книги из ГПНТБ / Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник
.pdf130 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл. 3
линейно зависимы, то решения (5) линейно зависимы. Иначе говоря, если система решений (5) линейно независима, то ни при каком значении t векторы (5) не могут быть линейно зависимыми.
Докажем это. Допустим, что векторы (6) линейно зависимы, т. е.
что
с’ф1(£«) -|- ... + crqv (£0) = 0,
где не все числа с1, ..., сг равны нулю. Положим:
<р (0 = с'<р, (£) - f ... + cr(pr (t).
В силу предложения А) векторная функция ср (£) является решением уравнения (3). В силу того же предложения А) эта функция равна тождественно нулю, так как в точке t — t0 она обращается в нуль.
Перейдем теперь к определению важнейшего для однородных линейных систем понятия фундаментальной, системы решений.
В) Система
фД0> фД0> •••> фДО |
(7) |
решений уравнения (3) (здесь п есть порядок системы (2)) называется
фундаментальной системой решений, если она линейно независима
(см. Б)). Оказывается, что а) для уравнения (3) всегда существует
фундаментальная система решений |
и б) если (7) есть |
фундаменталь |
||
ная |
система решений |
уравнения (3), то каждое решение ср (i) уравне |
||
ния |
(3) может быть |
представлено в |
виде: |
|
|
ф (0 = |
с'ф1 (0 + Лф2(0 -р ••• + с"фя ( 0 . |
($) |
|
где с1, ... , сп — надлежащим образом подобранные константы. (Для линейной системы с постоянными коэффициентами фундаментальная система решений была построена в § 14.)
Докажем, прежде всего, что фундаментальная система решений уравнения (3) существует. Пусть
fii, ci-2, . . . , а п
— произвольная система постоянных |
линейно независимых векторов. |
Определим решения (7) начальными условиями |
|
Ф1Ро) == ai' |
I == ь • • • >П’ |
где £0 — некоторое значение t. Так как векторы <pt (£„), Ф* (А),..., ф„ (£„), по предположению, линейно независимы, то, в силу предложения Б), решения (7) также линейно независимы, т. е. составляют фундаменталь ную систему.
Покажем, что каждое решение <р(£) может быть записано в виде
(8). Пусть £0 — некоторое значение времени t; так как решения (7) линейно независимы, то векторы фД^о)........Фл(^о) линейно независимы (см. Б)), а так как число их равно размерности рассматриваемого
5 17] НОРМАЛЬНАЯ СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ 131
векторного пространства, то они составляют его базис, и потому
вектор ф(^0) может |
быть |
записан в |
виде: |
|
|
|
|
|||||
|
|
ф(*о) = |
с1ф1(*о) + - " + |
с“ф»(*»)> |
|
|
|
(9) |
||||
где |
с1, ... , с п — надлежащим |
образом |
выбранные |
числа. |
Решения |
|||||||
ф (0 |
и с’ф, (t) -|- ...-}- cn(fn(t) |
имеют |
общее начальное |
условие |
||||||||
(см. |
(9)) |
и потому |
совпадают, |
|
так |
что |
имеет место равенство (8). |
|||||
Перейдем теперь к координатному описанию полученных |
фактов |
|||||||||||
и к установлению некоторых других результатов. |
|
|
|
|
||||||||
Г) Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ф 1 ( 0 . - - - > |
ф » ( 0 |
|
|
|
|
0 ° ) |
||
— некоторая система решений |
уравнения |
(3). Решение |
фА(0 |
в коор |
||||||||
динатной |
форме запишем, |
положив |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Фа(0 = |
(?* (0. |
(0> |
(0)- |
|
|
|
|
||
Составим |
теперь матрицу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
/?!(0 ••• |
?И 0 |
••• |
?А(0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
? ; ( 0 . . . |
< р Н 0 |
• • • |
? п ( 0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
\?i (0 - |
п |
(0 |
••• |
?"(0 |
|
|
|
|
|
й-м столбцом которой служит решение ф*(0 системы |
(2) или, |
точ |
||||||||||
нее, |
его |
координаты. Детерминант |
этой |
матрицы |
обозначим |
через |
||||||
W'(f); он называется детерминантом Вронского системы решений (10).
