книги из ГПНТБ / Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений
.pdfгде с,, с2, с3, ск — произвольные постоянные. Положим для про
стоты No = |
0. |
Тогда соотношения |
(V.3.11) показывают, что Д22< |
||||||||||||||
< 0 |
при |
Ь* = |
-а* ~ а* |
> b, а Ам < |
0, |
если |
b < |
b ** = |
|
al° - X |
|||||||
X К^Г<тГ< |
|
ПРИ b ** < |
b < |
b * А11 |
> |
0 |
и Ап (^**) = |
0- |
Следо |
||||||||
вательно, |
согласно (V.3.12) |
решение системы (V.3.9) будетасимп- |
|||||||||||||||
тотически устойчивым, если b |
|
b **, |
|
и |
неограниченно |
возра |
|||||||||||
стающим, если b** < |
b < &*. То |
|
же |
самое |
можно |
сказать о |
|||||||||||
решении |
системы (V.3.9), |
так |
как |
оно |
пренебрежимо |
мало от |
|||||||||||
личается от решения усредненной системы (V.3.10). |
|
|
|||||||||||||||
|
Значение b = Ь** |
критическое. Для критической скорости |
|||||||||||||||
V** найдем следующее |
выражение: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
V** |
|
r 4D (т4— п4) (т- — п-) тп |
|
|
(V.3.13) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
8 В1Л(т4 + |
п4) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Рассматривая упругую пластинку |
(/?(^ )= 0, G ( t u t2, |
t3) = 0),. |
||||||||||||||
получаем |
для |
критической скорости выражение |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
1/* _ |
7:4 D (т4 —п4) (т2 — п~) |
|
|
|
(V.3.14) |
||||||||
|
|
|
|
у ' |
— |
|
|
16 в /3 тп |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Из |
(V.3.13) |
и ^V.3.14) находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
V** |
|
2т2п2 |
< |
1. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
V* |
т4 |
+ |
п4 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Подставляя (V.3.12) в (V.3.8), находим приближенное реше |
||||||||||||||||
ние |
системы (V.3.6): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
ехр |
г I |
Ди Ах— |
|
No \t |
|
|
|
X |
|
|
|||
А = |
|
|
di |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
exp |
2s ( Дп Ay — —n~ No I t |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
*uA - |
— |
Mo |
|
|
|||||||||
|
I/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
sin j(/?i + |
£An By) t |
Co — 2^ |
In |
^Дц Ay |
|
|
c \ |
|
|
||||||||
|
|
|
|
dy exp |
2г |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д,,Д|-----o~No)t |
|
|
|
. (V.3.15) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
exp |
£ I Доп Ao — |
——— No I t |
|
|
|
|
|
||||||
/ 2 |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
^3— |
|
|
|
|
2s [ Д22Ao ~ -L .N o |
\t |
|
|
||||||||
|
|
Д00 Aо —— |
No |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S i n |(/^2 “1“ £A 22 ^ 2 ) t |
|
|
|
^ |
|
^A 22 -^2 |
~~2 |
No |
c3 |
|
|
||||||
|
|
|
— d 3exp ^2e |
^Д22 A2— |
N^j / j j |
|
|
|
|
200
Полученное решение и формулы (V.3.13) и (V.3.14) позво ляют сделать вывод, что учет нелинейного вязкого сопротивле ния не приводит к изменению критической скорости по сравне нию со случаем учета линейного вязкого сопротивления.
