книги из ГПНТБ / Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений

Необходимо, строго говоря,

добавить также

условие

невы­

рожденности

системы (И.9.1), а именно:

а)

система

(II.9.1)

не

расщепляется

на две независимые системы

V

= / 1){V, е),

w

=

f {2)(w,

е),

(II.9.3)

где v, w

— составляющие

вектора

и; б)

система

(II.9.1)

не имеет

решения,

в котором

часть

компонент равна нулю,

т. е.

ее

нельзя

расписать

в виде

двух подсистем

w,

е),

w

= f {2\(v,

w, е),

(II.9.4)

из которых

одна,

например, первая, имеет

нулевое

решение

v = 0 при произвольных w >

0,

е >

0.

К вырожденным

можно отнести также

линейные

системы,

когда матрица d f /ди

постоянна.

2.

Основные результаты в отношении невырожденных

систем

вида (II.9.1)

следующие.

Теорема 11.20. Система (II.9.1) обладает

положительным

ре­

шением

и =

и(г)

в той и только

той

области

0 - ^ е ^ е * ,

верхняя

граница которой

е* удовлетворяет уравнениям

« = / ( « , е),

d e t ( £ '- - ^ - )

=

0,*>

(И.9.5)

причем

последние имеют единственное

положительное

решение

Иj , ... ,

И^ —

Uп,

£

—

£ .

Теорема

11.21.

В области 0 - < £ < £ *

теоремы

11.20

система

(П.9.1)

обладает

единственным

положительным

решением

и = и (г),

непрерывным и обращающимся в нуль при с =

0.

Теорема

11.22.

В

области 0 < £ < > *

теоремы

11.20

последова­

тельные

приближения

ик =

/ ( uk - v

£) ’

(II.9.6)

где и0 =

0, сходятся

к решению

и — и (е),

определяемому теоре­

мой 11.21. _К этому же решению сходятся

приближения

(II.9.6),

если и0 < и (е)**).

результатов,

выраженных

в

формулировках

Доказательство

теорем, имеется в [97].

уравнения*

В случае

одного

скалярного

Уравнение (II.9.5) отличается от (П.9.1) тем, что

(II.9.1) определяет и

как функцию е, а ( 11.9.5) — система ( н - f l )

уравнений

относительно ( п + 1)

неизвестных и ,... , ип , г.

*** Векторное неравенство и0 < и (е)

эквивалентно п скалярным неравенст­

вам для компонент uQ1 < и , . . . , и0п <

ип .

Положительным называется век­

й = / ( й ,

е)

(II.9.7)

эти результаты

геометрически

очевидны из

графиков

кривых

У = / ( и , в) при в < в*, е =

е*, е > в*.

Сходимость последовательности

(II.9.6)

к

и при и0 <

и

вы­

текает из монотонного возрастания и ограниченности

этой

по­

следовательности.

3. В случае

линейной

системы

(П.9.1)

теоремы

11.20—11.22

также справедливы, если заменить закрытую область

0 - < е < ;е *

открытой 0 < s < в*. Решение

и =

и(е) является при

этом

не­

ограниченным при в—в*. Закрытую область

0 < в < гх

и

ограни­

ченное в этой области решение

и =

и ( в)

получим,

заменив

в

уравнениях (II.9.5) теоремы 11.20

нуль

на любое малое

число

о.

вырождения в смысле б)

можно положить v = 0 и

рассмотреть

только уравнение для w.

Таким образом, и

для

вырожденной

системы (II.9.1)

существует область 0 < в < вь

в которой справед­

ливы теоремы

11.21, 11.22.

4. Более общими по сравнению с (П.9.1)

являются системы

вида

u = Au-\-f(u, s),

(II.9.8)

и = ( Е — A)~lf ( u , в),

(II.9.8*)

x = L F ( t , х, в),

(П.9.9)

где в — параметр (для простоты

считаем

s ^ O ),

F — векторная

функция, непрерывная по в , непрерывная

или кусочно-непрерыв­

ная по t , дифференцируемая или липшицева по х

в некоторой

области D HI х |< R,

0 < t < Т, 0 < s < s 0},

причем

F ( t ,

0, 0) = 0,

J £ ^ J d L

= 0,

(П.9.9*)

6—217

81

ций с областью значений в этом же

пространстве,

и

непрерыв­

ный по параметру в. Если функция F липшицева,

т.

