книги из ГПНТБ / Панкратов, В. П. Фазовые искажения и их компенсация в каналах тч при передаче дискретных сигналов
.pdfния АЧХ; 0а — угол, характеризующий смещение на
чальной точки отсчета периода колебания относительно эффективно передаваемой полосы частот канала.
Методика определения основных параметров исполь зуемой тригонометрической функции (аь g, 0а ) заклю
чается в анализе зависимости К(а>) при различных ха рактерных частотах. К ним относятся, прежде всего, ча стоты максимальных (минимальных) значений модуля коэффициента передачи, которые определяют период по частоте и амплитуду колебания. Если период колеба тельного изменения частотной характеристики модуля коэффициента передачи не совпадает с граничными ча стотами канала (fw fB), то, зная частоты максимальных (минимальных) значений (7максь /максг), легко опреде лить этот период:
/ макс 2 |
f макс 1 |
Подставляя .полученные значения а0, «1 и g в ф-лу (2.10), для граничной круговой частоты получаем К(>(ов) —ао—•
—cii cos 0а . Отсюда
0Ot == arc cos * (а>и)в~~а°, fll' я
Применение для аппроксимации частотной зависимо сти коэффициента передачи более сложных функций не целесообразно, так как использование их в выражениях интегралов Фурье при расчетах переходных процессов оказывается затруднительным.
2.4. Аппроксимация фазо-частотной характеристики канала тч и ее неравномерности
Для математической записи ФЧХ канала, типичная форма которой представлена на рис. 1.2, можно исполь зовать полином вида
Ь(ш) — Ьго + г>3со3 + Ьъи5 Ь, ю7 + ... |
(2.11) |
Нечетные степени членов аппроксимирующего полинома являются следствием нечетности ФЧХ. При подготовке данных измерений для аппроксимации характеристику вычерчивают на графике так, чтобы можно было про должить ее до оси ординат, как это сделано на рис. 2.4. Добавленная частотная область не входит в рабочий диапазон частот, поэтому ход фазовой характеристики
50
здесь безразличен. Между тем такое дополнение значи тельно облегчает расчет аппроксимирующего полинома.
Число точек интерполяции определяет степень апроксимирующего полинома— четыре точки аппроксима ции дают полином седьмой степени. Такой полином яв ляется наиболее удобньгм для практических расчетов. Выбирая точки интерполяции в (рабочем (корректируе мом) диапазоне частот и определяя значения принятого сдвига фазы для этих частот (цщ, м2, юз, <»4 на рис. 2.4), можно записать систему линейных уравнений в виде
byюх + Ь3а>\ + b&со®+ |
Ь7 к>\ = |
By |
|
byю2 -г b3oj| + |
Ьъco| + |
b7шl = |
В2 |
|
|
|
(2.12) |
byо)3 -г ^ 3 + Ьь®з -1- Ь7Ц = В3 |
|||
ЬуЩ-f- b3аз + |
b&©5 -\-b7(o74 = |
By |
Из системы ур-ний (2.12) легко определить коэффи циенты аппроксимирующего полинома. Расчеты показы вают, что максимальная погрешность аппроксимации фазо-частотной характеристики одного из каналов тч ап паратуры В-3, приведенной на рис. 2.4, составляет 50-=- -7-60°. Столь большая погрешность аппроксимации ос ложняет возможность практического применения этого метода.
b(u),°
mo im MO
Ш0 W80 m
720
MO
M
Ш
|
|
|
U4 |
0 |
|
0 |
|
2ft |
j. |
i |
1,0 |
3ft 1кГц |
||
|
Puc. |
2.4 |
|
|
|
|
|
51
Иногда указанные полиномы используются для ап проксимации ФЧХ канала при расчетах фазовых конту ров методом потенциальной аналогии и расчете формы сигнала на выходе канала, так как получающиеся в этом случае интегралы Фурье могут быть представлены эле ментарными или табулированными функциями и, следо вательно, могут быть вычислены.
Более высокая точность приближения получается при аппроксимации неравномерности ФЧХ, что объясняется устранением большого сдвига фазы от частоты и малы ми абсолютными значениями аппроксимируемой функ ции. Неравномерность ФЧХ согласно (1.1) определяется из фазовой характеристики исключением линейной со ставляющей:'
(©) = Ь(со)— т0 (со — аА ).