И, наконец, изучим ту же задачу о нелинейных колебаниях вязко-упругой пластинки бесконечной ширины в случае учета
нелинейного упругого |
члена |
в законе напряжения-деформации ) , |
||||||||||
т. е. предположим, что связь |
|
между напряжением и |
деформа |
|||||||||
цией задается |
в |
виде |
|
|
|
t |
|
|
|
|
||
Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
V2 |
, |
+ |
f a |
i ] - \ R ( t |
т) [ М х) |
+ Л4 ( х)] dx> |
||||||
ах 1 - |
||||||||||||
|
|
|
|
|
J |
о |
|
|
|
|
||
где, как и раньше, |
|
, а\ |
= — |
д2и (х , t) |
|
|
|
|||||
вx {t) |
z — ^ — . |
|
|
|
||||||||
Подставляя выражения для |
ех , |
ох , М х |
в |
(V.3.2), |
получаем |
|||||||
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д2иУ |
д^а |
^ д 2и fd 3ux2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
дх 2) |
dxi |
дх 2 Idjc3 |
|
- j г <* •- м ш + |
\ щ йд + ^ д а н + |
|
|||||||||||||
|
|
|
,Ро^(ди_ _ v ди_] _ п . |
|
|
(V.3.16) |
|||||||||
|
|
^ |
с0 I |
|
|
v |
дх |
|
1 ~ |
и ’ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
здесь D = |
2Eh3 |
|
|
|
|
пластинки, |
h — ее |
толщина, |
|||||||
g ^ |
_ v2y — жесткость |
|
|||||||||||||
1- /*\ |
R' (О |
|
|
|
|
|
|
|
— некоторые |
постоян |
|||||
1 (г) = ------ -в------- ядро релаксации, ц, |
|
||||||||||||||
ные, зависящие от упругих и вязких |
|
свойств материала |
пла |
||||||||||||
стинки, Е , |
v, р — мгновенный |
модуль |
|
упругости, |
коэффициент |
||||||||||
Пуассона и плотность |
материала |
пластинки |
соответственно, р 0, |
||||||||||||
с 0 — давление |
газа и скорость |
звука |
в |
газе |
на |
бесконечности, |
|||||||||
х — показатель |
политропы газа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вводя безразмерные |
величины |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
r = vt, |
|
W = -jj-, |
у = |
Л |
|
X, |
Y |
Dtz4 |
|
|
|||
|
|
|
т |
|
рлТ* |
|
|
|
|||||||
и полагая, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
R( 0) |
|
|
R (t) |
|
3 (j./z2Tt4 |
|
3 |
|
|
|
||||
Е ’ О <«>(*) |
7Г(0)’ —Ъ |
|
~ |
£Л’ |
|
е |
|
|
|||||||
для случая двухстороннего |
обтекания |
получаем |
уравнение |
воз |
|||||||||||
мущенного движения |
(V.3.16) в безразмерной форме: |
|
|
||||||||||||
|
d2w |
- J |
- еХ |
d2w\2 |
dlw |
' |
j0 d2w ( d3w\2~ |
|
|
||||||
|
~дг2 |
|
|
|
ду2 J |
дуi |
ду2 |
ду3 J |
|
|
|||||
* Этот пункт написан |
Т. Кадырбековым. |
|
|
|
|
|
|
|
201
(* |
, |
ч |
f d4w |
|
QГ / d2ay\2 |
(Цда |
0 дd2,<w f d3w \ 2 |
d i -{- |
||
J ш |
|
|
|
|
|
И г + 2 S9-2 ( (}уЗ |
||||
|
£o^ |
|
/2 |
|
dw |
р 0х |
Ve3 |
dw |
|
(V.3.17) |
|
co |
tJ |
У p Dh |
dr |
co |
D~3 |
= 0, |
|
||
|
dy |
|
|
|||||||
/ |
n\ |
|
/ |
\ |
|
d2a> (r, 0) |
d2w (г, тс) |
„ |
|
|
w (r, 0) = |
w (r, |
7t) = |
---- зЬ М = ----^ f — = |
0. |
(V.3.18) |
|||||
|
|
|
|
|
|
(ty2 |
|
(?y2 |
|
Будем искать решение уравнения (V.3.17), удовлетворяющее граничным условиям (V.3.18), в виде
