книги из ГПНТБ / Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений
.pdfдих ш( S) - J C( E, Г,, О ) - Д ( ; )
(II.6 . 1 7 )
«>(&) = К(|, -о, 0) + а, - В, (()
Определим из этих уравнений Д , В и щ и v x. Пусть
т
A (t) = -^r j X ( £ , 7 ] , drt;0 )
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ъ |
(*■ Ч) = тдёГ J |
ГА & |
ч °) - |
Л1 (W dyi + |
А ( А |
|
||||||
|
|
|
По |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где hx (£) — произвольная |
функция. |
Это |
говорит о том, что по |
|||||||||
строение |
асимптотического |
разложения |
(II.6.14) не однозначно. |
|||||||||
Такое положение характерно для асимптотических теорий. |
|
|||||||||||
Выбор функции Д |
может |
|
быть выполнен по-разному. Будем |
|||||||||
считать, что Д = 0. Из |
второго уравнения |
(II.6.17) находим |
|
|||||||||
|
|
ъ г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B ^ = |
- k S |
У (5, |
ч |
0) |
|
|
(&. п) |
d -ц, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
ч |
|
|
|
ди> |
|
|
|
|
|
•°i& п) |
I |
г а , |
ч о ) + |
их |
В х(£) |
d~r\. |
|
|||||
w (£) |
Ж |
|
||||||||||
|
|
|
По |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогичным |
образом |
|
рассматривается |
система |
(11.6.16) |
при |
||||||
k = 2, 3,... |
и т. |
д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Системы с медленными и быстрыми |
переменными примени |
|||||||||||
тельно к задачам небесной механики исследовались |
Е. А. |
Гре- |
||||||||||
бениковым |
[21—25]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 7. Уравнения с малым параметром при старшей производной. Теорема А. Н. Тихонова. Асимптотика А. Б. Васильевой
В настоящем параграфе будут рассматриваться дифференци альные уравнения с малым параметром при старшей производной вида
|
|
e J w |
= F(~z < У’ о . -%- = |
/ ( * ’ У’ 0 . |
|
(II.7.1 > |
||||
где е > |
0 — малый |
параметр, z |
и у — п- |
и /я-мерные |
векторы со |
|||||
ответственно. Для |
системы |
(II.7.1) поставим задачу |
Коши |
|||||||
|
|
|
г (0, |
в) = z°, |
у ( 0 , е ) = у ° . |
|
|
(П.7.2) |
||
Обозначим |
через |
z(t, |
в) |
и |
y ( t , в) |
решение |
задачи |
(II.7 .1)— |
||
(II.7.2) |
на |
отрезке |
|
|
Полагая |
в (II.7.1) |
е = |
0, |
получаем |
|
систему |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60
|
F ( z , у, 0 = 0. |
= / ( z’ У' f ) |
|
( I I . 7 . 3 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
У (0) = у0 |
|
|
|
|
которая |
называется вырожденной. |
|
|
|
|
При |
исследовании систем |
вида (И.7.1) |
обычно решают сле |
||
дующие задачи: |
|
|
\z{t, s), |
у (t, г)} |
|
1) найти условия, при которых решение |
|||||
системы |
(II.7.1) — (II.7.2) будет |
стремиться |
при |
в - * 4 -0 |
к реше |
нию |z(t), у {t)\ вырожденной |
системы (II.7.3); |
|
|
2 ) построить алгоритм асимптотического приближения по па
раметру е решения (z ( t , |
г), у (О е)| с точностью 0 ( ел+1 ), |
рав |
|||
номерного |
относительно |
f e[ 0, |
Г], |
где п — любое целое |
число. |
Первая |
задача была решена |
А. |
Н. Тихоновым [114], вторая— |
А. Б. Васильевой [15].
В дальнейшем при рассмотрении этих задач будем придержи ваться изложения, принятого в [15].
Формулировка теоремы А. Н. Тихонова
I. Пусть функции F (z , у, /) и f ( z , у, t ) непрерывны и удов летворяют условию Липшица по г и у в некоторой открытой области G пространства переменных (z, у, /), т. е.
F ( z , у, t) еЫрг у (v, G), f { z , у, *)eLipi>y(v, G) (v = const).