Получающаяся при этом неравномерность имеет форму, изображенную на рис. 2.5, и может быть представлена в виде тригонометрического полинома
М®) — h sin Аса + 62 sin 2 А со + 68sin3 Асо + ..., (2.13)
где b\, Ьъ Ьз — амплитуды синусоидальных составляю щих; А=1/(7в—fu) ври аппроксимации функции Ьв(ю) в диапазоне частот /н-^/в (h, fu — соответственно верхняя и нижняя граничные частоты) либо А—1/2/ с при аппрок симации функции Ьн(и>) в диапазоне частот —/c-i-fc (?с — верхняя граничная частота диапазона аппроксимации).
‘Представление &Bi(*o) в диапазоне частот |
целе |
сообразно при расчетах переходных процессов, а при формулировке требований к фазокорректирующему ус тройству приходится использовать диапазон частот ап проксимации ОТ —fe ДО /с-
52
В соответствии с выражениями (1.1), (1.2) и обо значениями рис. 1.2 неравномерность ФЧХ канала часто аппроксимируют синусоидой. Для этого обычно при по строении графика неравномерности отклонения положи тельной и отрицательной полуволн берут одинаковыми. Значения этих отклонений и считают амплитудой нерав номерности р. Период колебательного изменения нерав номерности полагают равным /в—/и либо немного боль шим. При этом т = 1/(7в— / н ) либо т ' = 1 / ( 7 в — //н)<т. Тогда неравномерность ФЧХ канала может быть записана
6„((о) = — Psinr(co — шф), |
(2.14) |
где о)ф =|('(0в + (0ц)/2 .
Инотда желательно отсчет ФЧХ канала осуществ лять относительно круговой частоты ом (см. рис. 1.2 и соотношение 1.2). Для этого в выражении (2.44) следует заменить соф4 на (оф = (йА+(ьф,—«и).. Тогда
К(со) = — р sin т [со — сол — (мф — <ол)] =
=— р sin [т (со — сал) — т(Шф — сол)] =
=— р sin [т(«о — сол) — 0ф],
где
% = *{% -«> а) = 2 л |
• |
(2Л5> |
Аппроксимация неравномерности ФЧХ канала сину соидой дает достаточно хорошую точность в средней ча сти используемого диапазона частот и заметную погреш ность на границах диапазона (до 20-г-25° или 0,35-=- 0,45 рад.). Для повышения точности аппроксимации не равномерности ФЧХ канала на крайних частотах диапа зона целесообразно применить полином, включающий две синусоидальные функции: одну с периодом т, а дру гую с периодом 2т:
&н(©)=—р1 > тт(ш — Юф] -ф- р2sin 2 т(со — о>ф)- (2.16)
Для определения амплитуд Pi и р2 необходимо составить два уравнении, которые учитывали бы углы <p*=ji/4 и ф2=Зл/4 дополнительной оси фь соответствующие кру-
1 |
, 3 |
Т“Ф+ 7 Я |
™<р+ т я |
говым частотам-------------- |
и <о2 = —------------- |
53
Согласно рис. 2.6 имеем:
К (®i) = — Pi sin -j- + p2 sin -5- ;
4 2
M®2) = - P iS in - j - + P ,-y -.
Подставляя значения тригонометрических функций и решая уравнение относительно Pi и Ра, получаем:
а ____ (®i) |
Ь н (oig) . |
д |
_____6Н (®i) — |
Ь я (со2) |
|
P i - |
у f |
> |
Р*------------ |
2 |
* |
При необходимости перехода к отсчету неравномер ности ФЧХ канала относительно круговой частоты соа аналогично предыдущему получаем
М «) = — Pi s‘n [т (ю — сол) — 0ф] +
+Ра sin2 [т (со — Юд) — 0ф], |
(2.17) |
где 9ф определяется по ф-ле (2.16).
Аппроксимация неравномерности ФЧХ канала сум мой двух синусоид (первой и второй гармониками) зна чительно повышает точность аппроксимации на краях диапазона по сравнению с аппроксимацией одной сину соидой (погрешность не превышает 10—12°).
