книги из ГПНТБ / Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений

1

д 3Х

1 3

1 3

1

w,

—

3!

ду3

2

2

иуи/“ |-у-/-1+*’ * + 1 Г ^ Т ) Г *

ayг- i

*"1

у=1

/=1

_ £ ffiK

_ ^ 2 K

_______ dui- 1

М з О - г , - ^ )

dy ■* /-2

dy ■* г-з

dy

(/ = 4,

5,..., £),

{

dw.

9 d«„

* < 4 l _1

X

/ +

£ ~d7+ e 'd^'i------ +

1

dy

dX

.

1

d^X

v

, 1

д * Х ^

У

,

X dy

Mft +

2!

dy2

2 uj u k - j ^ r

3!

* dy3

2 2

Uj UiUk - j - i

+

y=i

;=i

/=i

+ S

V

ft..2

Uj Uk-]+2~\--------И « ft

j =2

1

dft_1

.Y

2 * * *

2

uh uh " ub- *1------*ft-2+ i +

+ (k — 1)! *

ауй- 1 '

i,=l

lk -2 =

1

с.

, ,

v

d.Y

.

1

d2A

г- 2

,, ,,

I

'ЧЛ

^ l - 1 (^ ’

У)

— d y Mi - i " ^

2!

’ dy2

2

“ У " * - / - 1

у=1

1

з,, г-з г-з

d АТ

2

2

uj uiui -

j

-

i

(/— 1)!

+ 3!

*

а/

dyi_1

1

;=1

г=1

__у

_______ ди^

у

___

ди,

^ о (У )

(* — 2 , 3,...,

£ 1).

ду

*

г- 2

ду

‘

з

dy

Систему для определения

функций г^ (£, у) можно записать так:

dtfj

=

* ( * , у ) - г 0(у),

(II.5.21)

~аГ

причем предельные соотношения

(II.5.24),

(II.5.25), (II.5.28)

будем

считать выполненными равномерно по yeD, т.

е. вместе с

необ­

ходимыми производными по

у существуют функции а0(£), ol (t)

(i = 1, k )

такие,

что а0(^),

а£

(t )

0 при

t

оо

и

*

‘

[Л’ (S,

у)

-

(У) ] ds <

*а0 (*),

*

^о(у) J ds <

t%i (t)

(i -----

\ , k - l),

j

[^ _ !

(S,

У) -

0

L

j

[ Y k ( s > У»

£) -

* % ( У ) ] d s <

*a* (*)•

\\Х (t,

у х)—Х {t, y2)|j < Х0 ||у, -

у2||.

Тогда функция Х 0(у)

также удовлетворяет

условию

Липшица с

той же самой константой Х0. Из соотношения (II.5.26)

имеем

£M * , y i ) - e « 2 ( ^ y 2)||=

ej* {X (s, Vi)

X (s, y2)

—

- ^ о ( У 1 ) + ^ о ( У 2) 1 ^

c 2ZX0 Цу, — y2||.

Легко убедиться в том, что функции s2u2 (t,

у),..., в*

uk (t, у)

dl 1Х < A f ( i = 2 T k ) -

д у 1

1

Рассмотрим вме:те с уравнением

(II.5.20)

укороченное

урав­

нение

%

= ^ , ( у )

+ г2 Г1( у )+ - - - + е* Г ,_ 1(у )+ Е*+1 К,(у).

(II.5.29)

Пусть

yt {t)

и у£ (/) — решения

систем (II.5.20)

и (II.5.29) со­

ответственно, удовлетворяющие одному и тому же

начальному

условию У£ (0)= у£ (0) =

х 0.

Очевидно, что

х {t) — У (О

£Mi

у)

+ • * • + £* uk (^

У)

является

решением

системы

(II.5.18),

а

* ( * ) =

У (0

+

(*. У)Н------ К £* и* (*,

у)

— асимптотическим

приближением

порядка

(&-}-1)

к точному

решению.

Оценим

разность

II x {t) -

х (t) (I <

|у (t) — у (t)|+

р |у (t) -

у (*)] =

=

(1 +

р )|| У {i)

~

У U)||>

где

[х — сумма

всех

констант

Липшица

для

функций

BUV в2 М2,..., Вk .

Положим

_

В (0

=

* « - Л М .