II. Уравнение F (z, у, £) = 0 разрешимо относительно z в не
которой ограниченной замкнутой области D пространства пере менных (у, t), причем корень z = o ( y , t) уравнения F ( z , y , t ) = 0 удовлетворяет следующим условиям:
1 ) функция © (у, t ) непрерывна в D,
2) если (у, /)6 Д то (<р (у, t), у, t)eG , _
3) корень 0 = ©(у, t ) является изолированным в D, т. е. су ществуем у > 0, такое, что F {z, y,t)=F 0 при 0 <|| г — © (у,O IK 7], (у, t ) e D .
III. |
Система - ^ г = / ( ? ( у , |
0 . У. 0 . У (0) = У0 имеет единствен |
|||||||||
ное |
решение |
на отрезке |
0 < ^ < 7 \ |
причем при |
^ е [0, Т\ |
||||||
(у (О, |
О 6 А гДе D — множество |
внутренних точек области D. |
|||||||||
Далее |
потребуем, чтобы /(©( у, |
0 . |
У. |
* ) 6 Lipy (у. D). |
|
||||||
|
IV. |
Система |
вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г*»/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 f |
= /Д |
У. 4 |
т> ° . |
|
(П.7.4) |
||
где |
у и / |
рассматриваются |
как |
параметры, |
принадлежащие об |
||||||
ласти |
D, |
называется |
присоединенной. |
Очевидно, |
решение |
61
z = v(y, t) присоединенной системы в силу условия II является изолированной точкой покоя системы (II.7.4) при (у, t) zD. Тре
буется, чтобы точка покоя z = ср(у, t) была асимптотически ус
тойчивой |
по |
Ляпунову равномерно |
относительно (у, |
t ) e D , |
т. е. |
|||
для любого |
о > |
0 существует 8 = |
8 (а), |
не зависящее |
от (у, |
t)eDr, |
||
такое, что |
если |
2 ( 0 ) - ? (у,t) |
< 8 |
(а ), ТО*} |
|
|
||
|
|
|
zC O - ®(у, t) |
< |
а, |
|
|
|
|
|
|
z (т) -> ф(у, t), |
X |
оо. |
|
|
V. Рассмотрим теперь присоединенную систему (II.7.4) пр
t = 0, у '= у ° и начальном условии z(0) = z°, т. е. пусть
|
|
4 4 |
= |
|
у», о), |
г (0) = г°, |
т > 0 , |
|
|
(II.7.S) |
|
где 2°, |
у0— величины, |
входящие в условия (II.7.2). |
|
|
|
||||||
Очевидно, |
точкой |
покоя системы |
(II.7.5) |
будет |
точка |
||||||
2г=ср(у°, 0). |
Начальное значение z0 |
принадлежит области |
влия- |
||||||||
|
|
|
л/ |
|
|
если решение задачи |
(И.7.5) |
удов |
|||
ния точки покоя 2 = ф (у0, 0), |
|||||||||||
летворяет условиям: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) z ( т)-*<р(у0, 0), |
х->оо; |
|
|
|
|
|
|
||||
2) (z(t), у», o)eG, |
- > 0 . |
|
|
|
|
|
|
||||
Теорема |
11.14 |
(А. |
Н. Тихонов). |
При |
выполнении |
условий |
|||||
I — V |
найдется |
такое |
е0, что |
при |
0 < е < £ 0 решение |
z ( t , s)v |
|||||
у (t, в) |
задачи (II.7.1) — (II.7.2) |
существует |
на отрезке 0 |
|
|
||||||
Это решение |
единственно и удовлетворяет предельным равенствам. |
||||||||||
|
|
|
limy(^, e) = y(t), |
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
е-0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim z { t , |
е) = |
z{t) = |
ср(у (^), t), |
0 < £ < 7 \ |
|
|
|
|||
|
е-0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство |
этой теоремы |
подробно |
изложено |
в [113], по |
этому мы его здесь не приводим. Обратим лишь внимание на то
обстоятельство, что решение |
у (t, в ) |
стремится при в |
0 к ре |
||||||||
шению |
у (t) |
вырожденной |
системы |
равномерно |
на |
отрезке |
|||||
0 < * < |
1\ а решение z { t , в ) |
стремится при в |
—>0 |
равномерно к |
|||||||
решению z ( t ) вырожденной системы лишь на отрезке |
|
||||||||||
где |
t* |
> 0. |
Это |
связано |
с тем, что |
при |
t = |
0, |
как |
правило, |
|
т, у |
*) Заметим, |
что |
решение z |
присоединенной системы |