Очевидно, |
что |
если |
решения (10) линейно независимы, то детерминант |
|||||
Вронского |
W (t) не обращается в нуль ни при |
одном |
значении |
t, |
||||
в этом случае система (10) является |
фундаментальной |
системой |
ре |
|||||
шений. Далее, |
если |
система (10) линейно зависима, |
то |
детерминант |
||||
Вронского тождественно равен нулю. |
В случае, |
когда |
система (10) |
|||||
является фундаментальной, мы будем |
называть матрицу |
(11) фунда |
||||||
ментальной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Докажем теперь, что произвольно заданная квадратная матрица |
||||||||
порядка п, |
составленная из функций |
переменного |
t и |
удовлетворя |
||||
ющая некоторым естественным условиям, является фундаментальной
для |
некоторой |
системы |
уравнений |
|
вида |
(2). |
|
|
|
|
|||
|
Д) Будем считать, что матрица (11) есть произвольно заданная |
||||||||||||
матрица |
функций переменного |
t, |
непрерывно |
дифференцируемых |
|||||||||
ча |
интервале <7i<^<\<7^> с детерминантом, нигде |
не обращающимся |
|||||||||||
п нуль на этом интервале. Оказывается, |
что |
эта |
матрица |
(11) |
явля |
||||||||
ется |
фундаментальной |
для некоторой |
(одпой-едннственной) |
систе |
|||||||||
мы (2), |
определенной на |
интервале |
qx |
|
|
|
|
|
|||||
|
Для |
доказательства |
|
этого запишем |
в формулах предположение, |
||||||||
что |
|
векторная |
функция |
ф/( (t), |
координаты |
которой |
составляют |
||||||
|
5* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
135 |
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ |
[Гл. 3 |
|||
А’-й |
столбец |
матрицы (11), является |
решением |
уравнения (3). Мы |
|
имеем |
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ti( ') = lX ( 0 < p i( 0 > |
= |
|
(12) |
Если |
в этом |
соотношении зафиксировать индекс |
I, а считать |
меня |
|
ющимся только индекс k, то систему полученных соотношений можно рассматривать как систему линейных алгебраических уравнений отно
сительно неизвестных |
a‘n (t). Система |
эта однозначно раз |
|
решима, так как матрица ее |
получается из матрицы (11) транспони |
||
рованием' и потому |
детерминант ее отличен от нуля. Таким образом, |
||
функции а) (t) при |
каждом |
фиксированном i |
однозначно находятся |
из соотнгшений (12), и притом оказываются непрерывными функ циями, так как функции ф* (i) и ®i(0 непрерывны.
Ф о р м у л а Л и у и и л л я
При доказательстве предложения Ж) нам понадобится правило дифференцирования детерминанта. Дадим его здесь.
Е) Пусть (срj (/)) — квадратная матрица порядка я, элементы кото рой являются дифференцируемыми функциями переменного t, и пусть
W (i)-- детерминант этой матрицы. Производную W(t) этого детер минанта можно вычислять по следующей формуле:
= |
+ |
(13) |
Слагаемое №; (0> стоящее |
на г-м месте |
в правой части равенства, |
определяется следующим образом. В матрице (<р‘ (t)) дифференцируют по t все члены i-i\ строки, а остальные строки оставляют без измене
ния; |
детерминант полученной матрицы и есть |
(t). Очевидно, |
что |
||||
роли |
строк и столбцов можно поменять. |
|
|
|
|
||
|
Для доказательства формулы (13) рассмотрим сперва детерминант |
||||||
U |
квадратной матрицы (и}) порядка я, как |
функцию всех |
элементов |
||||
и ‘ |
(i, j = |
l, ...) я, этой матрицы, считая, |
что |
элементы |
эти |
явля |
|
ются |
независимыми переменными. Вычислим частную производную |
||||||
|
|
|
dU |
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
функции |
U по переменному и'\ здесь г и д |
фиксированы. Алгебраи |
|||||
ческое дополнение элемента и) в матрице (и)) |
обозначим |
через |
Vj, |
||||
так |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(14) |
|
|
|
i |
|
|
|
|
§ 171 |
|
НОРМАЛЬНАЯ СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ |
133 |
||||||
Формула |
эта дает |
разложение |
детерминанта |
U |
по |
элементам |
г-й |
||
строки. Алгебраическое дополнение vl не зависит |
от переменного urs |
||||||||
и потому, |
дифференцируя равенство (14) по u sr , получаем: |
|
|||||||
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
(15) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
положить |
— |
то мы имеем ( J = W ( t) . |
Дифференцируя |
|||||
W (t) |
как |
сложную |
функцию, |
мы получаем |
в |
силу формулы |
(15): |
||
|
|
|
dUI |
п |
п |
|
|
||
|
W(t) = |
y j ¥j{t)v{ |
|
|
|
|
|||
|
V |
r 4 Jt {t) = |
|
|
|
|
|||
Так |
как, |
|
<•i да |
i |
|
|
|
|
|
очевидно, |
|
|
|
|
|
|
|||
ЛШJ 1
/= 1
то формула (13) доказана.
