книги из ГПНТБ / Стандартизация и качество машин учеб. пособие

Если по результатам испытания каждое событие характеризо­ вать не только фактом появления или непоявления события, но и некоторым числом, то приходим к понятию случайной величины. Следовательно, случайной величиной называется численная харак­ теристика некоторого случайного события. Например, случайными величинами будут: размер детали, срок службы конкретного трак­ тора до списания, количество бракованных изделий в выборке.

Случайные величины подразделяются на дискретные и непрерыв­ ные.

Д и с к р е т н ы м и называются случайные величины, принимаю­ щие конечное счетное число различных значений, которые мож­ но пронумеровать. Например, количество дефектных изделий в вы­ борке, число отказов.

Н е п р е р ы в н ы м и называются такие случайные величины, которые могут принимать любое значение в данном интервале чис­ ловой оси. Например, вес детали — непрерывная случайная вели­ чина, так как с какой бы точностью ни взвешивали ее, всегда мож­ но указать сколько угодно чисел, уточняющих предыдущее значе­ ние; если взвешивание произвели с точностью до грамма, то можно взвесить с точностью до десятых, сотых, тысячных долей грамма и т. д. К непрерывным относятся такие величины, как наработка до отказа, время ремонта, мощность двигателя и др.

В силу ограниченности измерительных средств в большинстве практических случаев непрерывные величины представляются в виде дискретных.

Случайные величины обычно обозначают через X, понимая под этим символом все значения, которые может принимать случайная величина. Следовательно, для полного определения случайной ве­ личины необходимо знать не только диапазон изменения ее значе­ ний, но и как часто эти значения встречаются в большой серии опы­ тов, т. е. необходимо знать закон ее распределения.

З а к о н о м р а с п р е д е л е н и я случайной величины X назы­ вается соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями этой случайной величины и соответствующими вероят­ ностями их появления.

Закон распределения принято задавать функцией распреде­ ления случайной величины. Случайная величина задана, если из­ вестна ее функция распределения. Функцией распределения слу­ чайной величины X называется вероятность того, что случайная

Функция распределения случайной величины может быть задана в виде таблицы, графика или формулы.

Пример 3. При бросании игральной кости случайной величиной является чис­ ло, обозначенное на одной из шести ее граней. Эта случайная величина дискретна и может принимать следующие значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Вероятность появления каждого из них одинакова и равна

30

Р <Х) = Т ■

Функция распределения этой величины может быть задана в виде таблицы:

В теории надежности чаще встречаются непрерывные случайные величины и для их определения удобнее пользоваться не функ­ цией распределения случайной величины F(x), а функцией плотности распределения

вероятностей, представляющей собой пре­ дел отношения вероятности попадания слу­

Площадь фигуры, очерченной кривой f(x), всегда равна единице

(в данном примере F = — (1—1) = 1, так как она выражает вероят-

6

ность полной суммы событий.

Теория вероятностей предлагает целый ряд различных функций распределения дискретных и непрерывных случайных величин, ис­ пользуемых для решения различных практических задач.

Экспериментальное построение кривой распределения очень трудоемко (необходимо выполнить большое количество опытов), а иногда практически и невозможно. Поэтому была найдена возмож­ ность задавать закон распределения через некоторые характеристи-

31

ческие величины, называемые п а р а м е т р а м и р а с п р е д е л е - м и я. Если известен тип закона распределения и найдены его пара­ метры, этого достаточно для полного определения случайной вели­ чины.

Важнейшими параметрами распределения являются математи­

MX — Б .гiPi.

1= 1

В предыдущем примере

М Х = — (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3,5.

6

Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется уравнением

+ 00

и. = J xf(x)dx.

—00

Следует обратить внимание на следующее: математическое ожи­ дание имеет ту же размерность, что и случайная величина, и что математическое ожидание постоянной величины равно этой постоян­ ной величине.

В примере с игральной костью

D X = — (1 + 4 4 -9 + 16 + 25 + 36) — 3,53 = 2,916.

6

Дисперсия непрерывной случайной величины определяется урав­ нением

Дисперсия постоянной величины равна нулю.