(II.7.4) — функция от |
||||||
и t. |
Однако здесь |
зависимость от параметров |
у и t не указывается. |
62
£(0, е) = z° ф z (0), поэтому в окрестности точки t = 0 решение
z ( t ) не |
может |
служить |
приближением |
для |
решения |
z ( t , г). |
|||||||||
В этом |
случае |
говорят, |
что |
в окрестности точки |
t = |
О |
имеется |
||||||||
зона |
пограничного |
слоя. Естественно поставить вопрос о возмож |
|||||||||||||
ности |
построения |
равномерного на всем |
отрезке |
O ^ t - ^ T |
при |
||||||||||
ближения как для |
у (t, е ) , так и для |
z (t, |
г), |
и более того, |
найти |
||||||||||
асимптотическое разложение |
функций у (t, |
е) |
и z ( t y е) |
по малому |
|||||||||||
параметру е, равномерное относительно ^е[0, |
Т]. |
|
|
|
|
||||||||||
Один из таких алгоритмов был |
разработан А. Б. Васильевой. |
||||||||||||||
|
|
|
|
Асимптотика А. Б. Васильевой |
|
|
|
|
|||||||
При построении |
асимптотики |
предполагаются |
выполненными |
||||||||||||
более сильные требования, чем в теореме |
А. Н. Тихонова, а |
||||||||||||||
именно: |
|
F (z, у, t) |
и f ( z , у, t) |
|
|
|
(п + |
|
|
||||||
I. |
Функции |
считаются |
2) |
раза |
|||||||||||
дифференцируемыми по всем аргументам в области G. |
|
|
|||||||||||||
II. Требования II, III и V |
теоремы |
А. |
Н. |
Тихонова |
остаются |
||||||||||
без изменений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
III. Требование |
IV об |
асимптотической |
устойчивости |
равно |
мерно относительно (у, t) С D точки покоя z = у (у, t ) присое диненной системы (И.7.4) заменяется более конкретным условием устойчивости по первому приближению, т. е. пусть
А (<) =/- , О о (*), |
о . |
где у (/), г (t) = (у (t), £)—решение вырожденной задачи (II.7.3)
— (II.7.4), а X (t) — корни характеристического уравнения
det \FZ(t) - X Е] = |
0. |
Требуется выполнение условий |
|
R e \ (t) < 0 , 0 < * < 7 \ |
i = T T n . |
Введем обозначения |
|
|
|
|
х = |
\ у ) ' |
Т = ^ - |
|
|
|
Асимптотическое разложение решения задачи (II.7.1) |
— (II.7.2) |
|||||||
согласно А. В. |
Васильевой |
ищется в следующем виде |
[15]: |
|||||
|
|
|
x ( t , e) = |
x ( t , |
s ) - f Пх(х, |
е), |
(II.7.6) |
|
где |
_ |
|
_ |
__ |
|
|
_ |
|
|
х (t , е) = л:0 (£) -j- £ |
( 0 |
+ ••• + 8* Xk (t) + ••ч |
(II.7.7) |
||||
|
П х (т, |
е) |
= ГГ0 х ^х) -}- еТТх (х) -j- . . . -|- |
х (т) -j- ... . (II.7.8) |
||||
Подставляя |
(II.7.6) в (II.7.1), |
находим |
|
|
63
• з г + ^ - ^ ^ + п *. у + п У' О
(II.7.9)
+ - ^ = е/(г + Пг, у + Пу, t)
Правые части уравнений |
(II.7.9) |
запишем в форме |
F = F |
+ IIF, |
/ = / + П / . |
Это делается следующим образом (преобразование приводится
только для функции |
F): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
F ( z + T l z , |
у + Пу, |
t ) |
= |
|
F(~z(t, |
е), у it, |
е), |
0 |
+ |
|
|
|||||||||
|
|
+ |
[F ( z (те, |
e) + |
Tlz(x, |
e), |
у (те, s) |
+ Пу (т, |
e), те) |
— |
|
|
||||||||||
|
|
|
— F ( z (те, |
e), у (те, |
е), |
те)] = F + |
П/\ |
|
|
|
|
|
||||||||||
Учитывая (II.7.6), представляем теперь F и П/7 в виде рядов по |
||||||||||||||||||||||
степеням |
е: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) |
F = F ( J z ( t , |
е), |
у (t, |
г), t ) |
= |
F ( z 0{t) — sz i(t) |
- f ••• + |
|
||||||||||||||
|
-f |
eft |
(t) -f |
■ |
У0 ( 0 |
£ Ух[t) |
|
+ |
.. •+ |
£* yk (t) |
"f |
|
••, |
t) |
= |
|
||||||
|
= |
F(~z0 (t), y0 (t), |
* ) 4 - е | Л ( 0 |
M O |