w (г, у) =['о1 (г) sin пу -f- v 2 (г) sin ту. |
(V.3.19) |
Подставляя в (V.3.17) соотношение (V.3.19), получаем сле дующую систему нелинейных обыкновенных интегро-дифферен- циальных уравнений второго порядка, описывающих явление флаттера пластинки:
Vi + |
a ]v 1 -f bv2 |
- в к |
-г- а\ v\ + |
a ^ v ^ l |
+ № , , } + 1 |
||||||||
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- f |
s j |
to ( r |
— |
4 |
j^a2v1 + |
p a\ ^ |
+ |
— |
^2 |
dt |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 + |
a 2v 2 — b v x |
— e X |
^ |
U.2 V2 |
2 |
^2 |
|
+ |
||||
+ N v2J |
+ 8 |
j |
Ш( r — t) |
Q'2^2 |
Р ( |
4 |
^2 ®2 |
2 |
^1^2^1^2 |
d i |
(V.3.20)
здесь точкой обозначено дифференцирование по безразмерному времени;
а х = |
я4, а 2 = |
гпА, |
b = |
|
4 mnp0 xV l3 |
||
(m 2 — п2) ЬтЛ с0' |
|||||||
|
|
TV = E&l. |
/2 |
|
|
||
|
|
Я2 У рDh * |
|
||||
|
|
|
Со |
|
|||
Положив е = |
0 |
в системе |
(V.3.20), |
найдем |
решение вырож |
||
денной системы; |
применив |
метод |
вариации |
произвольных по |
|||
стоянных, приведем систему |
(V.3.20) |
к стандартному виду: |
|
{ К а2 К |
_ 2aJ _ |
“ »■ “ 2а» )] ^ + |
+ [а я (2ая! + Зая а2) — а т®2 (3“т + |
2а» 7-2)] 71 I + |
||
+ [<*„« (2йя, + За» ) - |
а ш “3 (Зйт + Ч . ) ] 4 7Л+ |
||
+ К - |
^ ) 1%п } + ря [1 J a ‘ W |
а т ~ |
202 '
|
- |
а п ) «4, - |
К |
|
- |
а т“2) 4 - |
ТГ [а п“2 К - |
2 а т) |
|
|||||||
|
~ |
а ш (?т - |
2ап) ] < |
- |
" Г К |
(2а« |
+ |
За»”2) ~ |
|
|||||||
- а ш (Зйш+ |
24 |
“2 ) 0,2 |
/2т /п |
3 |
|
а (2<2/п+ Зал ) — |
||||||||||
Т |
|
|||||||||||||||
|
|
|
3,3 ( З ат + |
2 а п) |
Атг 4 |
4“ ( Йл |
|
^ |
) 4 } dx + |
|
||||||
|
|
+ |
^ |
sin рп г ( - Сп1sin рп г + |
сп2cos р п г ) |
|
||||||||||
|
|
еХ COS р п |
Г |
|
|
а п ' ( а п - 2а™) |
ат(а т — 2ап') |
х |
||||||||
Сл 2 = - 4 р п [ 1 - а Н Ь ) ] |
|
|
||||||||||||||
|
|
т \ т |
п j |
|
||||||||||||
X |
< |
, + |
[ а „ (2 а т |
+ |
|
За„ |
а2] _ ^ |
а2 (З а „ |
+ |
2 а п а2)] / ; /„ |
+ |
|||||
|
+ [ а „ * ( 2 а т + За„ ) - а т " 3 (З ат + 2 а „ ) ] 1т / 2 + |
|
||||||||||||||
|
+ к - |
|
* у . 1 - |
|
|
|
/ • ( - . ) { ( « . - |
|
||||||||
|
- |
4 ) «4. ~ |
{ а п ~ а т “2) 4 |
Г {[ <4 “2 ( а п - 2ат ) ~ |
|
|||||||||||
~ |
4 |
( а т - |
2 а п ) |
] < |
+ |
[ й„ (2 4 > + |
За„ |
“2) - |
а т =>2 ( з а т + |
|||||||
|
+ |
2x1п 7'"2)] !li 4 |
+ |
|
\а па (2ат + |
34 |
) — |
'•'2(3ат + |
|
|||||||
|
|
|
+ 2 ап )] 4, 4 + ( а» — 4 , а4) }}л — |
|
||||||||||||
|
|
- |
sjV c o s р |
/ |
( - с |
я1 |
sinp n r + |
сп2 c o s p nг ) |
(V.3.21) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где а п = п\ |
а т = т\ |
/4 = |
сы cos />, г + с ш sinр к г, |
|
||||||||||||
|
|
а {&) = |
0-2— &\ |
-VI |
|
- 1 , |
0 < а ( * ) < 1 , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О < |
b < |
6* = |
|
* |
* |
(т, п = 1,2; |
п ф т \ |
k = \ , 2). |
Усредняя систему (V.3.21) согласно второй схеме усредне ния, находим систему дифференциальных уравнений, описываю щих флаттерное движение пластинки:
