом уравнения (16), т. е. равен

Таким образом, если корни многочлена (18) комплексны, то фазовая плоскость уравнения (16) представляет собой фокус или центр. Рас­ смотрим фазовую плоскость в случае действительных различных и отличных от нуля корней многочлена (18).

Пусть X— корень многочлена (18) и h ~ ( h l, h*)— соответствую­ щий ему собственный вектор. Мы имеем тогда (учитывая вид системы

(17))

№ = ХА1.

Таким образом, собственное направление, соответствующее собствен­ ному значению X, определяется прямой линией, имеющей уравнение

у = Хх;

мы будем называть ее собственной прямой.

Если корни X, и Х4 отрицательны, то мы имеем устойчивый узел (см. А)). В этом случае обе собственные прямые проходят во второй и четвертой четвертях; траектории вблизи начала координат касаются той из них, которая расположена ближе к оси абсцисс (рис. 34).

Если корни Xt и Ха положительны, то мы имеем неустойчивый узел (см. А)). Обе собственные прямые проходят в первой и третьей четвертях; вблизи начала координат траектории касаются той из них, которая расположена ближе к оси абсцисс (рис. 35).

мых траектории приближаются к началу координат, а в направлении второй — отходят от него (рис. 36).

§ 16] ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ 127

С л у ч а й I (см. (11), А = 0). Общее решение записывается в виде

(см. (13)):

х = х л.

Этот случай имеет место, если все коэффициенты системы (1) обра­ щаются в нуль; каждая точка плоскости Р является положением равновесия.

Г Л А В А Т Р Е Т Ь Я

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

В этой главе излагается теория линейных уравнений, сперва для нор­ мальной системы п-го порядка, а затем для одного уравнения я-го по­ рядка, причем почти все результаты, относящиеся к одному уравне­ нию, выводятся из соответствующих результатов о нормальной си­ стеме. Третий параграф главы посвящен нормальным линейным одно­ родным системам с периодическими коэффициентами. Главным результатом здесь является теорема Ляпунова о возможности линей­ ным периодическим преобразованием переменных перевести нормаль­ ную систему с периодическими коэффициентами в нормальную систе­ му с постоянными коэффициентами. В дальнейшем этот результат находит важное применение в теории устойчивости. Доказательство его очень просто, но опирается на сравнительно неэлементарную те­ орию функций от матриц. Эта теория, не являющаяся частью теории обыкновенных дифференциальных уравнений, излагается для удобства читателей в добавлении II. Таким образом, третий параграф этой главы (§ 19) является иеэлементарным благодаря используемому в нем мат­ ричному исчислению.

каждое рассматриваемое решение задано на этом интервале и каждое рассматриваемое значение t принадлежит ему.