4-^'>(*))'i(*)] |
+ |
|
|
||||||||||||||
|
4 - ... 4 - |
£* |
(*) |
^ ( 0 |
+ |
|
(О У* ( 0 |
+ F k ( 0 |
] |
|
+ •••!= |
|
||||||||||
|
|
|
|
— F 0 4~ £ F\ 4~ •••4~ £ |
k ~r ... '•> |
|
|
|
|
(II.7.10) |
||||||||||||
здесь |
матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fy V) = |
d F l |
\ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dyj |
) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
вычисляются |
в точке |
|zQ{t), |
yQ(t), |
tfj, |
a |
F k (t) |
— известные |
век- |
||||||||||||||
тор-функции, |
выражающиеся через функции |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
z ^ t ), |
У*(0. |
* = |
0, |
k — I; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 ) |
T I F = F ( г |
( т е , |
г ) |
4 - П |
|
г ( |
т , |
е ) , |
|
у |
|
( т е , |
е ) |
ф - Н у |
||||||||
— /7 ( ^ ( т е , |
е), |
у (те, е), |
те) |
= |
F ( z 0 (x, |
г) |
4- е z t (те) 4- |
... - f |
в* z k ( т е )+ |
|||||||||||||
|
|
+ |
... 4 - П0г ( т ) |
4- eHj z (т ) |
4- |
... |
4- |
е* П Л z (т) |
4- . . . , |
|
|
|||||||||||
Уо (х£) + |
£ У1 (Т£) + |
••• + |
£* yk(Х£) + |
... 4- П0 у (т) - f |
е п ху (т) 4- |
|
4-... -f £* П* У (х) + ••• ■>х£) — F ( z 0 (Т£) 4~ £ z i (хг) 4-.-.4-£*z k (Х£)+--->
Уо (Т£) + £~У\(Т£) + ••• + £* Ук (Т£) + ..., Х£) =
[/7(10(0)4-П02:(т), Уо(х))4-П0у(т),о] -F fo (O ), Уо(0), 0] 4~
64
|
|
+ |
\е.FZ |
( ' |
с ) |
^ |
|
£ |
(Fхy) ( т+) |
П у 1( |
х |
) |
+ |
|
( |
х |
) |
] |
+ |
. . |
. - } |
- |
|||||
|
|
+ |
ek [Fz |
( |
х |
) |
I |
I |
ft г |
( Fyx ) ( x +) |
I |
I |
ft |
у |
( GkX ) + ( |
x |
) |
] |
|
+ |
. |
. . |
= |
|
|||
|
|
|
|
= |
|
П / + П / + . . . + |
П ^ + . . . ; |
|
|
|
|
|
|
(II.7.11) |
|
||||||||||||
здесь |
матрицы F z ( |
x |
) |
и F y ( x ) |
вычисляютсяв точке U |
o |
( |
0 ) |
+ |
I T |
0 2 : ( x |
||||||||||||||||
y0 (0) |
-f- П0у ( |
x ) 0), |
а вектор-функции |
Gk ( |
x ) выражаются |
через |
|||||||||||||||||||||
функции П£л:(х), |
i = |
0, |
k — 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Таким образом, систему (II.7.9) |
можно |
представить так: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
+ |
^ |
|
= ? |
+ п ^ ' е^ |
+ ^ |
г |
= £/ + |
|
еП/- |
("-7-12> |
||||||||||||||
Подставляя в эти уравнения разложения (II.7.8) |
|
и |
(П.7.10) — |
||||||||||||||||||||||||
(II.7.11) |
и приравнивая |
коэффициенты |
|
при |
одинаковых степенях |
||||||||||||||||||||||
е (причем отдельно зависящие от t |
и от х), находим |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
0 = |
F 0 = |
F ( z 0 (t), |
у0 (t), |
<), |
-Щ |
р - |
= / 0= / ( 2 0 (О; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Н.7.13) |
|||
|
|
|
= |
П0F = F |
( |
г |
0 |
( 0+) П„г, |
у |
0(0) + П„у, 0 |
) - |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
- F { z o ( 0 ) , |
J„(0), |
0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(II.7.14) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^п0у _ Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
= |
|
F * = |
Fz (t) z k + F y (t) yh + F„ (t) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(II.7.15) |
|||
|
|
|
4 е |
г= |
Л = |
|
Л |
|
« ) |
* * |
+ |
7 |
|
, |
<<) у , |
|
+ |
|
Л |
(<> |
|
|
|||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. (II.7.16) |
|||
|
|
|
|
= пk-l f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
С |
помощью уравнений (II.7.13) — (II.7.16) |
можно последовательно |
|||||||||||||||||||||||||