203
С |
— г = |
{ |
Р |
|
{ Ь )в( С..+ |
|
| |
С > |
2 |
|
) |
|
+ + |
т |
|||||
+ ( |
Д „ А |
|
+ |
л |
о |
} |
« |
„ |
+ |
- f |
{(b)1 |
( -4 |
, |
к tm+ |
2 |
) ) |
+ f « „ |
||
|
|
|
|
+ Тля( b ) |
( С + С')]—А п„А п } ■’») |
|
|
|
|
||||||||||
Сг =-- г {(*—РЛл) [ "и (*) ( Ci + Сг) + Т„„ (*)( С + |
|||||||||||||||||||
+ |
+ |
С |
|
) |
|
] |
|
- |
|
|
С |
д { Ья) я ( * |
) ? |
Я 1 |
|
) |
+ |
||
|
|
пп W Т |
|
|
( |
|
|
|
В .+ |
N+) |
|
}41п2 |
|
] |
|||||
|
|
|
|
|
(п, т — 1, 2; |
|
а ф т ) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(V.3.22) |
|
здесь |
введены |
обозначения: |
|
Ч |
|
|
аат (пЗат ( |
+2 л |
тЩЧ ] |
+ |
* |
32V |
|||||||
_ |
|
|
/ |
*л |
_ |
|
|
|
|
||||||||||
°пп'и>— |
|
|
|
|
|
8рп [1 — а2 (Ь) ] |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
т |
(h\ — |
3 |
( а2 — а2 |
а4 (6)^ |
|
Д |
|
(Ь ) |
а |
— а |
а2 (6) |
. (V.3.23) |
|||||||
— —1__ Т.___ML |
|
|
= — 5____ Ш____— |
||||||||||||||||
'пп\и> |
\bpn [\—^ ( b ) \ , |
|
nn^uf |
|
[1 — а2 (6) ] |
|
|
|
|
||||||||||
Ап = |
J (о (5) cos р п sds > |
О, |
В п = |
J о) (s) sinр п sds > |
0 |
|
|
|
При р = 0, т. е. в случае отсутствия нелинейного вязкого (внутреннего трения) члена в соотношении напряжения—дефор мации, система (V.3.22) имеет вид
С> = - т - [ \ ф ) В п + N] + - jr [( Е2, + С ) т „ (») +
|
|
+ |
1 п |
а л Я |
* |
( ® ) |
( |
( |
C |
l2 |
+ |
С |
г |
4rii |
— |
2 |
п ( |
) |
С |
|
+ |
|
С |
) |
|||
\ |
____ __ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- K n ( b ) A ny |
M - ^ |
[ \ |
n (b)B n + |
N ] i n2 |
|
|
|
||||
|
|
|
(я, /я = 1, 2, |
п ф т ) |
|
|
|
(V.3.24) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Легко |
видеть, |
что для |
любого |
г^> 0 |
имеются |
интегралы систе |
|
||||||
мы (V.3.24) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,2 0 4
|
С |
+ |
С = |
( |
С + |
^п2 )еХР { “ |
8 [Лл«^ В |
п + |
|
r } |
|
|
^ |
(V.3.25) |
||||||||||
|
Cl + С2 = |
( Cl + С2)еХР {~ 8 [^ г п т Ф ) В т + |
Щ |
Г} |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Следовательно, |
|
используя |
(V.3.25), |
решение |
системы |
|
(V.3.24) |
|||||||||||||||||
можно |
представить |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Кх (г ) = |
[ С cos 0 + |
4 |
Sin О] exp ( - |
гп г ) |
' |
|
|
|
(V.3.26) |
|||||||||||
|
|
|
е,й (г) = [ - |
С |
sin G + l° 2cos О] exp (— 8яг ) |
] |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G - |
|
|
Inn |
( |
С |
+ С |
) |
+ |
|
пп (Ь) ( |
|
X+^л2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
~ X J b y B ~ ^ N ~ |
|
Дгага (*) Bm + N |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
W ( £ , |
+ $ |
) |
|
|
|
Г4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
||
|
|
|
- |
A |
- |
(b)B n + N |
|
е |
Х Р |
\| |
п -( Ь £) В »[ |
+ |
N ] |
' |
• |
} |
+ |
|
|
|||||
|
|
+ |
'»„<»)(& + € 2) |
|
