книги из ГПНТБ / Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений

Теорема III.9. Пусть функции X ( t ,

х,

y(m)),

<рй (^,

z(k))

определены и непрерывны

в области

Q { t > О, s [ > 0,

... ,

sm > О,

xeD,

у (к)£# п,

z {k)e D }

и

пусть в этой

области:

1)

|X ( t ,

х ,

у(,ге))]|<Ж ,

X (t,

x,

y{m)) s U p X'y{k){K

Q),

cpft

(t,

sik\ z (k)) е

U p2(ft)

(*,

5(ft)),

Q),

у

f dc

j* p- (x,

s) ds

0,

t ^

со ,

0

6

F- К s)=

[ X 1 ( x ,

s ) +

2

^

k =2

M * .

;= i

sr

y *

r

:

2) в каждой точке области D существует предел (III.2.22),

причем X Q(х) £ Lipx (v,

Q),

v =

const;

3) решение X= X(t) усредненного уравнения (III.2.23), удовлет­

воряющее начальному условию X(0) =

х (0; =

х 0,

определено для

всех

t > 0

и лежит

в области

D

с

некоторой

р-окрестностью, а

уравнение

(III.2.21)

имеет единственное решение,

удовлетворяю­

щее

начальному условию

х (0 ) =

х 0.

Тогда для

любых ^ > 0

и Z. >

0

можно

указать такое

е0> 0 ,

что при 0 <

е <

в0

на отрезке

0 -< t <; Le~l будет выполняться не­

равенство

x (t)

= e X [ t , x ( t ) , x { t ) ,

х(х),

х (т), |<р(4, s> -Ф ).

о

x (s),

х(а),

х(а)) ds),

(Ш.3.1)

• Ф ) = Ф(*). t£ [— A, 0J,

z = t — А,

о — s — Д.

Наряду с

системой (Ш.3.1) рассмотрим систему

z{t) =

t, Z(t), 0, z(t),

z (s), 0,

Р =

шах |0 (t)

— z (t + Д)|,

Q =

max |б (^) — z {t +

Д) ||.

*е[-Д, 0]

/6[—А, 0]

Лемма

III.4.

Пусть

функции

X (t,

х,

у, и, v, w) и <?(t, s, х ,

у, и,

v)

определены

и непрерывны

в

области

G \ t ^ 0

,

s ^ - 0 r

x e D {,

yzRn, «еД 2,

v e R n, w eR n ]

и пусть

в этой

области:

1)

X (t,

х, у,

и,

v,

w ) e U p X'y'UiV'W(K

G),

<Р(F

s, х , у, и, V) е Lipx у>и>v (н- (t ,

s),

G),

dz

f [x (x,

s) ds < t F

(*), F (t)

-> 0,

t ^ c o ;

[ —

А,

0 ] .

0 и L > 0 можно указать такое е0, что

Тогда

для

любых

т) >

при в < е0

на

отрезке

0 < t < Ьг~1 будет выполняться неравенство

\\x(t)-z(t)\\

<71,

где

*

и ? — решения

систем

(Ш.3.1)

и

(Ш.3.2)

соответственно,

причем х (0) =

z (0)

=

(0).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Имеем

*

(х), х (х),

*

(х - Л), *

(х -

A),

j

ср(х, s,

х (s),

и

x (s),

x { s — A),

х (s —A))

ds )

— Л' (х,

z (х), z (х),

z (х),

z (х),

j

ср (Т,

s,

Z(s),

z(s), Z(s),

Z(s)) d s ) x

x [ * t

z (x ), z (x ),

(t),

z (x),

j

cp(x,

s, z (s),

z(s),

z(s),

z ( s ) ) d s ] -

—

z(x),

0,

z ( х),

О,

j

f (х, s,

z(s),

О, z ( s ) ,

0) ds

dx.