определить функции y^t), |
z t (t), П; у и Пt z, |
если |
|
присоединить |
|||||||||||||||||||||||
к ним определенные начальные условия. |
Для |
этого |
рассмотрим |
||||||||||||||||||||||||
равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
г 0 (0) Т" еz x(0) |
-j- ... -f- П0 z (0)-f- |
ent z (0) |
4- |
... = |
z |
, |
|
|
|
||||||||||||||||
|
Уо (0) + |
£ У\ (0) + |
•••+ |
П0 у (0) -f- ent у (0) + |
... = |
у . |
|
(II.7.17) |
|||||||||||||||||||
Отсюда |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
i 0 (0) |
+ |
П0.z (0) = 2°, у„ (0) |
+ |
П„у (0) = |
у0. |
(Н.7.17') |
5 —217 |
65 |
Так как для z0 (t) не обязательно задавать дополнительные ус ловия, то из (II.7.17') находим
Уо(0) = уо, П0 у (0) = |
0, |
П0z (0) = z° — z 0 (0). |
(П.7.18) |
Следовательно, согласно (Н.7.14), |
|
|
|
п о У ( ^ ) = 0 , |
х > 0 . |
|
|
Далее |
|
|
|
^ f = F (z 0 (0) + П02, |
у0, |
0), г »(0) = «р ( у0, 0). |
(11.7.19) |
Эта система получается из присоединенной системы, если в пос-
ледней |
положить |
z = |
z (0) + П z. Точкой |
покоя системы (II.7.19) |
|||||||||||
является |
асимптотически |
устойчивая |
точка |
n oz = 0 , а |
начальное |
||||||||||
значение |
n oz(0) = z° — z0(0) принадлежит области |
влияния |
этой |
||||||||||||
точки. Поэтому n oz(x)-> 0 |
при х -> оо. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Далее |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zt (0) + |
n tz (0) = 0, |
у х(0) + П,у (0) = 0. |
(II.7.20) |
|||||||||
Из |
(II.7.15) находим |
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(т) = |
n oyt (0) + |
J |
П0f ( s ) d s . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
Так |
как |
предполагается, |
|
что |
пограничные |
функции |
стремятся |
||||||||
к нулю |
при х-*со, |
то |
из |
этого |
равенства |
получаем |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П1У (0) = - |
J П0/ ( s ) d s , |
|
|
|
|
||||||
т. е. |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
||
|
|
|
П!У(т) = |
— |
|
|
|
у х (0) = |
(5)ds. |
|
|
||||
|
|
|
f П0/ (s) ds, |
J п0/ |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Затем |
полагаем |
(0) = |
— z x(0). |
Для |
нахождения |
функций |
|||||||||
|
|
|
П *У М , |
|
zft(*), |
Пk z ( t ) , |
k = 2 , |
3, ... |
|
||||||
используем следующие дополнительные условия: |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У *(°) = J K k_ l f (s)ds, |
n ft z(0) = |
— zk (0), |
|
|
||||||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п * |
- |
У х ) ( |
-0 , |
х |
|
|
о о . |
|
|
|
|
При этих |
условиях |
члены |
асимптотического |
ряда |
(II.7.8) |
будут |
|||||||||
определены. |
|
|
|
|
|
|
При |
выполнении условий |
|||||||
Теорема 11.15. (А. Б. Васильева). |
|||||||||||||||
I—V найдутся постоянные |
е0> 0 и с > |
0, |
такие, что при 0 < е < е а |
66
решение [z(t, г), y ( t , е)} задачи (II.7.1)—(II.7.2) существует на
отрезке |
единственно |
и удовлетворяет |
неравенству |
|||
II х ( ( , |
* ) - X n (t, |
е)!|| |
i 6 [О, |
Т\, |
|
|
где |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*„ (< , о = 2 |
t * p t (<) + |
n ^ ( o l . |
|
|||
|
ft= 0 |
L |
|
J |
|
|
Доказательство |
этой теоремы весьма |
подробно |
изложено в |
|||
работе [15]. |
|
|
|
|
|
|
Заметим, что рассмотренная |
методика |
построения |
асимптоти |
ческого разложения решений дифференциальных уравнений рас пространяется и на интегро-дифференциальные уравнения [15, 43].
