Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

11.65 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3416 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

150 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [Гл. S

рассматриваемые как уравнения с периодом 2т, эквивалентны. Дей ствительно, матрица etв^ является решением уравнения (11). Таким образом, если уравнение (11) рассматривать как уравнение с пери одическими коэффициентами периода 2т, то основная матрица реше ния Y = e tBi есть С2. Так как основные матрицы рассматриваемых решений уравнений (1) и (11) (см. (10)) совпадают, то эти уравнения

эквивалентны.
Итак, теорема 12 доказана.					матрица порядка п, моду
Г) Пусть С — произвольная				квадратная	матрица порядка п, моду
ли всех	собственных		значений	которой меньше		некоторого положи
тельного	числа р. Элементы матрицы С'71, где т — натуральное число,
обозначим через тс), так что				C n = ( nclj).	Тогда существует такое
положительное число г, не зависящее от i, j, т, что
			\mc ) \ < r ? m.				(12)
Отсюда,	в частности, следует, что для				произвольного		вектора	х
имеет место неравенство
			\| Стх \| sg; /rVPm \| х \|.				(13)
Для доказательства оценки				(12) рассмотрим		ряд
		/ » = 1+ у + ± ¥ -+ . . .			+
радиус	сходимости		которого,	очевидно,	равен	р. Из	теоремы	29
(см. § 35)		следует, что матричный ряд
		/ ( Q = E + -£- + - £ + . . .
сходится	и,	в частности, сходится числовой ряд

Так как ряд этот сходится, то все его члены не превосходят некоторого числа г, причем число г можно выбрать общим для всех пар чисел (I, j). Таким образом, оценка (12) имеет место.

Д) Пусть

ic — A (t)x	(14)
— векторная запись матричного уравнения	(1) и С — основная

матрица некоторого решения Ф(t) уравнения (1). Собственное

значение X кратности /г матрицы	С называется		характеристиче
ским числом кратности /г уравнения (1)		и уравнения		(14). Так
как с точностью до трансформации	матрица	С не	зависит	от слу

чайности выбора решения Ф(^) уравнения (1) (см. А)), то харак

теристические числа	уравнения	(14) и их кратности определены
здесь инвариантно.	Если X есть	характеристическое число краг-

§ 19]	СИСТЕМА С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ		151
пости k	уравнения (14), то число	— In X называется характеристи
ческим	показателем кратности	k уравнения (14). Допустим,	что
все действительные части характеристических показателей уравнения

(14) меньше некоторого числа -у; тогда существует такое положи

тельное число R, что для

всякого

решения

ф(^)

уравнения

(14)

имеет

место

оценка

I ф (0 1

1ф (0) Iе^‘

ПРИ

(15)

Докажем

неравенство

(15). Пусть

Ф(<) — решение

уравнения

(1)

с начальным

условием

Ф(0) = £;

тогда любое решение ф(^) уравне

ния (14)

записывается

виде:

<р(0=ф(0ч>(0).

(16)

Это

проверяется подстановкой

вектора

(16)

уравнение

(14).

мы имеем:

Ф(*-}-т) = Ф (0 С,

Ф(f -(- 2т) =

Ф (t) CJ...........Ф 0 +

/ит) =

= ФЦ)Ст____

(17)

Так как

на

отрезке

элементы матрицы Ф(^) ограни

чены,

то

существует такое

положительное

число

о,

что

| Ф (£,) X |

а | лг|

при

-с.

(18)

Так как, далее, все собственные значения матрицы С по модулю

меньше числа етт, то					в силу	(13) для	произвольного	вектора х
имеет	место		оценка		\| Стх \| <	д'2гетя,т \| х \|.		(19)

Пусть	теперь t — произвольное					положительное число; найдем тогда
такое целое			неотрицательное число т, что
				t — т-с -J- ty,		0 «g ty <[ т.
В силу (16)			и (17) мы имеем:
			Ф (0 =		Ф(/их + ty) ф (0) =		Ф {ty) Стф (0).
Отсюда		согласно (18)			и (19) получаем:
					\|ф ( 0 \|^ о л 4г ^ т 'г\|ф(0)!.
Так как		число е'*1		при		не меньше некоторой		константы
с > 0 ,	то последнее			неравенство		можно записать в виде:
					Iф(01	eV Iф(6)I-

Таким образом, оценка (15) доказана.