Так как

< M , j [х (х — Д) — 2 (т)] dx <

< J 1И'(Т — А) “* z (x)ljdx+

j

|[х(т — А) — х(х) +

х(х)

— z ( x ) j j d x <

.о

о

t

< АР -J- A/kfZ +

Г [|х(х) — z (х) Jj dx,

J

х (х — А) — £ (х) ] dx

;<AQ + 2ML,

то

\\x-z\\ < ек [ M L (2 +

А) +

АР +

QA] +2еХ f ЦХ (х) — z{x)\\dx +

t

о

т

+

2еХ j

dx j* {i (x,

s) |x { s ) — z (s) |ds +

0

6

t

A

t

z

+ eX (P -j- Q) j* dx J

fi (x,

s) ds -f- e2\M (3 +

A) J

dx j* [i (x,

s) ds.

o o

o

o

Следовательно,

на

отрезке

0 < t < Zs_1

И* -

z|l < l eX [ M L { 6 +

A) +

P +QA] +

X (P + Q) F(e) +

+

sXyW(6 +

A )^ (e )U 2U+ 2x7, :

где

P

( e )

= =

s/ 7u Ip — x

,

P (0e, ) e - ->0>-.

0<x<i

\

)

интегро-дифференциальных уравнений, не разрешенных

относи­

тельно производной, вида

х =

вХ \t,

х , х, \®{t, s, x(s),

(III.3.3)

6

X (0 ) =

x 0

Наряду с этой системой рассмотрим систему

y = e X ^ t , у,

0, j о [t, s,

у (s),

0 ) d s j,

y(0) = x 0.

(111.3.4)

Имеем

II x(t) — y (t) II < sX j

Цх(х) — у (x) |flfx +

eMIL +

о

t

x

t

t

4- eX | dx

J

ji (x,

s) |x (s) — у (s) Цds + B2XM | flfx | [x (x,

s) ds.

о

о

о

о

Относительно

jx(x,

s) сделаем

более

слабое

предположение, а

именно:

t

т

Рассмотрим систему

S, х (s)) ds

(Ш.4.1)

Согласно первой схеме усреднения, системе

(Ш.4.1)

ставится в

соответствие усредненная система вида

5 =

гХ 01 (?),

(Ш.4.2)

где

Х 01 (х) = Пт - i- j Л”

х, J ср(t , s,

х) ds 'j dt.

е =

е * 02Ш ;

(III.4.3)

здесь

X Q2(*) = lim

t, x ,

j? ( ^ s, x) ds dt.

7* -►°o

о

2>f

x \ T,

0,

о

?

(',

5,

0)

ds

d~

— p < oo,

j

s

Г X (,)

1

+

f p (',

s) ds

di — qe

< 1 ;

3)

равномерно

относительно

x e R n,

> 0

существует

предел

*о+г

/'

*

\

lim

j*

X

I t,

л, | ? (^

5,

х) tfs

=

А"01 (х),

и

7’"*“

К

\

о

У

* 01(x )6Lip,(v,

R n),

p

01W y < A f;

4)

решение

X=

X(t),

£{0) = д:(0)

усредненной системы

5 =

eX0l (X)

(III.4.4)

определено для

всех

0 и равномерно асимптотически устой­

чиво.

для

любого vj > 0

можно

указать

такое е0, что при

Тогда

е <

е0 для всех

t

>

0

будет выполняться неравенство

\\X\t) - % { t )

||<

7J,

где х

(t ) и X( t ) — решения систем (Ш.4.1)

и (III.4.4)

соответственно.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно

условиям

теоремы,

система

(Ш.4.1) не имеет особенных

точек

и

на любом

отрезке

\iQ, t0+

+

Zs- 1 ]

решения систем

(Ш.4.1)

и

(Ш.4.4)

как

угодно

близки

Теорема

III.11. Пусть

функции X

{t, х, у)

и © (*, s, х) опре­

делены и непрерывны в области

0,

0,

xeD(—R n ] и

пусть в этой области:

1)

X (t, х ,

у ) е Ы р ^ у(Х,

2), сp(t,

s,

x ) e L i p x (ii(t,

s ), D),

t - i

t

t *

T

,

j*

dt Г jx (t,

s)ds < Cj (^2 — ^i),

j

dx

j

|s — т |[x (t,

s ) ds <

3?i.