Тогда

функция

u (t) является

решением

уравнения

du

_

е У 0 ( У (t) + zk u) — е Г ( " у ( 0 )

,

. 2

У г ( у +

е* и ) -

И ( у )

+

= -------------------I*-------------------+ £

7*

+ .*

+ . [ ? s (у +

в ) _ ? щ +

+

£ Уit (Л У -г £* и,

£) — Ук (у + £*^)],

и (0) = 0.

Произведем

замену:

Т =

to,

du

Y0 (У + £* м)

~ -

Г0 (у)]

£ k +

[ ^ (У +

£*

— У\ (у) J £

fe+1-f"

d i

Н--------Ь [ Гй_!

(у + £* и) — Yк _ х (у )] е

1 + Г ’й( у + е * и )

—

“ Гл( у ) +

Yk (t,

y +

ek U , e ) - ? k (y

+

ek u),

[(11.5.30)

\\u£ ( t ) - u 0(t)\\<ri,

(И.5.31)

где

uQ{t) — решение

уравнения

du

W0{t, x, h),

(II.5.32)

удовлетворяющее

начальному

условию

w(0) =

0;

WQ{t,

x , h)

определяется соотношением

+ £«)-к„

5

т

l i mf

e

= j

^ o (s,

y,

u) ds.

ds

||и (*)|| < Ч

т. е.

_

I у (0

у(*)|| < ^ k ,

а искомая разность оценивается так:

\ \ х а ) - х ( 1 ) \ \ < ( \ + ^ щ к .

Значит, справедлива следующая теорема.

Теорема НЛО. Пусть функция X ( t ,

х) определена

в области

Q { t ^

0, x g D\

и пусть в этой области:

1)

X (t, л:)

непрерывна по t, а по х

имеет ( £ — 1)

ограничен­

ную производную

dxi

X

'

2) предельные

соотношения

(II.5.24),

(II.5.25)

выполняются

равномерно по yeD.

Тогда для любого &> 0 и Z, > 0 на отрезке

0

бу­

дет выполняться

неравенство |x(t) — х (/)|| <

.

4.

Приведем

еще

один алгоритм

[112] построения высших

приближений для систем вида

х =

еХ (t,

X (0) =

Х0.

В качестве первого

приближения

берется решение ус­

редненной системы

Si =

e * 0(S,),

?!(0) =

Х0,

X Q(x)

=

1

Т

lim

х) dt.

Т-+оо

v

v x {t)

=

е j [X (х,

(т)) — *

0 (*t (х))] dx,

их (t) =

s

d*o (5i (0)

и1 (^) + е

£l (t) +

( 0 = ^-1 (*) +

(*) +

uk - 1 (*)»

где

( 0 = е J* [ *h-(iт (>х ) )

—х ( х ’

^ —2 ( х°)а+- 2 ( х ) )

0*о (^i (т))

«*-2 <Т)

dx,

Имеет место следующая теорема [112].

выполнены

Теорема 11.11. Пусть в

области Q { t ^ 0, x e D }

следующие условия:

1)

функции X (t, х),

дХ

х^- непрерывны по t

и удовлетворя­

ют условию Липшица по х

X ( t , x)eLipx (N,

Q),

д х $ ; х)

6 LipJ N , Q);

2)

в каждой точке x e D

существуют

пределы

lim 4- f X (t,

x) dt

= X , (x),

ax

=

Mm 4-1 дХ(^

я>

dt.

т - ~ т I

't~ ~ t

X 0 (x)eLipX(N, Q),

dX°d[ f

e LiPjr(N,

Q);

3)

решение

усредненной

системы

для

%\{t)

опреде­

лено

для

всех f > 0

и лежит,

как

и Ik {t),

в

области

D

с

не­

которой р-окрестностью,

причем

| | *o (S i(f))| | < W ;

4)

если

^ =

© (t, с), ср(0,

с)

=

х0 — общее

решение

усреднен­

ной системы, то

дер

/дер \

1

дс

( д с

)

Тогда для любых tj> 0, Z, >

0

можно

указать

такое

е0,

что

при £ < в 0 на отрезке

0 < ^ < Z s -1 будет выполняться неравенство

<

1

(1

t]k eNL

const.

+

l) ft-И

Подробное

доказательство

этой

теоремы

изложено

в рабо­

те [112].

