книги из ГПНТБ / Панкратов, В. П. Фазовые искажения и их компенсация в каналах тч при передаче дискретных сигналов

Анализируя различные формулы связи мнимой и ве­ щественной частей постоянной передачи, следует разде­ лить их в соответствии е методам вывода на две группы: первая — формулы, основанные на применении теории вычетов и контурного интегрирования, вторая — форму­ лы, полученные и;з интеграла Пуассона.

Применив интегрирование по замкнутому контуру, охватывающему всю правую полуплоскость р с обходом полюсов, и использовав выражения вычетов функции в точ:юа1Х р с = ± т с, Г. Боде £10] получил формулу

скания фильтра или тракта, то можно пренебречь ас по сравнению с затуханием в полосе задерживания. Тогда, изменяя переменные, можно записать выражение (ЗЛЗа)

Формула (ЗЛЗа) дает возможность по амплитудночастотной характеристике определить фазовый сдвиг при круговой частоте о)С, но расчет всей ФЧХ по этой форму­ ле затруднителен. Преобразованием переменной и инте­ грированием по частям можно ф:лу (ЗЛЗа) свести к виду

со

70

изменение пределов интегрирования дает формулу для фазо-частотной характеристики при линейной шкале частот:

(3.15)

о

Анализируя ф-лы (3.14) и (3.15), можно сделать вы­ вод, что фазо-частотная характеристика в любой точке шкалы частот пропорциональна крутизне характеристи­ ки затухания во всех частях спектра, причем крутизна характеристики затухания вблизи частоты определения фазового сдвига влияет на фазовую характеристику сильнее, чем крутизна затухания на удаленной от нее части.

Рассмотрим теперь формулы связи частотных харак­ теристик, полученные с помощью интеграла Пуассона. Приведем наиболее простой вариант вывода формул, чтобы потом, при нахождении расчетных соотношений, иметь возможность ссылаться на них.

Постоянная передачи минимально фазовой цепи яв­ ляется аналитической функцией на всей правой полу­ плоскости р. Следовательно, функция g состоит из двух гармоничесиих .фун'кций?

По условию решаемой задачи известной является функ­ ция а (0, со), т. е. вещественная часть комплексной функ­ ции g (у, со), заданная на границах области (при г/=0). Требуется определить функцию b (0, со), представляю­ щую собой мнимую часть функции g (у, со), также за­ данную на границе области (при у = 0). Можно наме­ тить следующий путь решения задачи:

1. Гармоническую функцию, заданную на границе области а (0, со), надо выразить через значение ее внут­ ри о'бласти а (у, со).

2.Определить по заданной внутри области гармони­ ческой функции а (у, со) комплексную функцию g (у, со).

3.Найти мнимую часть функции g (у, со) и выразить

еезначение на границе области b (0, со) через ее значе­ ния в области b (у, со).

Первый этап решения задачи — определение гармо­

нической функции, если заданы ее значения на границе Области, совпадает с задачей Дирихле, которая в случае задания области в виде круга имеет решение, выражае-

71

мое простой формулой. Так, известно [64], что гармони­ ческая в области функции а(у, со) при задании области в виде внешности круга радиусом R с центром в начале координат определяется своими контурными значениями a (R, ф) интегралом Пуассона в виде *>

где r>R.

Ядро подынтегрального выражения представляет со­ бой вещественную часть комплексного выражения

где Z=re'® =u+\v.

Если вместо рассмотренного ядра подынтегрального выражения поставить непосредственно комплексную функцию Ч^б, г), то получим регулярную в области функцию

Полагая Z = o o , получим чисто вещественную величи­ ну, т. е. то решение, которое имеет вещественное значе­ ние в бесконечно удаленной точке. Обозначая iC мни­ мую часть функции g>(z) в бесконечно удаленной точке, получим формулу, называемую формулой Шварца:

') В отличие от других авторов, использующих интеграл Пуас­ сона для внутренности круга, мы используем интеграл Пуассона для внешности круга радиуса R. Такое изменение рассматриваемых об­ ластей дает более наглядное представление при переходе от плоско­ сти <р к плоскости р, когда положительные и отрицательные углы

плоскости <р преобразуются соответственно в положительные и отри­ цательные частоты плоскости р.

72

Если определить мнимую часть подынтегрального вы­ ражения функции g(z), то получим

(3.21)

Из нечетной симметрии фазо-частотной характеристики постоянной передачи следует, что С=0.

Так как нас интересует фа'зо-частотная характеристи­ ка, т. е. значение гармонической функции Ь(г, 0) на гра­ нице области, то в (3.21) надо положить r=\R, после че­ го оно запишется

Для перехода от переменной 0 плоскости ср к переменной со плоскости р сделаем два последующих преобразова­ ния:

где R, £20— любые вещественные положительные числа:

Р = V i P + v 2.