е. удовлет­

воряет неравенству

II F { i , * 2,

е) — F{i*

х и £) |< Л/1|х 2 — -Xi ||,

(II.9.10)

где N — постоянная,

зависящая

от в и от числа R,

определяю­

щего область изменения х,

то

надо

потребовать,

чтобы

N -^0

при JR-+0, в-*0.

Ограниченность оператора L выражается, как

известно,

не­

равенством

НА>11 < р II? II;

(и.9.11)

здесь ср= ср (t) — произвольная

функция, в классе

которых

рас­

сматривается оператор L , а р — постоянная, не зависящая

от ®(t).

Системе (II.9.9) может быть поставлено в соответствие

функ­

циональное уравнение (в общем случае векторное)

и =

Ф (и, в),

(II.9.12)

лярное уравнение

вида

и = рФ ( и , в),

( II.9 .1 3 )

где р — постоянная

в условии

(II.9.11)

ограниченности

операто­

ра L,

а Ф

( и , в) — скалярная

мажоранта Ляпунова

по отношению

к F (t,

х,

в). Так называется

функция,

принадлежащая

к

классу

функций,

рассматривавшихся в п. 1,

и такая, что

|F ( t ,

х , в) |< Ф (и,

в),

dF (t,

X,

е)

<

РФ (и,

е)

(II.9.14)

дх

да

для всех

t,

х,

в в

области

D,

если

|/л: |< и.

Отсюда

вытекает

неравенство

|F(t,

х 2, в) — F ( t ,

х и

е)||<Ф(и2,

в) — Ф(й„

в),

(II.9.15)

если ||*5||<и5, s =

l, 2, |х 2 — Xj |< и2 — иг

Для липшицевой функции F (t, х, в), удовлетворяющей нера­

венству (II.9.10), скалярная

мажоранта

Ляпунова

может

быть

положена

равной

Ф (и,

в) = N { b) u.

(И.9.16)

Эта мажоранта удовлетворяет

условию

(II.9.15)

и

первому иа

неравенств (II.9.14).

обращающе

2.

При нахождении решения уравнения (II.9.9),

гося в нуль

при в = о, естественным

является применение асимп­

x k =

L F ( t , x k_x,

е),

& = 1 ,

2, 3 , . . . ;

x Q~ 0 .

(II.9.17)

Используя

мажорирующие уравнения (II.9.12)

или (II.9.13),

убеждаемся в справедливости следующей теоремы.

Теорема

И.23.

Пусть

при 0 < в < в *

уравнение

(II.9.12)

имеет

положительное

решение

и = и(в),

обращающееся

в

нуль

вместе с в, и это решение

принадлежит области

D.

Тогда при

этих значениях в

гарантируется

сходимость

последовательных

приближений

(II.9.17)

к

единственному

решению

x =

x(t, е)

исходной системы (II.9.9),

непрерывному

по в и обращающемуся

в нуль при

е = 0.

Доказательство

следует

из того, что последовательные

при­

ближения для

уравнения (II.9.12)

= Ф ( й*- р

®),

£ =

1.

2,

и0 = 0

(II.9.18)

являются

мажорирующими

по

отношению

к

приближениям

(II.9.17), т. е.

II х к (* .£) ||< Чu k (£) ||» II■**(*»£) -

-s -i (*ȣ) ||<

< |и к {г) — HA_j(e)||, k = \ ,

2, ... ,

(II.9.19)

а также из свойств последовательности ( uk (в)}.

Эта теорема позволяет не только

установить факт сходимос­

ти последовательности \xk (t, в)} к

точному решению x ( t , в)

системы (II.9.9), но также получить

оценку

области

сходимости,

выражаемую числом в* и находимую при

анализе

мажорирую­

|х (t, в) -

х , (*,

в) |< |и (в) -

ил (в)||.