§ 6. Усреднение систем с быстрыми и медленными

переменными.

Асимптотические разложения

Система

вида

х — г Х (t , х, у, е)

(П.6.1)

У = У (t ;

х,

у) -f

zF{t, х, у, в)

называется

системой

с

быстрыми

и медленными

переменными

(здесь

х = [х г , ..., х п } — вектор

медленных

переменных,

у =

= {У1 >•••> Ут) — вектор быстрых

переменных).

Полагая

в (П.6.1)

е = 0 ,

находим

* = 0 ,

y

=

Y { t , x , у).

(П.6.2)

л: = const,

у =

ср(£, х,

с ),

(И.6.3)

где с — произвольная постоянная.

Тогда

систему

(И.6.1) путем

элементарного преобразования

можно привести к

стандартному

переменных

у - * с. Легко видеть, что в новых

переменных

сис­

тема (II.6.1)

примет

вид

х = е Х

(t , X, ср (t, X,

с), в ) ;

с =

W * * * ’

с) ' г) — ^ х & х * ?. £)|-

Обозначая

правую

часть

второго

уравнения

системы

( I

I . 6 . 4 ) »

через zC(t,

х,

с, в )

,находим

х = еХ (*, х ,

« (t,

X,

с), в ) ;

с =

вC(t,

х ,

с ,

в ) .

Полученная таким образом система (II.6.5) является системой

стандартного вида. Поэтому доказанные выше

теоремы

об

ус­

реднении для

стандартных

систем

на

конечном и бесконечном

промежутках

могут

быть естественным

образом

распространены

ными переменными вида (II.6.1).

Рассмотрим систему (II.6.1). Пусть

для

этой

системы

постав­

лена задача Коши

х(0) = х 0,

у (0) = у 0.

Для системы (II.6.5)

получим следующие

начальные данные:

л: (СП = лг0,

с (0)

- с0,

где с0 определяется

из

уравнения

Уо = ?

(0 , -Ко,

с0).

Пусть существуют

пределы

1

т

х, ср ( f

, x t

с), в

)dt = X 0 (x, с , в ) ,

(II.6.6)

l i m

yX it,f

П

т

1

т

с,

в ) dt

=

С(х0, с ,

в ) .

(II.6.7)

у

Г

С (t, х ,

? = вЛ’о (5, Ъ

е),

Ч = £С 0 (S, У, е),

(Н.6.8)

S (0) =

х 0,

у\(0) =

с0.

Согласно теоремам

об

усреднении

в

стандартных

системах,,

для любого 8 > 0

можно

указать

такое

в 0 , что при в

< ена0 от­

резке 0 < t < Z,s_1

будут

выполняться

неравенства

II* (?) -

М0Ц <

8.

|И <)-1(<)||<8.

< X (|U (<) _

5(t) |-i- ||t« ) -

1\(t) ||]

< 2X8.

Итак, на отрезке 0

Z.s-1 для

системы

(П.6.1) с быстрыми

■Хо (? , V, е ) .

rl =

( t , q, vj,

в ).

(II.6.9)

Сформулируем для этого случая одну из возможных

теорем

об усреднении.

X

(t, х,

Y (t,

Теорема

11.12.

Пусть

функции

у, в),

ас, у)

и

F (t, х, у, е) определены и непрерывны в области

Q { t ^

0, x e D lr

yeD2, 0 < s < о}

и пусть

в

этой

области:

1) функции X

и F

ограничены

и

удовлетворяют

условию-

Липшица

по а:

и у;

2) решение у =

® (t , х,

с)

вырожденной

системы

определено

в области

А { £:>0,

acgD15 cgP},

причем y(t,

х , c)gD2 при (t, х, с)еА

и частные

производные

dyjdx.y

д у 1/дс.

ограничены

в А и удов­

летворяют условию Липшица по а; и с, а в A det (д<?1,дс)~1= а 2>

0;

3) в каждой точке области

D x х

Р равномерно относительно £

существует

предел

lim

X (t, АС, Ф ( С

АС,

с), в)

dt = X Q( ас, с,

в).

