книги из ГПНТБ / Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений

Таким образом,

уже

при

анализе первого

приближения

х х (t , е,

(х) к решению системы

(II.9.37)

мы встречаемся

с

серь­

езными

трудностями

разложения по степеням е.

Ситуация

для

последующих приближений

может лишь

ухудшаться,

так

что

w

= P ( t ) x +

e f( t , х),

(II.9.55)

предположив, что f ( t ,

х) — дважды

дифференцируемая

функ­

ция х. Перепишем эту систему в ином виде (добавляя и

вычи­

тая

одинаковые члены):

£ = (р + е ^

) *

+

е

f i t , х)-

d f ( t , х)

X

(II.9.56)

дх

Для нахождения решения, обращающегося

в нуль

при

в = О,

построим последовательные

приближения

x k (t,

в),

& = 1, 2, . . . ,

определяемые уравнениями

dxk

d f ( t , x h- 1

х ь + e / ( * . Xk - l )

d f { t ,

x k _,)

dt

дх

dx

X k-l ’

(II.9.57)

*o =

0,

*Д 0 ) = 0.

~

=

Р х + ? (/)

(II.9.58)

в виде

x(t)

= L rf (t).

(II.9.59)

Тогда система (II.9.56) эквивалентна операторной системе

х = гЬ

d f (t,

х) X I

“р sZ, f i t , X ) - d f (t , x)

X

(II.9.60)

дх

дх

причем L — линейный

и ограниченный

оператор.

Если

ФДм),

Ф2(м )— скалярные мажоранты Ляпунова

по отношению

к д / / д х

и к функции внутри квадратных скобок

в (II.9.60),

то

соответ­

и, =

sp \иФ^ {и) -f- Ф2 (и)],

(II.9.61)

где р — число в оценке

(II.9.29)

оператора L.

Это

мажорирующее

уравнение позволяет доказать непосредственно сходимость

при­

ближений x k {t, е)

к точному решению исходной

системы.

Прав­

да, это уравнение

не отражает

характера

данной сходимости.

тей х к — х к_ х =

yk ,

& = 2,

3,

..., записывающиеся

в виде

dyk

d f ( t ,

x k _ x)

(II.9.62)

dt

Р —[—£

дх

У* +

здесь

я * ( г> У * -.)= / (< . * 4-2 + У*-11 - / p . ^ - г ) —

г> Уе-1'

(II.9.62*)

т. е.

в виде линейной неоднородной системы

%

=

0°

+

^

) У, +

(О,

(н-9-63)

где

— известные функции t.

Решение этой системы можно

выразить с помощью

некоторого

оператора L k,

зависящего от

функции

У*(*) = £*?*(*)•

(II.9.64)

Следует

отметить,

что эффективность

приближений х к (t, е) пол­

ностью

проявляется

именно тогда,

когда

мы умеем

находить

этот оператор, т. е.

умеем

строить

решение

системы

(II.9.63).

Но

во

всяком

случае,

если

известна

оценка

оператора L

(|| Z,cp |< р Цср|/),

дающего решение системы (II.9.58),

то мы можем

получить следующую

оценку

для

решения

системы

(II.9.63),

т. е. для

оператора L k :

||у*|| = ||£* ?* II < Г Г т /pTf] II n

II-

(11.9.65)

Таким

образом,

при малых г имеем ||У* |~ |

||*

Из

выражения для функции H k в правой части (II.9.62*)

вид­

но,

что |H k '|~~ |Ук-\ ||2- Следовательно, если учесть, что ||у1||~е,

то мы имеем оценки порядка

II У2II -

£ |У! II2 ~ £3, II Уз II -

£ |у2 II2 -

^

...,

(II.9.66)

’

оо

так

что последовательность [x k (t%в)}

или ряд ^

У* (С

£)

°бла-

й =1

дают так называемой квадратичной сходимостью. Убывание

по­

рядка величины |у* | сравнительно

быстрое. Например,

ограни­

чиваясь х г Ц, в),

мы пренебрегаем членами порядка £15,

а

огра­

ничиваясь х 6 (t,

е) — членами порядка s127.

Предлагаемый метод ускоренных итераций эквивалентен ана­

логу метода Ньютона в применении

к операторным

системам

w =

х'

У )•

гЧт= Y^'

У » -

X (0)

= х 0,

у (0) = у0,

0 < t < L .

Очевидно, полагая t = ет, эту

систему

можно записать как

систему с быстрыми и медленными переменными вида

% = еЛГ(<,

* , У),

х,

у),

- ^ - = 6 , (II.10.2)

х (0 ) = х 0,

у (0) =

Уо,

*(0) =

0,

0

< т < 1 е ” 1.

^ - = 0,

%

=

Y { t , x , y ) ,

- £ = 0.

(11.10.3)

Согласно терминологии А. Н. Тихонова,

система

(II. 10.3) есть

не что иное, как присоединенная система.

Пусть общее решение

системы (II. 10.3) известно:

У — У

х,

с),

х = const,

t = const.

Находим среднее

т

В работе [П показано,

что

если

среднее Х 0 не зависит от

с, то

X 0 (t, х)

= X ( i .