О

1

о

< c 2(^2 — ^i),

C.

-> 0,

*-> oo;

2)

равномерно

относительно

и tf0> 0

существует предел

1

f

/'

i

s,

x)

ds \dt =

X Q(x),

lim у -

X U , Л',

j o{t,

T-*OQ

t c

0

причем X Q(л:)б Lip^ (v, D );

3)

решение

£ =

&(*), c (0) =

x (0) усредненной системы

5 =

6*oi (5)

(Ш.4.5)

Тогда для любого

г\<

р можно указать такое е 0 э что при е < е 0

для

всех

t^> 0 будет

выполняться

неравенство

II * ( * ) - * ( * ) II < 4 .

где

х (t)

и £ (t) — решения

систем

(Ш.4.1)

и

(III.4.5) соответст­

венно, причем х(0) =

Е(0).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Теорема

может

быть доказана путем

комбинации рассуждений,

приведенных при

доказательстве тео­

рем

II.4

и III.4. Аналогично

формулируется и

теорема об усред­

Теорема

III.12.

Пусть функции X (t, х, у)

и ср(t, s,

х) опре­

делены и

непрерывны

в

области

Q {t^ > 0,

0,

x e D ^ R n J и

пусть в этой области:

. 1) X ( t ,

х,

у) € Lip^ у (X,

2), ср(/,

s, * ) e L i p v(> (t,

s),

2),

ta

t

j*

dt j

ja(*, s)a fs< cx (t2 — ^ ),

i.

о

dx j

-С

s ) ds <

c2 (t2 — tt),

j

I s — X j (X(x,

*.

0

30

j fjt

(t ,

s) ds <

c2, c* - ►

0,

/

-►

oo;

0

2)

равномерно относительно

atgD и /0> 0

существует предел

lim

,

*0+Т

(

°°

s,

* )

\

d* =

А 02 (д:),

- у

j

А ( *,

* , j* <р(*,

ds

Т-+со

to

\

to

]

причем Х 0 (х) £ Lip^ (v,

D)\

3)

решение

S =

$ (^), 5 (0)

=

дс(0)

усредненной системы

Е = е * 02 (Е)

(Ш .4.6)

определено

для

всех

0

и

лежит в

области D с 'некоторой

р-окрестностью,

причем x (t)

и l(t)

ограничены

и

^ а

f *«» (5 М ) dx

< М ( * о

и

т

S,

Щ

ds

0,

Т

оо;

Тогда

для

любого ^ < р

можно указать такое е0, что при

е < е0 для всех

0

будет

выполняться неравенство

| 1 *(0 -5 (*)| | < ч ,

где х {t)

и I (^) — решения

систем (Ш.4.1) и (Ш.4.6) соответст­

венно, причем

х (0) =

S (0).

шений исходной и усредненной

систем на

отрезке 0 < t < £ e_1;

были также доказаны теоремы

о близости

решений исходной й

x = e X ^ t , x ,

у,

j

х

(s), у (s)) d s j

у = V 0 ^ t , x ,

y,

j <p0(<> 5,

у

(s))

+

.

(Ш.5.1)

Л' = const, у = Ко jj/,

у, J *<Р(t, s, у (s)) d s j .

ф(s, х, (s),

c(s))jo?s j

c =

Yt ^ t,

X,

Ф, j

s, x, (s),

(Ш.5.2)

Ф(s, X, (s), c (s))) flfsj -

^

^

X, ф(*, X, c),

j ?

s, X (s), Ф (s, X, (s),

c (s))j d s j J

Т-+СО Q

*

/

t

\

x =

e X \ t , x ,

х ,

у,

У,

j

с? ( t , s , x

(s), х (s), у (s), у (s))

ds ,

у =

У

t, X,

x

, у,

у,

f

{t, s , x

(5), X (5), у (s), у ( s ) )

d s j

и {t) = s / (^ )+ s j К [t, s, и (s)) ds,

(III.6.1)

о

где £ > 0 — малый параметр, и — п -мерный вектор.

Дифференцируя (Ш.6.1) по t, находим

9—217

129