(II.9.20)

3.

Последовательные

приближения (II.9.17) эквивалентны ряду

х х +

( х 2 — х х) + (х3 — х 2) +

•••,

(II.9.21)

так что при желании

можно

представить

искомое

решение

в

виде

ряда,

сходимость

которого гарантируется в

некоторой

области.

Типичным

является случай,

когда ||л;й—

так чт0

(II.9.21) — ряд, расположенный

по степеням

величины

порядка

в.

В случае

функций

F(t, х , в), Ф(и, в), аналитических по в,

х,

х =

j

{t,

х, е) -j- •••+

L mF т (t , x, е),

(II.9.22)

где

Za,

F a — операторы

и функции такого

же

характера,

как F

и L

в

(II.9.9), а также к системам вида

л: =

L 0x -f- L vF(t,

х,

е);

'

(II.9.23)

здесь

L 0 — такой

оператор,

что существует

сбратный

оператор

(Е — Z.0)_1. Последней системе

может

быть

поставлено в соответ­

ствие мажорирующее уравнение вида (II.9.8).

III. Квазилинейные

дифференциальные уравнения

с малым параметром

в правых частях

Целый ряд задач о построении решений уравнений различных

типов с

малым

параметром

может быть

приведен к

задаче о

построении решений операторных систем вида

(II.9.9),

(II.9.22),

(II.9.23).

Следовательно,

эти решения можно искать с

помощью

сходящихся в некоторой области приближений или рядов,

отве­

чающих (II.9.17) или (II.9.21) соответственно. К их анализу при­

менима

методика,

связанная

с мажорирующими

функциональ­

ными уравнениями Ляпунова.

1.

В качестве

одного

из простых типов уравнений рассмотрим

систему

|

=

P ( 0

^ - s/ ( U

, s ) ,

(П.9.24)

где

Р (t) — непрерывная

по

t

матрица, f i t ,

х,

е) — вектор-функ­

ция, непрерывная по t,

в

и дифференцируемая

по х

в

некото­

рой

области D {0 < t < Т,

||jc ||</?, О < в < е0}.

Ставится

вопрос

о нахождении решения

x ( t . s), обращающегося

в

нуль

при

е =

0.

Эквивалентной

по

отношению

к

(II.9.24)

на

множестве

таких

решений является

интегральная система

t

X =

вХ0 (t) JХ ~ 1 (т)/(х,

X,

е) dx;

(II.9.25)

о

здесь Х 0 (t) — нормальная

фундаментальная

матрица для

линей­

ной системы

d- ^

= P { t ) x .

(II.9.26)

Можно переписать (II.9.25) в операторной форме

(II.9.9),

поло­

жив F (t,

х ,

в) =

е/ (t,

х ,

в)

и

опрелелив оператор L

формулой

t

L ? (t) =

Х й( п \ х - '

(т) ® ( т )* .

(II.9.27)

О

Оператор

L

линейный

в

области 0 < К Т ,

ограниченный,

так

что справедливо

все

изложенное

в п. 2 настоящего

параграфа.

Таким образом,

при 0 < t < T получаем искомое

решение

системы

(II.9.24)

как предел последовательных приближений

x k (t, в),

отве­

чающих

(II.9.17)

и (II.9.25)

и

представляющих

решения

систем

dx

p

(t) x k +

Ef ( t ,

x k_ v

в)

(II.9.28)

~ а г =

при нулевых

начальных

условиях,

причем

||^i|| — в,

Ц-^2—

—®2

и т. д.

Для построения мажорирующего уравнения следует

оценить

оператор

L.

Справедлива

оценка

IIL ? II < Р IIе? II,

Р =

max

П X (t)X~\x)

dx.

(II.9.29)

0<*<7n 1

Скалярное мажорирующее уравнение

запишется в виде

и — врФ (и,

в )

,

где Ф (и,

е) — мажоранта

Ляпунова для f ( t , х:,

в).