Перейдем теперь к доказательству так называемой формулы
Лиувилля. |
W (t) — детерминант |
Вронского |
фундаментальной |
|
Ж) |
Пусть |
|||
системы |
решений |
уравнений (2); тогда |
имеет место |
формула |
|
|
W ( t ) = W ( t 0)e |
Р (Т)Л |
(16) |
|
|
° |
|
|
где S(t) — след (т. е. сумма диагональных членов) матрицы A{t)
s(9=«;(*) 4 - « |
н о ( о - |
|
Для доказательства формулы |
(16) |
введем дифференциальное |
уравнение, которому удовлетворяет детерминант Вронского. |
||
Вычислим производную W(t) |
этого |
детерминанта, пользуясь |
формулой (13). Для того чтобы провести вычисления более обо
зримым образом, будем считать строки матрицы |
(И ) векторами, |
|||
именно положим: |
|
|
|
|
х Ч 0 = (« р 1'(0 . — |
(0). |
/ = 1 , ...,«• |
|
|
Соотношение (12) можно теперь записать |
в |
виде: |
|
|
Х‘ (0 = а[ (О X1(0 + |
•••+ |
а‘п(0 X" (0- |
(17) |
|
Соотношение это показывает, что производная г-й |
строки матрицы |
|||
(11) является линейной комбинацией строк |
той же |
матрицы. Таким |
||
образом, при вычислении детерминанта Wt (t) мы должны i-ю строку
детерминанта W(t) заменить |
линейной комбинацией (17) строк |
того |
|||
же детерминанта. |
Так как |
от |
прибавления |
кратных других |
строк |
к данной строке |
детерминант |
не меняется, |
то детерминант |
№',-(<) |
|
134 |
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл. 3 |
|
получается из |
детерминанта |
W(t) умножением его г-й строки на |
|
ai(^), |
и потому |
мы имеем: |
|
Wi {t) = a‘i {t)W{t).
Таким образом, в силу формулы (13) получаем:
W(t) = S(t)W(t).
Единственным решением этого уравнения с начальным условием
является (16). Таким образом, формула Лиувилля доказана.
Ме т о д в а р и а ц и и п о с т о я н н ы х
Перейдем теперь к изучению неоднородных систем. Пусть
y = A{t)y - \- b(t) |
(18) |
— векторная запись неоднородной системы (1) и пусть у; = ф (£)— некоторое решение этого уравнения. Наряду с уравнением (18) рас смотрим соответствующее однородное уравнение (3). Из замечаний § 6 непосредственно следует, что произвольное решение уравнения
(18)может быть записано в виде:
у= ф (;)-|-ф (г),
где ф (0 есть произвольное решение уравнения (3).
Таким образом, решение неоднородного уравнения (18) сводится к решению однородного и к отысканию частного решения неодно родного уравнения. Покажем, каким образом, зная фундаментальную систему решений однородного уравнения (3), можно (при помощи квадратур) найти частное решение неоднородного уравнения.