|
|
гл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
" |
Дmm' |
),B( m* |
+ N |
|
e |
x |
P |
l _ |
e |
|
[ |
i |
m i Vm ] |
( |
r |
* |
l ) +B |
m + |
||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ -^m ( b ) A a r |
|
6 = £, А„л (Ь ) B n + N |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
^°t;- (у, у = |
1, |
2) |
— произвольные |
постоянные, |
определяемые из |
||||||||||||||||||
начальных |
условий j. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Из решений (V.3.26) видно, что оно будет асимптотически |
|||||||||||||||||||||||
устойчивым |
при любых |
начальных |
условиях, |
|
если |
только |
||||||||||||||||||
Д |
{р) |
> |
|
N |
|
|
|
1, 2), |
и неограниченно |
возрастающим, |
если |
|||||||||||||
-----б— (я = |
|
|||||||||||||||||||||||
|
Д ь х - |
В i, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
\ |
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|||
|
Соотношения |
(V.3.23) |
показывают, |
что |
Д22 (b ) > |
— |
|
|
при |
|||||||||||||||
Ь < Ъ *\ |
Дц(&)> — |
|
|
при b < |
|
|
( а 2 - |
|
а х) = |
-у^*- |
Ъ* |
где |
||||||||||||
а ( 0 - < а < ; |
1) — корень многочлена |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
{ах— а2а2)2 |
_ |
|
TV^ |
clx—{—л2с^2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
(1 _ |
а2)2 |
|
— |
- Щ J |
1+а2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Так как Дп (b ) = 0 при b = |
6 * :: = |
Я2—й х |
У а ха 2 < |
|
6*, |
то |
для |
||||||||||||||||
критической скорости флаттера пластинки находим |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Vкр = |
ас0 D%z (m4 — и4) (m2 — л2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4(1 + а2) |
"*-13 т п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
205
Решение (V.3.26) показывает, что частота и фаза колебаний пластинки получают сдвиг, зависящий от нелинейно-вязкой ха рактеристики пластинки, причем влияние нелинейного члена на частоту затухает по экспоненциальному закону во времени.
Заметим, что при р =^0 для получения интеграла типа (V.3.25) системы (V.3.22) необходимо изучить уравнение вида
d z.
d z m
т
|
В п Р |
В |
В f |
|
т “ I |
[ 7Л„ 0 ) ? п + аяя (Ь) z m] + |
Ьа я (Ь) В п + |
N |
z, |
|||||
о |
(b) z . + y (b) z |
1 + |
А |
тт |
Ф) В |
т |
+ N |
т |
|
mm v ' л 1 1mm 4 1 |
т\ |
|
|
|
где
2
/тгг-
Исследование последнего уравнения может быть выполнено качественными методами.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящей работе мы не могли подробно остановиться на некоторых весьма важных исследованиях как теоретического, так и прикладного характера, связанных с построением асимптотиче ских разложений решений различных классов уравнений. В пер вую очередь следует указать на глубокие исследования А. А. До родницына [27—29], особенно на те из них, которые касаются ис пользования метода малого параметра для численного решения уравнений математической физики [29].