Для иллюстрации рассмотрим скалярное уравнение

=

— лс + в/(С х),

f ( t ,

х)

= cos t +

2х — х 3.

(II.9.31)

Операторное

уравнение

примет

вид

Cх),

t

х =

b Z /

(

I ?

0

e~(t= -~L)v(x)j

dx.

( I

I .

9 . 3 2 )

Число p

в оценке

(II.9.29)

оператора

L равно

t

р =

max j* e~{t~x) dx =

max ( l

— e~*) =

1,

0 < t <

oo,

«

1 о

*

так что

этот

оператор

ограничен

на всей

полуоси

0 < t

<

оо.

Мажоранта для f { t , х)

равна,

очевидно,

ф (а)

=

1

+

2и +

а 3,

так что

мажорирующее

уравнение (II.9.30) запишется в виде

и =

в(1 +2/г +

гг3).

(II.9.33)

Положительное

решение

и (г) этого уравнения существует

при

0 < г < е * ^ 0 , 2 6 .

Следовательно,

можно гарантировать

при

та­

ких в сходимость

приближений

t

* *

=

Ч

(cos t +

1

(II.9.34)

о

4

к точному

решению x ( t , в) при всех 0 < t

< оо, 0 < в < 0,26.

Оценим

теперь погрешность первого

приближения

х х (t, в),

которое равно

х х

- - J - ( — е

1 + cos t -f

sin t),

например,

при е = 0,

1. Имеем

\\x(t,

в ) - х х(*,

в) |< и (в) -

их(в),

(II.9.35)

Пусть ставится вопрос о нахождении

Г-периодического решения

х (t , в), обращающегося в нуль при в = 0, и пусть

имеет место

некритический случай (вещественные

части всех

характеристи­

нуля). Тогда эквивалентной

на множестве таких решений явля­

ется

система

t + T

х = е [ х - 1 ( Т )

-

Е } - ' Х 0 1<) J

Х 0 (х)/(-с,

X,

S) Л ;

(II.9.36)

здесь 2^0 (t) — нормальная

фундаментальная

матрица для

линей­

ной системы (II.9.26).

^Л'“1(7') — Е ~1

В

некритическом

случае

обратная

матрица

существует (имеет ограниченную норму). Таким образом с

уче­

том

оценки (II.9.29) опять получим, что уравнение

(II.9.36)

мо­

жет

быть записано

в виде

операторной системы,

совпадающей

по структуре с (II.9.9). Следовательно, опять можем искать

пе­

риодическое решение в

некоторой области значений в

с

по­

мощью указанных

выше

последовательных

приближений или

рядов (см. [98—104]).

IV. Квазилинейные дифференциальные уравнения с

малым

параметром

при производной

1.

Рассмотрим систему

е § - =

Ax +

v.f{t,

х )

(II.9.37)

с малым параметром

в при производной и малым

параметром р.

в правой части и с постоянной матрицей А , причем

пусть

вы­

полняется, как это

обычно требуется

при анализе таких

систем

(см.

[15]), известное условие устойчивости: вещественные

части

всех

собственных значений

...,

\п

матрицы

А

отрицательны.

Относительно функции f ( t ,

х:)

предположим, что она непрерыв­

на по t и дифференцируема

по л: в некоторой

области.

Пусть

ищется решение x: (t, в,

|х),

обращающееся в нуль при в = [х = 0 .

Систему (II.9.37) можно заменить, как и ранее, эквивалентной

операторной системой с

линейным

ограниченным

оператором.

Действительно, так как нормальная фундаментальная матрица

для

линейной однородной системы

(получающейся

из

(II.9.37)

при

[х = 0) равна

X 0 ( t , e )

=

— t

,

(II.9.38)

e &

то система (II.9.37) эквивалентна на множестве решений

с нуле­

вым

начальным условием х (0) = 0

интегральной

системе

1 — (t-i)

х) dx

(II.9.39)

x = ~Y- \ е &

/ (т,

о

или

операторной системе

x

— L F ( i ,

х, |х),

/7=

н/(^, х),

(11.9.40)

где L — оператор,

выражаемый формулой

(t)

1

Г

е

т

<*-х)

(11.9.41)

= —

J

ср (х) dx.