При условии у = 0 имеем:

Выбирая знак таким образом, чтобы положительной круговой частоте со соответствовал положительный угол

73

Ф, получим формулу перехода от плоскости ф к плоско­ сти р:

после ряда преобразований получаем формулу, которая

Используя ф-лы (3.22) и (3.29), выражающие ФЧХ, лег­ ко получить зависимость частотной характеристики группового времени от амплитудно-частотной характери­ стики минимально фазовой цепи. Действительно:

(3.14) и (3.15) позволяют рассчитать ФЧХ минимально фазовых цепей по заданной амплитудно-частотной ха­ рактеристике. Они могут быть применимы для расчета ФЧХ почти всех исследованных нами каналов тч.

3.6. Расчет ФЧХ и группового времени по частотной зависимости затухания канала тч

Применение различных формул связи ФЧХ с АЧХ должно давать одинаковые результаты, несмотря на то, что в процессе расчета приходится преодолевать раз­ личные математические трудности. Различие трудностей расчета ФЧХ следует хотя бы из принципиального раз­ личия подынтегральных выражений. Так, если подынте-

74

теристика задана в некотором диапазоне частот полино­ мом третьей степени (рис. 3.4) в следующем виде:

необходимо составить систему линейных уравнений, ха­ рактеризующих условия аппроксимации, как это дела­ лось в гл. 2.

При расчете фазо-частотной характеристики исполь­

-1 + А* А- ю

После ряда промежуточных преобразований получаем

л(со — со0) (“ + “ о)

Полученная формула позволяет рассчитать фазо-ча­ стотную характеристику по амплитудно-частотной ха­ рактеристике, заданной в переходной области частот по­ линомом третьей степени. Из структуры ф-лы (3.34) мо­ жно ожидать нарушения непрерывности функции в точ­ ках ±'coi и ± « 0 за счет членов, содержащих логарифмы. Однако, как показано в статье [46], этого не происходит;

76

там же даются расчетные формулы для случая аппрок­

более широко применяется для приближенного представ­ ления. Пусть затухание '.задано в интервале частот [f0, /1]

линейной функцией (рис. 3.5). Тогда, полагая в (3.32) S2= 5 3=0, получаем:

Из последнего выражения видно, что ФЧХ опреде­ ляется алгебраической суммой членов вида у\пу. Отсю­ да вытекает возможность упрощения и облегчения рас­

77

чета фазо-частотной характеристики путем применения табличного или графического метода расчета [46]. Расчет фазового сдвига при круговой частоте .со осуществляется по следующей расчетной схеме:

1.(По значениям круговой частоты со, для которых определяется фазовый сдвиг, рассчитывается относитель­ ная частота х=со/соо, причем tos^coi.

2.Используя параметр y= ,&-'iAoo, характеризующий заданную амплитудно-частотную характеристику, опре­ деляем:

г/i = л: + у; у2 = х — у,

сдвиг при рассчитываемой частоте.

Формула (3.37) может быть использована также для графического расчета фазо-частотной характеристики, основанного на суммировании четырех кривых у\пу, вы­ черченных по шаблону этой функции. Расчет осуществ­ ляется следующим образом:

1.По заданным значениям со0 и кц определяем пара­ метр у.

2.На листе бумаги с нанесенной на ней осью х про­

водим по шаблону кривые линии функции у\пу, сдвину­ тые друг относительно друга на ± у и ±1. На рис. 3.6а и б изображены шаблон функции и пример графическо­ го расчета: сплошной линией изображено все относящее­ ся к функции у\пу от (х±у), а пунктирной линией'—к функции у\пу от (х±\\).

3.С помощью измерителя осуществляют попарное суммирование функции: отдельно суммируются функции от (х±у), отдельно — функции от ( х ± \) .

4.Фазо-частотная характеристика определяется раз­ ностью полученных кривых, умноженной на величину

•Sticoo/я.

Практика расчета ФЧХ с помощью шаблона показа­ ла, что для у<3 наиболее удобным является следующий масштаб шаблона: единица оси абсцисс — 5 см, едини­ ца оси ординат — 2 см.

Значения функции у\пу для построения шаблона при­ ведены в табл. 3.3.

7 8

В отличие от рассмотренного метода, графический метод расчета фазо-частотной характеристики, приве­ денный в монографии Г. Боде (графики X, XI, XII и XIV, стр. 419—423), сопряжен с громоздкими вычисле­ ниями и обладает невысокой точностью, которая огра­ ничивается необходимостью производить отсчет по гра­ фикам, построенным для заданных амплитудно-частот­ ных характеристик, в общем случае не совпадающих с рассчитываемыми.

79