ГЛАВА ЧЕТВЕР ТАЯ ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ

Здесь в первую очередь доказываются уже формулированные ранее теоремы 1, 2, 3 существования и единственности. Далее, рас сматривается вопрос о зависимости решения от начальных значений и параметров, если последние входят в уравнения. В первую оче редь разбирается зависимость решения с фиксированными начальными значениями от параметров, а затем весьма простым приемом началь ные значения превращаются в параметры, и, таким образом, дело сводится к вопросу о зависимости решения от параметров. Как в случае начальных значений, так и в случае параметров доказы ваются непрерывная зависимость решения от этих переменных и диф ференцируемость решения по ним.

В том и другом случае здесь приводятся только так называемые интегральные теоремы, а нередко упоминаемые в учебниках «локаль ные» теоремы вообще не приведены. Объясняется это тем, что как в самой теории, так и в ее приложениях важны именно ин т е т р а д ь - ные теоремы; локальные же теоремы в лучшем случае служат средст вом доказательства интегральных и не заслуживают специального внимания. Слово «интегральные», употребленное здесь, никакого отношения к операции интегрирования не имеет. Оно означает лишь, что решения рассматриваются не на малых интервалах времени, а «интегрально», «в целом», т.е. рассматриваются н е п р о д о л ж а е м ы е решения (см. § 3, А)). В связи с этим изучению непродолжаемых ре шений посвящен здесь специальный параграф (§ 22).

Кроме этого материала, в настоящую главу включен параграф о первых интегралах системы обыкновенных дифференциальных урав нений и примыкающее к понятию первого интеграла исследование лицейного уравнения в частных производных. Результаты этого па

раграфа в дальнейшем			изложении	нигде не используются.
§ 20.	Доказательство		теоремы	существования и единственности
			для одного уравнения
В	этом параграфе будет дано доказательство сформулированной
в § 1	теоремы	1 существования		и единственности для одного урав
нения	первого	порядка

* = / { * , х),

(1)

5 201 СЛУЧАЙ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ 153

правая часть которого определена и непрерывна вместе со своей


частной	производной				^	на некотором открытом		множестве	Г пло
скости	Р	переменных			t,	х. Доказательство теоремы 2, приводимое
в следующем			параграфе,			представляет собой усложнение доказатель
ства теоремы			1 и	содержит его			как частный случай. Приводя дока
зательство		сначала		для		случая	одного уравнения, я имею целью
выявить	основные			идеи		этого	доказательства,	которые в	общем

случае загромождаются второстепенными деталями. Доказательство теорем 1 и 2 проводится в этой книге методом последователь ных приближений, принадлежащим Пикару и применяемым в анализе при. доказательстве многих теорем существования. Этот метод яв ляется одновременно методом приближенного вычисления решения и потому имеет большую практическую ценность. В некоторых случаях метод последовательных приближений может быть истолкован как метод сжатых отображений. Здесь я провожу доказательство таким образом, чтобы показать близость этих двух методов. Различие

же этих методов выявится	при доказательстве теоремы 3.
О с н о в н ы е	иде и д о к а з а т е л ь с т в а

Первым шагом при доказательстве теоремы 1 методом последо вательных приближений является переход от дифференциального урав

нения	к интегральному,		который		мы формулируем в виде отдель
ного	предложения.
А) Пусть x =		y(t) — некоторое решение уравнения (1), определен
ное на интервале		П < 0 < С г«> так		410 выполнено			тождество
и пусть					?(0).				(2)
и пусть
			<р(<„)== х«						(3)
— некоторое начальное			условие,	которому		это	решение	удовлетво
ряет.	Оказывается, что		тогда для		функции	ср(/) на всем		интервале
Г \|< ^ < > 2 выполнено интегральное					тождество
				/
		<р(0 = -*о +		\ ' / ( т-					(4)
			и
Обратно, если для некоторой непрерывной функции <р(/)								па	интер
вале	выполнено тождество (4), то					функция х =		?(0	диф

ференцируема, является решением уравнения (1) и удовлетворяет начальному условию (3). Кратко говоря, интегральное уравнение ‘(4) э к в и в а л е н т н о дифференциальному уравнению (2) вместе с началь ным условием (3).

154		ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ			[Гл. 4
Докажем это. Допустим сначала, что выполнено соотношение (4).
Заменяя в	нем	переменное t	его	значением t0,	получаем: <р(£0) =	лг0.
Таким образом,		из (4) вытекает (3). Далее, правая часть тождества				(4)
очевидно	дифференцируема		по	t, а потому	дифференцируема	по

t и левая его часть. В результате дифференцирования тождества (4), получаем тождество (2).