вуют, как

нетрудно видеть, решениям

систем

dxb

2, 3, ..., x 0 = 0 (II.9.45)

2 ~dT = Axk + p f (t, x k_!), k = 1,

степеням е, то его следует применять

осторожно, так как в ря­

де случаев оно не эффективно. Рассмотрим,

например,

первое

приближение х и находимое

при х 0 =

0 из линейной неоднород­

ной системы. Если

положим для

простоты

записи

х х = у,

Ij f ( t , 0) = 9 (t), то получим систему

i %

= Ay + ?(t) .

(11.9.46)

Ее решение при начальном

условии

у (0) =

0

определится по

формуле

У ( * ,

в)

— (i -*)

9 (т) dx.

(II.9.47)

У (*, £) =

А - \ (0) + . (Л - ) 2% + ■ ■ ■

+

X

t = 0

— t

X

е е

+ в (Д -1)2^

+

•••+ в”' 1 (Д -1) л X

dtn~l

+ Я я>

(II.9.48)

где R

— остаточный

член разложения

по степеням

в,

равный

t

A

(<-“*)

dn <p (t )

R„ = R n (*,

e) =

s " - 1U - I)'! j e

—

dx.

(II.9.49)

dxn

Это же разложение (без остаточного члена)

мы получим, найдя

формальное

разложение

решения

у (t,

в)

по

степеням

в (но с

выделением

экспоненты

e {Ale)t).

Ввиду

(II.9.42)

справедлива

следующая

оценка R n:

(II.9.50)

Достаточное условие сходимости разложения (И.9.48)

при

оо

к искомому решению y{t, е) имеет вид

dnу (О

П-*оо

> 0.

(II.9.51)

dtn

мости данного разложения, так как в ином случае

общий член

ряда во второй квадратной скобке

в (II.9.48)

вк ( А - у +1

dk у (t)

dtk

не стремится

равномерно

по ^ к нулю при k ^ со .

Следователь­

но, условие

(II.9.51)

позволяет определить

радиус

сходимости

по в ряда (II.9.48).

Он

зависит,

таким

образом,

от свойств

что разложимость у (t , е ) в ряд по степеням е является

весьма

специфическим свойством этого решения.

Пусть, например, рассматривается скалярное уравнение

=

-

У +

? (*)>

V W =

г Ъ

•

(11-9-52)

Тогда d nyldtn = ( — 1)л/г!/(1 +^)л,

и ряд (II.9.48) имеет

вид

оо

1

У (t, е) = 2

£”^!

е

—

01 =

1.

(II.9.53)

(1

+ t ) n

п=о

Условие его сходимости

е” п\ ->•0,

/г -> оо

не

выполняется

ни

при каких е . Этот ряд расходится при сколь

угодно

малых

е ,

так что пользоваться

им при построении

решения

нецелесооб­

разно.

Вместе с тем заметим, что при любом конечном п мы

полу­

чим согласно выражению

(II.9.50) асимптотическую оценку

|R „ ||<

О ( г").

(II.9.54)-

Таким образом, мы имеем пример, когда асимптотическая

оцен­

ка такого вида, применявшаяся во многих

работах,

совсем

не­

эффективна при оценке погрешности

приближенного

решения.

том, что с ростом п> т. е. с увеличением числа

вычисляемых в

ряде (II.9.48)

членов погрешность полученного

приближенного

решения уменьшается.

Конечно,

можно

встретиться и с „хорошими"

случаями,

ког­

да ряд вида

(II.9.48)

по степеням

е сходится. Например,

пусть

в уравнении

(II.9.52)

<p(£) = sin£.

Тогда |ср(л) (£) ||= 1 при любом

п и условие (II.9.51)

выполняется при |е|<1. Ряд (II.9.48)

схо­

дится к точному решению при всех таких е.