Очень часто наряду с дисперсией используется еще одна харак­ теристика распределения — с р е д н е е к в а д р а т и ч е с к о е от ­

Как отмечалось, результаты каждого конкретного вида испы­ таний могут быть описаны одним из предложенных законов распре­ деления. Наибольшее распространение в решении задач надежности

32

машин и контроля качества нашли следующие законы распределе­ ния: для дискретных случайных величин — биномиальное, распреде­ ление Пуассона, гипергеометрическое распределение; для непрерыв­ ных случайных величин — нормальное, экспоненциальное и распре­ деление Вейбулла. Подробные сведения о законах распределения можно найти в специальной литературе.

Мы ограничимся рассмотрением уравнений функции распре­ деления случайной величины, функции распределения плотности ве­ роятностей и параметров функции распределения в принятых обо­ значениях.

где п — количество выполненных испытании;

т— случайная величина, равная количеству наступлений случайного события А;

р= —----частость события А\

п

q= 1—р — частость появления противоположного события.

контроле качества, если после измерения деталь кладется обратно в бункер.

При р а с п р е д е л е н и и П у а с с о н а функция распределе­ ния имеет вид

(22)

где а = пр\ е= 2,71828 — основание натурального логарифма.

Математическое ожидание и дисперсия в этом случае равны и

в тех же случаях, что и биномиальный, при условии, что р ^0,1 . Г и п е р г е о м е т р и ч е с к о е р а с п р е д е л е н и е

Мя т — количество годных изделий в партии и выборке.

М(т) -- пр,

Этот закон распределения применяется при статистическом конт­ роле качества и справедлив в тех случаях, когда проконтролиро­ ванные изделия изымаются из выборки.

Закон н о р м а л ь н о г о р а с п р е д е л е н и я непрерывных случайных величин получил широкое распространение, поэтому его следует рассмотреть несколько подробнее.

Непрерывная случайная величина х, принимающая значения на вещественной оси от — оо до + оо, имеет нормальное распределе­ ние, если ее плотность вероятностей описывается уравнением

■где аир, — параметры распределения.

Функция распределения вероятностей в этом случае имеет вид

Рис. 3. Функция нормального распределе­ ния (кривая Гаусса)

34

точки перегиба функции f{x), определяемые путем взятия второй производной, соответствуют значениям

если принять ц=0; а=1, получим нормированное нормальное распределение, у которого плотность вероятности и функция рас­ пределения выражаются формулами:

в справочные таблицы; 99,73% всей площади под кривой нормального распределения'

лежит в интервале значений от р.—Зет до р + Зсг, что означает следу­ ющее: вероятность того, что случайная величина х меньше чем' на За отличается от своего математического ожидания ц, состав­ ляет 0,9973, т. е. почти равна единице. При нормальном законе рас­ пределения хорошо виден физический смысл параметров функции распределения. Так, математическое ожидание здесь характеризует такое значение случайной величины, появление которого наиболее вероятно. Среднее квадратическое отклонение характеризует сте­ пень разброса отдельных значений случайной величины х. Чем боль­ ше а, тем больше область возможных значений х, тем шире рас­ ходятся ветви кривой Гаусса, как показано на рис. 4.

Рис. 4. Зависимость вида функции плотности вероятностей нор­ мального закона распределения от величины среднего квадратич­ ного отклонения (сп < егд < а3)

Функция плотности распределения показана на рис. 5.

36

где т и х0 — коэффициенты, определяющие вид кривой распреде­ ления плотностей (рис. 6);

Г — символическое обозначение гамма-функции. Распределению Вейбулла подчиняются пределы упругости, пре­

делы прочности и пределы выносливости сталей и других материа­ лов, усталостная прочность подшипников качения, зубчатых колес

имногие другие параметры, характеризующие сложные процессы. Приближенные значения («оценки») параметров функции рас­

пределения вычисляются по данным эксперимента с привлечением

По этим данным требуется определить среднее значение ресурса и среднее квадратическое отклонение.

Используя формулы (35), (36), находим

х = -^~ (202 + 215 + 501 + . . . + 1020 + 2108)= 754 ч;

(2022 + 2152+ . . . + 2 1 0 8 2 ) - 7542= 462 ч.

/5-

Так как в рассматриваемом примере объем выборки равен только 20, то ве­ личины х, s будут отличаться от своих теоретических значений ц и а и равны им

только приближенно: .v»(x; s«cr.

37

Чем больше объем выборки, тем меньше относительная ошибка в замене ц и о их опытными значениями х и s.