Допустим теперь, что выполнены соотношения (2) и (3). Инте

грируя соотношение (2) в	пределах от	70 до	t, получаем:
	t		dx.
?(0 —	= $/('>	?<»)	dx.
	to

Всилу соотношения (3) из последнего равенства получаем (4). Таким образом, предложение А) доказано.

Введем теперь некоторые обозначения, используемые ниже при до

казательстве теоремы					1.					функция, определенная
Б) Пусть			лг=	(р (t) — такая непрерывная
на некотором			отрезке		rxsc: t		г2,	что	ее график целиком		располо
жен	в	открытом		множестве			Г,	и t0— некоторая точка			отрезка
г , ^ <	^ г 2. Тогда,			пользуясь			правой частью тождества (4), можно
функции <р(0 поставить						в соответствие функцию ср* (t), определенную
также	на отрезке			Гу	t	г2,	при	помощи равенства
								t
					cp*(f) =		x 0-f-$/(T, '~0{x))dx				(5)
								to
(график		функции		<р* (0,		конечно,		уже	может	не проходить в мно

жестве Г). Таким образом, правую часть тождества (4) можно рассматри вать как о п е р а т о р , ставящий в соответствие функции ср функцию ср*.

Обозначая этот оператор одной		буквой А, мы	запишем соотноше
ние (5)	в виде формулы
	ср* =	,4ср.	(б)
Пользуясь оператором А, интегральное уравнение			(4) можно записать
в виде:	ср =	Дер.	(7)
	ср =	Дер.	(7)

В) Пусть ср (t) — некоторая непрерывная функция, определенная на отрезке гу Нормой ||ер|| этой функции называется макси мум ее модуля

		\|\|ср\|\|= max \|ср(01.
		ry?~tzZr3
Если	t\|>(f)	и i(t) — две непрерывные функции, заданные на отрезке
r	i	то норма \|\|ф — х1 их разности ф(0 — х (0 является не

§ 2 0 ] СЛУЧАЙ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ 155

отрицательным числом, оценивающим, насколько сильно отличаются


эти функции друг от друга. Если			число \|\|ф— Х\|\| мало,		то функции
ф и у «близки» друг	к другу. Равенство			\|\|ф— у\|\| = 0	имеет место
тогда и только тогда, когда		функции ф и		у тождественно		совпадают.
Пользуясь понятием	нормы,	легко	можно	формулировать		известное

из курса анализа условие равномерной сходимости последователь

ности	непрерывных функций. Пусть
			? « ( 0 . ?1(0< . . . .				«Pi( 0 . . . .		^		(8 )
— последовательность непрерывных						функций,			заданных	на	отрезке ,
г1 <сс t	г2* Последовательность				(8)	равномерно			сходится	к функции
с?, определенной на том же отрезке						/у ^		t sg; г2,	если
				lim I ср — cp; \|\|= 0 .
				i-*со
Для того, чтобы последовательность (8)							равномерно сходилась,				доста
точно,	чтобы	имели место		неравенства
				l l ' f i +	i —	9	,
где числа о0, аи			... , а;, ... образуют сходящийся ряд.
Прежде		чем	перейти	к детальному				проведению доказательства

теоремы 1, изложим кратко суть метода последовательных прибли жений, применяемого для решения уравнения (7). Строится после довательность

9 о . ? i• .• • .	9<>• • •
непрерывных функций, определенных на некотором отрезке
sc:r2, который содержит внутри себя	точку t0. Каждая функция по

следовательности (9) определяется через предыдущую при помощи равенства

?;+1— A?i>

i — 0,

2, ...

(10)

Если график функции <рг

проходит

множестве Г, то

функция

<рг+1

равенством (10) определяется,

но для

того,

чтобы могла быть опре

делена

функция

<р;+8, нужно,

чтобы и график функции

?i+i проходил в множестве Г.

Этого, как мы покажем, удается до

стичь,

выбрав отрезок

достаточно коротким. Далее, также

за счет уменьшения длины отрезка

г, ^

t ^

гг, можно достичь того,

чтобы

для последовательности

(9)

выполнялись неравенства

1 9 , 4 1

— I

I * = I 1> 2> -

• • • .

( п )

где 0 < ^ £ < Ч .

Из

неравенств

(И )

следуют

неравенства

II9

, 4 1

—

9 ; 1

А—‘ >

, . . . .