Заметное повышение точности аппроксимации может быть достигнуто за счет увеличения числа учитываемых синусоидальных составляющих выражения (2.13). Для получения значений амплитуд составляющих тригоно метрического ряда можно применить любые методы гар-
54
ионического анализа: механические анализаторы либо расчетные схемы приближенного гармонического анали за. В приложении 1 приведена расчетная схема 12 орди нат приближенного гармонического анализа. При рас чете по этой схеме необходимо определить по графику функции 6н(со) двенадцать значений ординат уо,..., уп- Значение ординаты уо следует взять по частоте /ф =
= (7в+/н)/2. Следующие шесть ординат выбираются для
равномерно |
распределенных по частоте точек: / ф + |
|||
— |
•н k, |
где k= \, |
2\ ..., |
6. Другие пять значений ор |
динат |
берутся для |
точек, |
соответствующих частотам: |
|
/н + -в=^-— |
где &.='1, 2, |
5. |
Согласно схеме приближенного гармонического ана лиза получаем шесть значений аг и пять значений 6, при условии, что функция записывается в виде
*=1 |
*=1 |
пли |
|
6 |
6 |
К (to) = Y +_2] аь cos k т (“ “ |
%) п- J ] bksin k т (со — <йф). |
А =1 |
*=1 |
|
(2.18) |
Иногда желательно иметь ряд, состоящий из сину сов. Для этого надо преобразовать каждую пару гармо нических составляющих следующим образом:
a*cos&T(o) — юф) + bksin £ т (ш — юф) =
= Mk { sin a cos |
(to— мф) + cos a sin |
(© — ©ф)} = |
||||
= Mk sin[^x((o — иф) -f a], |
|
(2.19У |
||||
где |
|
|
|
|
|
|
M k = V a l + b l - |
sin a _ |
a* |
. |
cosa = |
bk |
(2.20a) |
- f - ; |
||||||
|
|
M k |
’ |
|
M k |
|
|
sin a _ |
a* |
. |
a = arctg |
. (2.206) |
|
tga — cos a |
bk |
’ |
|
bk |
' |
Расчеты, выполненные для неравномерности, график которой приведен на рис. 2.5, показывают, что погреш ность аппроксимации во всем диапазоне частот состав-
55
ляет 5°, а в узлах аппроксимации — около ,1°. Причем практически оказывается достаточным учитывать только первые две-три синусоидальные составляющие. Приме нение более сложных расчетных схем приближенного гармонического анализа для аппроксимации неравномер ности ФЧХ нецелесообразно.
Рассматриваемая аппроксимация неравномерности используется обычно для расчетов переходных процес сов при передаче сигналов по тракту с фазовыми иска жениями.
При расчете фазокорректирующих устройств нерав номерность ФЧХ должна аппроксимироваться в интер
вале |
частот от —/с до +/с, гДе /с — максимальная ча |
|
стота корректируемого диапазона частот (см. часть III). |
||
Для |
определения коэффициентов |
тригонометрического |
ряда, |
используемого при расчете |
фазокорректирующих |
устройств с помощью полиномов Чебышева, неравномер ность ФЧХ представляется бисимметричной функцией и записывается в виде
йн(ю) = 2C1sin<I> + 2C3sin3® + |
2C5sin5<D + ... (2.21) |
В этом случае также могут |
применяться расчетные |
схемы приближенного гармонического анализа. Расчеты, выполненные для рассматриваемой неравномерности ФЧХ, показывают, что в случае применения расчетной схемы 24 ординат приближенного гармонического ана
лиза |
(см. приложение 2) погрешность |
составляет 5—6°, |
а при |
использовании расчетной схемы |
12 ординат — по |
рядка |
7°, Увеличение числа точек тригонометрической |
аппроксимации до 48 или 72 значительно усложняет рас четы, но не дает существенного улучшения аппроксима ции по сравнению со схемой 24 ординат.
'Помимо рассмотренной формы, удобной для аппрок симации тригонометрическим полиномом, неравномер ность ФЧХ может быть представлена в виде, изображен ном сплошной линией на рис. 2.7. Такой вид характери стики получается при пересчете обычной формы нерав номерности относительно прямой CD. В этом случае для аппроксимации удобнее использовать алгебраические '.полиномы, в частности, полином
а(ю) = h (м —С0ф) + ьз (а — соф)3 + Ьъ(ю -- соф)5 + ... (2.22)
•Однако возможно применение и тригонометрических полиномов с учетом линейной составляющей к(ш—и ф )
56
где K=b,ii(<siR)/(tdB—соф ) — есть тангенс угла наклона: прямой, проходящей через точку м (линия C'D') .