Методы математической статистики позволяют _также оценить

абсолютные и относительные ошибки в вычислении х, s, вычислить их допустимые пределы, определить по опытным данным закон рас­ пределения случайной величины и решить целый ряд других задач. Изложение этих методов дано в популярной форме в работах [6; 7].

§ 5. НАДЕЖНОСТЬ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Показатели надежности, образующие вторую группу технико­ экономических показателей качества, являются важнейшими пока­ зателями качества изделий машиностроения. В отличие от всех дру­ гих показателей качества показатели надежности тесно связаны с фактором времени и характеризуют способность изделия выпол­ нять заданные функции в рассматриваемый момент или в пределах заданного отрезка времени.

С и с т е м о й в теории надежности называется совокупность действующих элементов, полностью обеспечивающая выполнение определенных практических задач. Системой является, например, автоматическая линия, станок, трактор, электронная вычислитель­ ная машина.

Под э л е м е н т о м понимается часть системы, не имеющая са­ мостоятельного эксплуатационного назначения, но выполняющая в ней определенные функции. Для практического использования его необходимо соединить с другими элементами в определенную си­ стему. К элементам относятся детали машин, крепежные изделия, режущий инструмент, радиолампы и т. д. В некоторых случаях для упрощения целесообразно рассматривать отдельные узлы, блоки и части сложных систем как элементы.

В процессе эксплуатации каждое изделие может находиться в различных состояниях: рабочем и законсервированном, состоянии работы и покоя, в работоспособном и неработоспособном, исправ­ ном и неисправном и т. д. Теория надежности рассматривает сле­ дующие состояния изделия.

И с п р а в н о с т ь — состояние изделия, при котором оно соот­ ветствует всем требованиям технической документации.

Н е и с п р а в н о с т ь — состояние изделия, при котором оно не соответствует хотя бы одному из требований технической документации.-

Р а б о т о с п о с о б н о с т ь — состояние изделия, при котором оно способно выполнять заданные функции с параметрами, уста­ новленными требованиями технической документации.

Отличие между понятиями «исправность» и «работоспособность» состоит в том, что изделие может быть неисправно, но работоспособ­ но. Однако неработоспособное изделие никогда не может быть

38

исправным. Например, царапина на кузове автомобиля не нарушает его работоспособности, но свидетельствует о неисправном состоя­ нии. В то же время, если в автомобиле не работает тормозное устройство, то такое изделие неработоспособно и неисправно.

О т к а з — событие, заключающееся в нарушении работоспособ­ ности. Признаки (критерии) отказов рекомендуется оговаривать в технической документации на изделия данного типа. В изделиях отказы могут проявляться в виде поломок, потери точности, износа, заклинивания, сбоя, снижения к. п. д. и других отступлений от тре­ бований технической документации.

Все отказы подразделяются на два больших класса: постепенные и внезапные.

П о с т е п е н н ы м о т к а з о м называется выход параметров изделия за границы допуска, обусловленный постепенным ухудше­ нием этих параметров в процессе эксплуатации или хранения. По­ степенные отказы вызываются накоплением износовых, коррозион­ ных и других видов разрушений. Время наступления постепенного отказа можно прогнозировать. К числу постепенных отказов отно­ сятся отказы, характеризуемые потерей точности станка, снижением

изделия из строя, который не мог быть предсказан по изменению ве­ личины параметров во времени. Внезапные отказы обусловлены в основном дефектами конструкции, технологии, нарушением нормаль­ ных условий и режимов эксплуатации. К числу внезапных отказов могут относиться, например, отказы, обусловленные поломкой дета­ ли при случайной перегрузке, проколом шины автомобиля, перего­ ранием элемента электрической цепи.

Н а д е ж н о с т ь — свойство изделия выполнять заданные функции, сохраняя свои эксплуатационные показатели в заданных пределах в течение требуемого промежутка времени или требуемой наработки.

Под наработкой понимается продолжительность работы изделия

вединицах времени или объем выполненной им работы, измеряемый

вкилометрах, гектарах, циклах и других принятых единицах изме­ рения. Различают «наработку до первого отказа», «наработку между отказами», «суточную наработку» и другие виды нара­ ботки.

собность в течение заданной наработки без вынужденных переры­ вов. Это свойство особенно важно для неремонтируемых изделий и изделий, отказы которых приводят к большим экономическим по­ терям или угрожают безопасности человека: гидротурбины, косми­ ческие корабли, радио- и электролампы, строительные конструкции и другие изделия и элементы.

29