и, таким образом, последовательность (9) равномерно сходится (см. В)).

156 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ [Гл. 4

Далее уже легко устанавливается, что предел ф последовательности (9)

удовлетворяет уравнению (7).			•
Ту же конструкцию можно описать несколько				иным способом —
— в форме метода сжатых		отображений. Выберем		некоторое семей
ство 2 функций, заданных		на отрезке		(причем / т < ^ 0<^
< V 2), так,	чтобы графики	этих	функций проходили в множестве Г.
Допустим	еще, что в отношении		оператора А семейство 2 удовлет

воряет следующим двум условиям: 1) применяя оператор А к любой

функции

семейства

мы вновь получаем

функцию

семейства

существует такое

число

к,

0<^/г<^1, что для двух про

извольных функций

и £

се

мейства 2 выполнено неравен

ство

И ф - Д Х« < А 1 ф - /.|.

этом

смысле

отображение

А является сжатым (правиль

нее было бы сказать «сжимаю

щим»).

Легко видеть, что если для

семейства 2 выполнены форму

лированные условия, то, исходя

из

произвольной

его

функции ср„, мы по индуктивной формуле (10)

получим

бесконечную последовательность (9), удовлетворяющую

усло

вию (11),

и, как

было

отмечено

выше,

равномерно

сходящуюся

к решению ср уравнения (7).

Перейдем теперь к доказательству теоремы 1 на основе изло

женных

соображений.

■ Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 1

Начальные значения

tt)

и х 0

искомого

решения

уравнения

(1)

яв

ляются

координатами

точки (£0, лг0).

лежащей в множестве Г.

Выбе

рем прежде всего какой-либо

прямоугольник

П с центром

в точке

(/,,,

х 0) со

сторонами,

параллельными

осям,

целиком

вместе

со

своей

границей содержащийся в множестве Г (рис.-39). Длину горизонталь

ной (параллельной оси t) стороны				прямоугольника			П обозначим
через 2q, а длину вертикальной			стороны — через			2а.	Таким	образом,
точка	(t, х) тогда и только тогда			принадлежит		прямоугольнику			П,
когда	выполнены неравенства:
	\t — U \ ^ q ,		\| at—					(12)
Так как прямоугольник П		есть	з а м к н у т о е		множество,			содержа
щееся	в Г, то непрерывные	па	нем	функции	f(t,	х)	и	^	ог'

§ 201

СЛУЧАИ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ

157

раничены, и потому существуют такие положительные числа М и К, что для t и х, удовлетворяющих условиям (12), выполнены неравенства

\f(t, * ) \|< Ж ,	df(t, х)	(13)
\f(t, * ) \|< Ж ,	дх	(13)
	дх
Наряду с прямоугольником П будем рассматривать		более «узкий»
прямоугольник П,., определяемый	неравенствами
I * — А) I < г,	I ^ — Д'о \| SS а,
где
r ^ q		(14)

(см. рис. 39). Более точно число г определим далее. Обозначим через Qr семейство всех непрерывных функций, заданных на отрезке

— ^ о |^ г> графики которых проходят в прямоугольнике 11,.. Таким образом, функция <р, определенная на отрезке 11— ta \ ^ г, тогда и только тогда принадлежит семейству 2,., когда для любого t, при надлежащего этому отрезку, выполнено неравенство

		I <?(О — * 0 1<		а .		(15)
Постараемся теперь выбрать число г				таким образом,	чтобы	были
выполнены следующие два условия:				семейству 2,.,	то функция
а)	Если функция <р	принадлежит
<р* =	Л<р (см. (5), (6)) также принадлежит семейству Qr.
б)	Существует такое число /г,		0<^А <^1, что для		любых	двух
функций ф и / семейства		2,. имеет	место неравенство
	1 Лф — Л/ 1		£ I ф — X \|\|.			(16)

Рассмотрим условие а). Для того чтобы функция <р* = Л;р при надлежала семейству 2,., необходимо и достаточно, чтобы при \ t — /0|= ^г было выполнено неравенство

|ср*(*)— -jc0К в.

В силу (5) и (13) мы имеем:

| ер* (i) — jc0| = | $ / ( t, < p (t))d t|< A lr. h

Из этого видно, что при

аГ	(1 7 )

условие а) выполнено.