х,

ср(*, х)),

где © (if, х ) — изолированный положительно устойчивый

корень

уравнения V (t , х:, у) = 0. Точнее

говоря, справедлива

следую­

щая теорема

[1].

Пусть:

Теорема

11.24.

1 ) ■у= ср(^ х )

— изолированный

положительно

устойчивый

корень уравнения

Y (t , л:, у) = 0,

определенный в

некоторой

ную производную

по у (||дХ/ду Ц< М);

4)

среднее Х 0,

вычисленное согласно

(П.10.4),

не

зависит от

параметров с.

Тогда имеет место равенство

т

Нш ~Т I'*" (*>

У (х>

c ) ) d х = X

(С х, <?{t,

х ) у

(II.10.5)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В силу

теоремы

о среднем

имеем

1

т

~ ^ X ( t ,

х , у (т,

t, х , г))

d i = X (t,

х, о (t ,

jc))

-f

о

т

+ 4 * К ^ - )

[УСТ» ^

*)]dx,

(II.10.6)

то о > 0 можно указать

такое х0,

что

при х ;> т 0 решение присое­

диненной системы будет удовлетворять неравенству

|/у (х, *,

с) — ? (*,

х)

|< а, х > х 0

1_

X, у (х, t, X, cY) — X [t, х,

ср{t, *))] dx

< Р,

т

![* (* •

нений,

но и нашли

многочисленные применения, о чем

будет

сказано

ниже.

1.

Опишем схемы

усреднений для интегро-дифференциаль­

ных уравнений вида

х --

еХ

s, х (s)) ds

(III.1.1)

Первая схема усреднения.

Вычислим интеграл

t

jV {t,

s,

x ) d s

0

по явно входящему переменному s, считая

t и х

параметрами..

Имеем

t

]? (* , s, x ) d s

=

<pt (t , x).

0

Пусть

существует

предел*)

lim

X, cpi (t, * ) ) dt = X 01 (x).

T - + OO

*)

Если этот предел не существует,

то системе

(III. 1.

1) можно поста­

вить в соответствие систему дифференциальных уравнений вида

у = гХ (*,

у,

ft (t, У ) ) ,

Тогда

системе

(III.1.1) можно

поставить

в соответствие

систему

усредненных уравнений вида

* = * 0(е,

?oi Ш ).

(HI-1.3)

Если

исходная

система (III.1.1)

имеет

вид

х

=

tF (t, х) -f- е j

*

x

(s)) ds,

(III. 1.4)

ф (t, s,

о

то система (III. 1.3)

совпадает

с

(III. 1.2).

П т

<р2(*, * )) dt = Х02(х).

Т-+оо

Тогда

системе

(III. 1.1)

поставим в соответствие

систему диффе­

ренциальных

уравнений

S = **02(S).

(Ш.1.5)

Отметим, что этот вариант усреднения эффективен во многих

прикладных задачах,

так

как в них

функция 2

-дс) выражается

в элементарных или специальных функциях.

Заметим, что вторая схема усреднения при

определенных ус­

ловиях

применима

и к

системам

интегро-дифференциальных

уравнений вида

i = e X ^t,

х, jcp (t, s, x (styds

(*)

JC = e^

— s, s, х (s))d s 1

7—217

97

о

Тогда системе (III. 1.1)

можно

поставить в

соответствие

систему

вида

i = eA -„0,¥o2(5)).

(III. 1.6).

Как и в первой схеме

усреднения,

если

система (III. 1.1) имеет

вид (III.1.4), то система (III. 1.6) совпадаете (Ш.1.5).

Третья схема усреднения.

Пусть

существуют пределы

т

Iim -i-

' \ X ( t , x , y ) d t =

X a (x,y),

(III.1.7)

7’-°°

J

О

т

lim - i-

I <р(t, s, x) ds

=

cp03 (t, x).

Т-+°°

J

0

k =

z X 0^,jcp03( t ( s ) ) d s ' j .

(III.1.9)

Четвертая схема усреднения. Пусть существуют

пределы

1

т

(III.1.10)

Нт -4-

\ X{ t , x , y ) d t = X 0 (х, у),

Т-+оэ 1

J

lim 4 -

Up (t, s,

x ) dt = cp04 (s, x).

t~°о 1 J

Тогда системе (III.1.1)

поставим

в соответствие

систему уравне­

ний

5 =

j <р04

(s,

\{ s ) ) d s j .

[;(iii.i.ii)

\=

еХ 0j S, j'©04(&

( s )) d s

(III.1.12)

2.

Схемы усреднения, описанные в предыдущем

пункте, но­

сят общий характер

и применимы

к широкому классу

интегро-

дифференциальных уравнений.

Опишем эти схемы для систем

вида (t — t — А, а — s — Д)_

x(t)

=

t

= e X ( t ,

x(t), x(t), x ( ’~),x (t), \o(t, fs, x ( s ) x ( s ) , x (o),x (<j )) ds, e).

о

(Ш .1.13)

Первая схема усреднения.

Вычислим интеграл

t

j ’<P(t, s,

x,

x,

и, v) ds

0

•

•f

по явно входящему переменному s, считая при этом t, х, х,

и, v

параметрами. Имеем

r - co

J

о

х01 (х, х, и, V, е).

=