2.5. Аппроксимация частотной зависимости группового времени канала тч
Учитывая форму частотной характеристики группо вого времени канала тч, для ее аппроксимации часто ис пользуют параболу вида
^(ш ) = Л ^ = Л(а>-сомин)г, |
(2.23) |
где шмин — круговая частота, соответствующая мини мальному значению группового времени (©мин=(Оср) •
Аппроксимация квадратичной параболой дает удов летворительную точность в средней части эффективно передаваемой полосы частот канала тч и заметную по грешность на ее границах. Причем погрешность опреде ляется, главным образом, быстрым возрастанием ап проксимирующей параболы, тогда как аппроксимируе мая функция в этой области частот приближается к ли нейной. Поэтому целесообразно в средней части эффек тивно передаваемой полосы частот канала тч для ап проксимации характеристики применять квадратичную1 параболу, а для аппроксимации граничных участков — линейную функцию. В этом случае частотная.характери-
57;
■«тика группового времени канала тч будет разбита на отдельные частотные интервалы, на каждом из которых функция аппроксимируется либо отрезком прямой линии, либо параболой (данную аппроксимацию иногда назы вают кусочно-линейной полиномиальной). Такая аппрок симация применяется, в частности, для математической записи средней статистической характеристики группо вого времени стандартного канала тч. Причем рекомен дуется использовать следующие частотные интервалы:
|
4 |
со + |
bi |
|
для |
0,4 |
< 0,6 кГц; |
|
||
^гр (®) |
4 |
со ~ |
Ь2 |
|
» |
0,6 < / < 0,8 |
» |
; |
^224) |
|
4 |
ш* |
|
|
» |
0,8 < /< 3 ,0 |
» |
; |
|
||
|
|
|
|
|||||||
|
4 ® + |
Ь3 |
» |
3 ,0 < /< 3 ,4 » . |
|
|||||
Составление |
расчетных |
соотношений для |
|
нахожде |
||||||
ния значений А |
ь |
А % А 3/ Л4 и Ь и |
Ь% |
Ь 3 выражения |
(2.24) |
|||||
не представляет труда, |
если правильно наметить |
узлы |
аппроксимации. В качестве узлов аппроксимации можно использовать вышеприведенные граничные значения ча стоты. Расчеты показывают, что точность аппроксима ции в данном случае будет порядка 0,04 мс.
Представление функции tTр(<о) на отдельных частот ных интервалах хотя и дает хорошую точность аппрокси мации, но иногда оказывается неудобным. Это относит ся, в частности, к случаям перехода от частотной зависи мости группового времени к неравномерности фазо-ча стотной характеристики, расчета напряжения сигнала на выходе канала тч с использованием интеграла Фурье и определения требований к фазокорректирующим уст ройствам. В этих случаях желательно иметь аппрокси мирующую функцию, пригодную во всей эффективно пе редаваемой полосе частот. В качестве такой функции могут быть использованы аппроксимирующие полиномы третьей и четвертой степени вида
^гр (<в) = 4 |
*3 + |
4 |
х* |
4 х 4 |
4 |
(2.25) |
и |
|
|
|
|
|
|
t TP (со) = 4 |
* + |
4 |
х 3 + |
А 2 Х * + |
А 3 Х + 4 , |
(2.26) |
где x = 2n(f—fcp). |
|
|
|
|
|
|
Погрешность аппроксимации частотной характеристи ки группового времени канала тч полиномом третьей степени составляет 0,2—0,25 мс, а полиномом четвертой
.степени — порядка 0,05 мс. Значения коэффициентов
58
аппроксимирующего полинома (2.26) для усредненной, характеристики группового времени канала тч (один переприемный участок) оказываются равными:
у40= 1,64-10-4;
Лt= —4,815-10-4; Л2= 1,722-10-3;
Л3= 1,258-,Ю-2; Л4=0. -
Причем частота берет ся в килогерцах, а зна чение группового вре мени получается в мил лисекундах (/Ср=1,9 кГц).
Широкое примене ние для аппроксимации частотной характерис тики группового време ни канала тч находят тригонометрические по линомы. Причем обыч но аппроксимируемую характеристику смеща ют вниз и продолжают до пересечения с осью, как показаноштрихпунктирной линией на
рис. 2.8. Это необходимо для того, чтобы на границах аппроксимируемого интервала частот, заменяемого ин тервалом от —я/2 до я/2 на дополнительной оси <ри ха рактеристика имела нулевые значения, наиболее удоб ные для представления тригонометрическими функциями. Тогда частотная характеристика группового времени бу дет представлена тригонометрическим полиномом вида
tгр (е>) — |
-| |
V |
akcos k ф,- + V |
bksin k <p;, |
(2.27) |
||
где ф, — л f- |
|
*=i |
|
|
*=1 |
|
|
/ср |
’ |
fcp -- |
/в + |
/н |
|
|
|
/, - / н |
"■*' |
2 |
|
|
|
||
п — число учитываемых членов ряда. |
|
||||||
Для получения |
коэффициентов |
тригонометрического |
|||||
ряда могут быть использованы |
любые методы расчета |
коэффициентов ряда Фурье, в том числе рассмотренные ранее расчетные схемы приближенного гармонического анализа.
59