3) (Метод вариации постоянных.) Пусть
ф i( t ) , •••> <Р,г(0 |
|
|
■— фундаментальная система решений |
однородного |
уравнения (3). Бу |
дем искать решение уравнения (18) |
в виде: |
|
у — с1(0 ф1 (0 + . . . |
+ С" (0 ф„ (0. |
(19) |
где |
коэффициентами являются неизвестные |
функции от t. Подставляя |
|
это |
значение у в уравнение (18), получаем: |
|
|
с' (0 Чч (0 4~ ... ■+ с" (<) ф„ (/) + И (0 Ф, (0 + |
••. + |
*" (0 Ч>„ (0 = |
|
|
= А (0 (с1(0 % (0 + . . . + |
С- (0 ч>„ (<)) + ь ((), |
|
§ 17! |
НОРМАЛЬНАЯ СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ |
135 |
откуда, |
принимая во внимание, что (t), ..., (pn (t) — решения |
урав |
нения (3), получаем: |
|
|
|
с1(О <Pi (О + • • • + с" (О 4>п (О — Ъ(0- |
(20) |
Так какфг(t),..., q>n(t) — линейно независимые векторы в каждой точке t, то из соотношения (20) величины с1(t), ..., cn(t) определяются одно
значно, и потому величины |
|
cn(t) можно найти |
при помощи |
||||||
квадратур. Уравнение (20) относительно |
с1(t),..., |
cn(t), |
записанное в |
||||||
координатной |
форме, имеет вид |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 < p '( O c '( o = m |
|
i — i , . . . , |
п. |
|
(2i) |
||
|
|
/-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
И) Пусть Ф (О = |
(ср* (0 )— фундаментальная матрица уравнения |
(3), |
||||||
обращающаяся |
при t = ta в единичную |
матрицу. |
Тогда |
решение |
не |
||||
однородного уравнения (18) с начальными значениями £0, |
записывает |
||||||||
ся |
в виде: |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у = Ф(ОСУо + |
$ ф-1(^(О Л )> |
|
|
(22) |
|||
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
где |
Ф~' (0 — матрица, обратная |
матрице |
Ф (t). |
|
|
|
|||
|
Непосредственно |
проверяется, что |
при t = t0 формула (22) |
дает |
|||||
у — у 0. Точно |
так же можно было |
бы |
непосредственной подстанов |
||||||
кой в уравнение (18) |
проверить, |
что |
формула (22) дает решение урав |
||||||
нения (18). Можно также вывести формулу (22) методом вариации
постоянных. В самом деле, |
формула(21)в |
векторной форме перепи |
|||||||||
сывается |
следующим |
образом: |
|
|
|
|
|
||||
Отсюда |
находим: |
Ф(0 |
с (0 = |
6(0. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
с (0 = |
Ф-» (О Ь (0, |
или с (0 = |
^ Ф~' (0 Ь (() dt. |
(23) |
|||||
Далее, |
формула (19) |
может |
быть переписана |
в виде: |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У (о = = S ? j ( o ^ '( o . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
/=1 |
|
|
|
|
|
|
или в |
векторной форме |
_у = |
Ф (0 с(0- |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставляя |
в |
эту |
формулу |
значение |
c{t) |
из соотношения |
(23), |
||||
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
у = ф (0 |
5 Ф-1 (0 |
b{t)dt. |
(24) |
|||
Таким |
образом, формула (24) |
(а потому |
и |
формула (22), являющаяся |
|||||||
ее частным |
случаем) |
дает решение уравнения (18). |
|
||||||||
130 |
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ |
[Гл. 8 |
||||
М а т р и ч н а я з а п и с ь с и с т е м л и н е й н ых у р а в н е н и й |
||||||
В ряде случаев удобно бывает |
записывать уравнение (3) |
в |
м а т- |
|||
р и ч н о й ф о р м е , при которой |
неизвестной |
величиной |
является |
|||
фундаментальная матрица уравнения (3). Дадим |
здесь |
эту запись. |
||||
К) |
Пусть (7) — фундаментальная |
система решений |
уравнения |
(3); |
||
тогда |
|
|
|
|
|
|
vа[ (0 ?;со-
1а = 1
Вматричной форме эго соотношение принимает вид:
|
|
|
Ф ( 0 |
= Л ( 0 Ф (0 . |
|
(25) |
|
где Ф(1)— производная фундаментальной |
матрицы Ф (0 = |