158

ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ

[Гл. 4

Рассмотрим теперь условие б). Мы имеем:

ф*(/)= *„-]-$/(*, Ф(х)) dx>

X* (0 = -^о -Ь § /( х>x (x))rfx- *0

Вычитая второе равенство из первого, получаем:

(х- х (х)))dxI <

I ф* (0 —

X* ( 0 1=

15 ( / ( х> Ф(х)) — /

< | $ | / ( х. ф(х) ) - / ( х>Х(Х))И Х|-

(18)

Оценим

теперь

последнее

подынтегральное выражение,

пользуясь

формулой Лагранжа и вторым из неравенств

(13):

|/(т ,

ф ( т ) ) - / ( т ,

X (х))

Д>/(х, 0)

(ф (х) — X (х)>

-|ф (х) — х (х)|;

дх

(19)

здесь

9 — число, заключенное

между ф(т)

и у (т)

и,

следовательно,

удовлетворяющее

неравенству

|0 — д го |^ а .

Из (18)

(19)

следует:

II Ц

— Ах II =

|| ф* — X* II <

Кг II Ф —

X 11-

Таким

образом, условие б) выполнено, если

число

k — Kr

меньше

единицы,

т.

е. если

г <

~ .

(20)

Итак,

если

число

г удовлетворяет неравенствам (14), (17)

и (20), то

для

семейства

выполнены

условия а) и б). В дальнейшем будем

считать число г выбранным таким образом, что неравенства

(14), (17)

и (20)

для

него выполнены.

Построим теперь последовательность

<р#> ®i, •••>

(21)

функций,

определенных

на отрезке

11— £0|< 1 Г> положив:

<Ро (t) = x 0,

(22)

tpi+i =

1 =

0, 1,

2, ...

(23)

Так

как

функция

(22)

принадлежит

семейству 2 Л,

то и все функ

ции ^последовательности

(21)

принадлежат

этому же

семейству (см.

§ 20 I

СЛУЧАЙ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ

1 5 9

условие а)). Далее, мы имеем (см. (15)):

			I91 —		<РоI=		m ax \|<pi— * 01<			а.
						\t~U\zir
В силу (16)			получаем:
откуда		ITi+i —		Ь I= IА Ь			—	А Ь - 1 I<	ЛIIСР, — <рм II,
откуда
			IУ м — ?i I^ а^>					1 = 0, 1,		2, . . .
Таким образом, в силу					В), последовательность (21) равномерно						схо
дится на отрезке				11— £0\|s ^ r			к	некоторой	непрерывной функции ср.
Так	как	все	функции		последовательности				(21)	принадлежат семей
ству	2,.,	то	и функция		ср принадлежит ему				(см. (15)). Покажем,		что

функция ср удовлетворяет уравнению (7). Для этого заметим, что по следовательность

А <Ро> А ь> • • • > А Ъ> •••

равномерно сходится к функции Дер; действительно, мы имеем: j

|Аср — Лср;||<А||<р — cpi||.

Переходя в соотношении (23) к пределу при г—>оо, получаем:

ср= А<?.

Итак, существование решения х — <p(t) уравнения (1), удовлет воряющего накальному условию (3), доказано; при этом уста новлено, что решение x = y{t) определено на интервале 11— t01 г, где г — произвольное число, удовлетворяющее неравенствам (14), (17) и (20).

Перейдем теперь к доказательству единственности. Пусть х — ф (t)

и x = y(t) — два решения уравнения					(1)	с общими	начальными
значениями	£0, дт0 и г,	t	г2 — интервал,			являющийся	пересечением
интервалов	существования		решений	ф и	у; очевидно, что г1< ^ 0<С г-2-
Покажем,	что если	решения ф(£)		и	yj(t)	совпадают	в некоторой

точке f! интервала rx<^t<^rb то они совпадают и на некотором


интервале			11— tl \<^r,		где	г — достаточно	малое	положительное
число.		Положим		х {=	ф (t{) =	у (ti); тогда величины		tl3	х х	могут
быть		приняты за		начальные		значения обоих	решений		х =	ф(£) и
x =	y (t). В		этом	смысле точка (tb лтД ничем не отличается от точки
(^о>	-*о)> и поэтому мы сохраним за точкой (tu						л^) обозначение (t0, х 0):

это позволит нам сохранить и другие прежние обозначения. Переходя от дифференциального уравнения (1) к интегральному уравнению (4), мы получаем для обеих функций ф(^) и y(t) интегральные равенства, которые в операторной форме могут быть записаны в виде:

<ф= Лф, х=А%.

( 2 4 )

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3416 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