(II.6.10)

Т-+00

а функция

Х 0

ограничена

и

удовлетворяет

условию

Липшица

по ас и с;

4) решение {£(£),

? (0) =

ас0,

tj(0)

=

c0 частично

усред­

ненной

системы

-1

? =

В ^ о

(5,

7j,

в ),

(II.6.11)

¥ (<,

Е,

т)),

дер

5, ? (<, <р,

7)), в)]

’ “

' Г *

[ F( t ,

определено

для всех

^ > 0

и лежит

в области D XX P

с

некото­

рой p-окрестностью,

и L > 0

Тогда для

любых

8 > 0

можно указать е0,

такое,

что

при 0 < е <

80

на отрезке

0 < t

< Z,e-1 будут

выполняться нера­

венства

И * ) - 5 ( * ) | | < 3 ,

||у — ? (t. S,

Щ < * .

Эта теорема

не требует

специального доказательства,

так

как

теоремы

и, кроме того, пусть:

x e D x, сеС

1)

равномерно относительно

/ > 0

,

и в

существует

предел

t-

lim -!fr X (^, х, с? (/, х, с ),

в) dt

=

Х 0 (х , с,

е),

(II.6.12)

Г-оо 1

равномерно асимптотически устойчиво

равномерно

относительно

£6 [0,

3j .

Тогда

для любого

0 < § < р можно

указать s0,

такое, что при

s < £0

для

всех

t^> 0

будут выполняться неравенства

II* (*) -

* ( Щ < 8, ||у It) - ? (*,

5 (t), ч (*))Ц <

Z= eX0 (Z, е).

(11.6.13)

Согласно приведенным

выше

рассуждениям, решение \(t )

системы

(II.6.13) на отрезке

0 < t < Z,s-1 будет

как угодно

точно

(при малом е)

аппроксимировать

медленную

переменную x { t )

системы

(II.6.1).

Более того,

системы (II.6.1)

и (II.6.13)

можно

усредненной

системы

(II.6.11)

и

непосредственно

установить

близость решений х и \ систем (II.6.1) и (II.6.13).

Этот

случай

рассматривался в

[ 19j .

Мы не будем

останавливаться на

дока­

зательстве этого

факта.

Наконец, еще раз похчеркнем, что методом

вариации

произ­

вольных постоянных система (II.6.1)

с быстрыми

и

медленными

переменными

сводится

к системе

стандартного

вида

(II.6.5),

ус­

редняя которую,

мы

приходим

к

выводу, что

усреднение

в

системах с быстрыми

и медленными переменными следует выпол­

Разумеется,

если для

(II.6.1)

начальные

чанные

заданы

при

t =

t0 и

общее

решение

(II.6.3)

записано

в форме y = y(t,

x t

i 0,

Уо),

У (to, х,

*о, Уо) = Уо. т0 среднее следует вычислять по

формуле (II.6.6)

вида (предполагается, что результат

не зависит

от

параметров t0, у 0)

рования системы

(II.6.1). Идея асимптотического

интегрирования

заключается

в том,

чтобы в системе

с быстрыми

и медленными

переменными

заменить переменные таким образом, чтобы в новых

переменных быстрые движения

были

отделены

от медленных.

Эта идея разделения движений

широко

использовалась в рабо­

тах

Н. М. Крылова и

Н. Н.

Боголюбова

[7—9,

78].

Примени­

тельно к системам с быстро вращающейся

фазой эта

идея под­

робно развита в работе [9|.

Итак, выполним в (II.6.1)

замену переменных

х — ?

£Ut (£,

^iXj-Ь е-й2 (?,

yj) -f- ...

(II.6.14)

У =

Д +

svl (S,

rj) + s2t>2 (;,

tj) -f ...

таким образом, чтобы система (II.6.1)

в новых переменных име­

ла

вид

£ =

вАх(£) 4- £2Л2 (£) + ...

(II.6.15)

1

ш(£) + г&\ (?) + £2В 2(?) 4- ...

здесь функции

ик , “Vk ,

Ак ,

В к ,

k =

1,

2,

3, ...

подлежат опре­

функций

ик , чзк , Ак ,

B k \

ди.

(Н.6.16)

(О(5)

dq

•О)

B k (h),

k — 1,

2,

здесь

— известная

функция, зависящая

от предыдущих при­

ближений до k — 1 порядка;

— известная функция, зависящая

от предыдущих приближений до k — 1 порядка и от uk .

При

k — \ система

(II.6.16)

имеет

вид