§ 8. Метод возмущений С. А. Ломова |
для сингулярных задач |
В этом параграфе излагается метод |
возмущений, развитый |
С. А. Ломовым [65—68] для асимптотического построения реше
ний различного типа сингулярных задач (обыкновенные |
диффе |
|||||||||||
ренциальные уравнения, уравнения |
в частных производных, ин |
|||||||||||
тегро-дифференциальные уравнения). Мы |
изложим |
эту |
теорию |
|||||||||
для систем |
линейных |
дифференциальных |
уравнений |
с |
малым |
|||||||
параметром |
при производной. |
|
|
|
|
|
|
|||||
1. |
|
Формализм построения асимптотики по С. А. |
Ломову сос |
|||||||||
тоит |
в следующем. Изучается задача |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
£ ez' = |
A0 (a ) z + |
Д (А') у + |
h, (a ), |
z (0, |
е) = |
г° 1 |
|
|||
|
|
|
\У' = |
A 2 (x ) z + |
Аг (л)у + |
/?2 ( а ), |
у (0, |
е) = |
у 0 J |
|
||
при |
£ |
-f 0. Здесь 2 |
и у — векторы |
размерности |
п и т |
|
соответ |
|||||
ственно, |
матрицы At (а) и векторы hk (а) предполагаются диффе |
ренцируемыми на отрезке 0 < С х - ^ а достаточное число раз. Предположим, что корни ХДа), ..., Xп(х) характеристического
уравнения
det |А0(а) — Х£ |= О
на отрезке [0, а] различны и ни один из них не равен нулю. Умножив второе уравнение системы (II.8.1) на в и введя
обозначения
г |
|
Л (*) |
Л, (А) |
/г, (а)\ |
и = |
А (А, г) = |
|
h (а , в) = |
|
У |
|
еА2(х) вА3(а ) |
eh2 (х)1 |
|
запишем (II.8.1) |
в виде одного уравнения |
|
||
L zu (а , |
е) = |
ей' — A (a , в) и = |
й (а , б), |
и (О, £) = и°. (II.8.2) |
Расширим исходный оператор Z6 следующим образом. Введем дополнительные независимые переменные tv ..., tn по формулам
67
|
|
|
= |
0 |
|
|
= |
|
|
s), |
i = U n |
|
(H.8.3) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
рассмотрим |
некоторую |
„расширенную1 функцию |
и(х, |
t, s), |
|||||||||||
t = * ( t v ..., tn) y обладающую свойством |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
«(*> |
s)| и = ь |
(х в)==и{х, |
в), |
|
|
(Н.8.4) |
|||||||
т. е. сужение функции и ( х , |
t, в) |
при |
условии |
(II.8.3) |
должно |
|||||||||||
совпадать с и ( х , г)-решением задачи (II.8.2). |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Дифференцируя соотношение (Н.8.4), находим |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
а ' (* . г) = | т + - r D <“ • D <= 2 М *> |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г = 1 |
|
|
|
|
|
Тогда для |
определения функции |
гг(х, |
t, |
в) |
естественно |
поста |
||||||||||
вить следующую задачу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
L'U = |
-\-Dtu — Л (х, в) а = |
/г(л", |
е), |
w (0, 0, |
в) = гг0. |
(II.8.5) |
|||||||||
|
Задача |
по определению функции |
а (х, |
в) из (II.8.5) являет |
||||||||||||
ся |
уже регулярной |
по в при |
в -> 0, |
так |
как |
при |
в = |