('-р/(0) |
п0 |
||||
времени t, |
т. е. Ф(^) = |
(©у'(<)). |
Таким образом, фундаментальная |
мат |
|||
рица |
Ф (0 |
уравнения (3) удовлетворяет |
матричному уравнению |
(25); |
|||
более того, каждое решение матричного уравнения |
|
|
|||||
|
|
|
X = A ( t ) A', |
|
|
(2G) |
|
где |
X — неизвестная |
матрица, |
является |
фундаментальной |
матрицей |
||
уравнения |
(3), если только детерминант |
матрицы X отличен от |
пуля. |
||||
В дальнейшем под решением уравнения (26) будем подразумевать лишь такую матрицу А', удовлетворяющую уравнению (26), детер минант которой отличен от нуля. Очевидно, что отыскание одного решения матричного уравнения (26) равносильно отысканию всех ре-,
шений уравнения (3). Отметим, что если А Г=Ф (0 и А = Ф (t) — два решения матричного уравнения (26), то существует такая постоянная матрица Р, что
|
Ф(*) = Ф(*)/>■ |
|
|
(27) |
|
Докажем последнее соотношение. Пусть |
|
|
|||
ф (0 = (? '(< » . |
Ф (0 = |
(?/(<))> |
|
||
% (О= ( ? } ( О |
, <р? (О). |
% ( 0 |
= |
(ф.) (0............ (0); |
|
тогда |
|
|
|
|
|
|
<М0. • • •> «р„(0 |
|
(28) |
||
есть фундаментальная система решений уравнения |
(3), а так как |
||||
(\>,(t) также есть решение уравнения (3), то |
оно может быть выра-.. |
||||
жено через фундаментальную систему (2S), |
так что |
мы имеем: |
|||
4 Д 0 = ^ /'" Ч « ( 0 - «=1
I 1T1 |
НОРМАЛЬНАЯ СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ |
137 |
Переписывая эго соотношение в скалярной форме, получаем:
У, |
<29> |
|
а=1 |
Соотношение (27) представляет собой матричную запись соотноше
ния (29) при P = (plj). |
|
векторное неизвестное у |
|
|||||
Л) В уравнении |
(3) введем новое |
при |
||||||
помощи преобразования |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
y = S (t)x , |
|
|
|
(30) |
||
где S (/) = |
(sj (0) — невырожденная |
матрица, зависящая от /. |
Урав |
|||||
нение для |
новой неизвестной векторной функции у |
имеет |
вид: |
|
|
|||
|
^ = (5'(/) + 5 (/)Л (0 )5 -1(0 у, |
|
|
|
(30 |
|||
т. е- вновь |
является |
уравнением типа |
(3).Преобразованию |
(30) |
|
век |
||
торного переменного соответствует |
преобразование |
|
|
|
|
|||
|
|
Y — S ( t ) X |
|
|
|
(32) |
||
матричного переменного (см. К)). |
для неизвестного у. |
Мы |
имеем; |
|||||
Выведем сначала уравнение (31) |
||||||||
i> = 4 r (S (t)x ) = s ( i ) x + S ( t ) i = |
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
(5 (0 -\- S (t) A (t)) X — (S(t) |
S (/) A ( t ) ) S ' |
(t)y . |
||||
Для того чтобы установить, что преобразованию (30) векторного неизвестного соответствует преобразование (32) матричного неиз вестного, перепишем преобразование (30) в скалярной форме
|
|
|
/ = |
-*“• |
|
|
|
|
|
а = 1 |
|
Вектору |
q>y(/) = |
(cp! (/), |
... , »".(/)) фундаментальной системы |
уравне |
|
ния (3) |
преобразование |
(30) |
ставит в соответствие вектор |
ф /0 — |
|
= (ф] (/), |
.. *’) fj |
(/)) по формуле |
|
||
|
|
|
ф'(0 = |
Е |
|
|
|
|
|
а=1 |
|
Таким образом, фундаментальной матрице Ф(/) уравнения (3) соот
ветствует |
фундаментальная матрица Чг(<) уравнения (31) по |
формуле |
|
|
W(0 = |
<S(0‘I‘(0. |
|
а это и |
значит, что матричное |
неизвестное преобразуется |
по фор |
муле (32). |
|
|
|
138 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл. 3
П р и м е р
Из предложения В) видно, что для нахождения всех решений уравнения (3) достаточно найти его фундаментальную систему реше ний, т. е. п линейно независимых решений. Покажем, что, зная одно нетривиальное решение системы (2), можно на единицу снизить поря док системы (2), т. е. свести ее к решению линейной системы по рядка п — 1.