О |
задача, |
|||||||
получающаяся из (II.8.5), разрешима. |
Однако при в -> 0 |
в наших |
||||||||||||||
условиях |
|tt |-> оо, |
т. е. сингулярность |
по в перешла в сингуляр |
|||||||||||||
ность по t. Поэтому задачу (II.8.5) |
необходимо |
решать |
во |
всем |
||||||||||||
пространстве переменных |
t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Учитывая это замечание, будем искать решение (II.8.5) |
в ви |
||||||||||||||
де обычного формального ряда теории возмущений: |
|
|
|
|||||||||||||
|
и ( х , t, |
в) = |
2 |
(•*’ |
*) = |
UQ(*» 0 |
+ Ш\(* . о |
+ |
|
(II.8.6) |
||||||
|
|
|
i= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
u.(x, |
t) = {Zt {x, |
t), |
yt (x, |
t)} |
|
|
|
|
|
Подставляя разложение (II.8.6) в (II.8.5), находим для определе ния функций z 0 и у0 задачи
L zq==Dt z0 - А0 (х) z0 = h{ (х) + |
Л, (*) у0, |
z0 (0, 0) = z° |
||||
Dt У0 |
= |
°. |
Уо (°> °) |
= У° |
, (II.8.7) |
|
|
||||||
а для функций z k (х, |
|
/), |
yk (х, |
t ), |
k > 1 |
— |
68
Lzk = Д (х) yk - |
дг |
|
f Zh, 0f 0) = 0 |
||
Dt Ук ^ A (x ) z k-i + |
Л (*) Ук- 1 - ~ ^ Г + И к - М \ |
|
уA° . 0) = |
(II.8.8) |
|
° |
||
_ |
(Л2 (л:), |
A = 1 |
Я *-1 (* ) = | 0 , k > 1
Теперь возникают следующие проблемы: 1) доказать разреши мость задач (II.8.7) и (II.8.8) в целом; 2) показать, что сужение функции
|
к |
|
|
|
|
иtk (X) t ) 2 ) |
£ iif (л:, |
t) -f- £ |
^k+i |
|
i=О |
|
|
|
|
^к+\ |
^ |
У*-И |
^)} |
при |
е) является |
формальным |
асимптотическим решени |
ем исходной задачи (II.8.1) и дать соответствующую асимптоти ческую оценку по е близости решения задачи (II.8.1) и функции
и гк (•*» £) — U t k ( * ’ |
£) It t =ф£ ( х , г) • |
Крешению этих задач мы и переходим.
2.Сформулируем следующие четыре задачи, которые оче видным образом связаны с задачами (II.8.7) и (II.8.8).
Задача |
1. В области |
ф | 0 < л :< я , |
|^|< оо, |
£ = 1 ,л | |
опре |
|||||||
делить функцию z ( x , t ) = [ z x{x, |
t), |
..., z n(x, £)} |
из условий |
|||||||||
1) |
L z ( x , t) = |
D tz — A^(x)z = |
hx{x, |
/), |
z(0, 0) |
= |
z°; |
(II.8.9) |
||||
2) |
если |
все R e X ^ X O , |
то z ( x , |
t) |
ограничена |
при |
|-►°° |
|||||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D t = M * ) |
^ |
|
■" К (*) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
t = |
( t v |
..., |
tny |
|
|
|
|
|
a \ (x )%•••» |
^a (x) — простой |
спектр |
матрицы A0(x) |
(все |
корни |
|||||||
Xt (л:) различны и ни один из них не равен нулю). |
Найти |
соот |
||||||||||
ветствующие ограничения на функцию hx (х, t). |
|
___ |
|
|||||||||
Задача |
2. В области |
Q | 0 < * < a , |
|^|<оо, |
i — 1, nj |
опре |
|||||||
делить функцию |
у ( * , |
^) = |
( (-дс, t), |
..., |
ут (х, t)} |
из условий |
||||||
1) |
D ty(x, t ) = f l (x, |
t); |
у ( 0 ,0 ) |
= |
/ ; |
|
|
(II.8.10) |
69