Пусть
Ф(0 = (?*(*)........ 9" (0)
—решение уравнения (3) или, что то же, системы (2). Будем искать решение уравнения (3) в виде:
|
|
|
|
л; = иф ( |
|
( |
) |
- |
] |
- |
( 3 |
3 |
) |
|
где и — неизвестная |
функция, а у — неизвестный вектор, о котором |
|||||||||||||
мы будем предполагать, |
что |
первая |
его компонента равна нулю: |
|
||||||||||
|
|
|
|
у = |
Ф У , .... У ) . |
|
|
|
|
|
|
|||
Подстановка |
вектора |
х |
из формулы |
(33) |
в уравнение (3) |
дает |
|
|||||||
|
пф (0 + |
Уф(t) -\-у = |
А (I) («ф (0 -f.y). |
|
|
|
||||||||
Учитывая тот |
факт, что |
ф (t) есть решение |
уравнения |
(3), |
получаем |
|||||||||
отсюда |
|
|
|
и ф (t) -\-у = |
A(t)y. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Выпишем это уравнение в координатной |
форме, |
выделив |
при |
этом |
||||||||||
первое из получаемых уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
* V |
( o = i x ( o |
у> |
|
|
|
|
|
(34) |
||
|
|
п |
|
|
/=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;> ' = |
E |
e' ( 0 / — »V (0. |
^ — 2, |
|
п. |
|
|
(35) |
||||||
|
|
У—2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определяя h |
из |
уравнения (34) и |
подставляя |
полученное |
значение |
|||||||||
в соотношения (35), |
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
У = У > ] ( 0 / , |
|
tz=2,..,,n, |
|
|
|
(36) |
||||||
где |
|
|
|
У=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*; <()=»; (() — |
|
|
(О- |
|
|
|
|
|
|||
Следует помнить, что подстановка значения м из (34) в (35) возможна
лишь |
на том интервале, где функция <pt (t) не обращается |
в нуль. |
Если |
теперь ф(У) = {<р(t), .... У (0} — какое-либо решение |
системы |
S 18] |
|
ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ л-го ПОРЯДКА |
139 |
||
(36), |
то, определяя функцию и |
из соотношения |
|
||
|
|
Щх(0 = |
2 а) (0 <(/ (О |
|
|
|
|
|
/=2 |
|
|
при |
помощи |
квадратуры, получаем |
решение исходной |
системы (2) |
|
в виде: |
х = Иф (0 |
ф (t). |
|
||
|
|
|
|||
§ 18. Линейное уравнение л-го порядка
Здесь будет рассмотрено линейное уравнение порядка п:
у {п) + |
«1 |
+ |
... + |
<*„ (t)y = ь (0, |
(1) |
|
коэффициенты at (t) |
и свободный |
член |
b (t) |
которого мы будем |
пред |
|
полагать определенными и |
непрерывными |
на интервале qt <^t <^qb |
||||
Исследование уравнения (1) будет производиться здесь путем его сведения к нормальной системе линейных уравнений по методу, ука
занному в § |
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф у н д а м е н т а л ь н а я с и с т е м а р е ш е н и й |
|
||||||
|
А) Для сведения уравнения (1) к |
нормальной |
линейной |
система |
||||
введем новые неизвестные функции |
|
|
|
|
|
|||
|
|
x l — y, |
x*=j>, ... , |
х п= У я_1). |
|
|
||
Эти |
новые неизвестные |
функции х 1, |
... ,х" |
удовлетворяют |
линейной |
|||
системе (см. § 4, А)): |
|
|
|
|
|
|
||
|
х 1— х'1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
х 2 = |
х 3, |
|
|
|
|
|
|
|
х" 1= х", |
|
|
|
|
|
|
|
|
х п = |
— ап (t) х ' — а„_, (I) х а |
|
... |
а.\ (t) х п - f Ъ {i). |
, |
||
Полученную |
систему в векторной форме запишем |
в виде: |
|
|||||
|
|
|
k = A ( t ) x |
+ |
b{t), |
|
|
(2) |
где |
матрица |
А (t) имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
0 |
... |
° \ |
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
— ап (0 |
— "/.1 (0 |
|
(0 |
... — вд(0 / |
|
|