Изучению резонансных режимов в нелинейных системах с бы стрыми и медленными переменными применительно к задачам не бесной механики посвящены работы Е. А. Гребеникова [21—25]. Интересные исследования по усреднению систем стандартного вида и систем с быстрыми и медленными переменными, а также по анализу устойчивости резонансных режимов в таких системах выполнены М. М. Хапаевым [133— 135].
Принцип усреднения для дифференциальных уравнений с раз рывной правой частью обосновывается в работах А. М. Самойленко [105— 109]. Усреднение счетных систем дифференциальных урав нений исследовано в работах О. А. Жаутыкова [31]. Его результа ты были обобщены на случай счетных систем интегро-дифферен- циальных уравнений Т. Кадырбековым [46, 47], который рассмотрел также усреднение счетных систем интегро-дифференциальных уравнений с быстрыми и медленными переменными [48] и иссле довал нелинейные колебания вязко-упругих балок [45, 49]. Д. Д. Байнов и Й. М. Стоянов обосновали метод усреднения для стохастических интегро-дифференциальных уравнений [111]. Хоанг Ван Тао рассматривал усреднение нелинейных интегро-дифферен циальных уравнений в частных производных [138].
X. Мовлянкулов рассмотрел усреднение в системах интегродифференциальных уравнений стандартного вида, содержащих кратные интегралы. Полученные результаты применены к исследо
ванию |
ряда нелинейных задач |
теории вязко-упругости [80—85]. |
Б. И. |
Моргунов исследовал |
стационарные резонансные ре |
жимы для некоторых классов интегро-дифференциальных уравне ний с быстрыми и медленными переменными. X. Бегнаев предло жил ряд новых схем усреднения интегро-дифференциальных
207
уравнений [3—5]. А. Г. Умаров исследовал усреднение интегродифференциальных уравнений типа Фредгольма и рассмотрел час тичное усреднение в таких системах [118].
А. А. Ильюшин показал, что методы усреднения интегро-диф- ференциальных уравнений могут быть с успехом применены к ис следованию динамических задач теории вязко-упругости. Им же был выделен класс задач теории вязко-упругости, уравнения ко торых содержат малый параметр. Решению указанного класса задач посвящено много работ. Отметим некоторые из них.
М. А. Колтуновым, В. П. Майбородой и Б. И. Моргуновым ис следована задача о нелинейных колебаниях упруго-вязкого виброзащитного слоя [59, 71, 72]. М. А. Колтунов, Б. И. Моргунов, И. Е. Трояновский и У. Тохтаров решили задачу о нелинейных ко лебаниях вязко-упругого цилиндра, заключенного в упругую обо лочку для случая, когда внутренний радиус цилиндра медленно меняется [116, 117]. В. И. Матяш исследовал явление флаттера упруго-вязкой пластинки и рассмотрел задачу о динамической ус тойчивости упруго-вязких стержней [75, 76]. П. Курбановым изу чены задачи об устойчивости шарнирно опертых упруго-вязких стержней при динамическом нагружении как в линейной, так и в нелинейной постановках [61—63]. Рассмотренные задачи привели к необходимости исследования уравнения Матье при наличии демп фирования [137].
Мы перечислили далеко не все прикладные работы, в которых с помощью методов усреднения решены те или иные задачи теории вязко-упругости. По-видимому, этому вопросу должна быть по священа отдельная книга.
|
|
|
|
|
|
|
ЛИТЕРАТУРА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
Б а й н о в |
|
Д. |
Д. |
Об усреднении в некоторых системах обыкновенных |
|||||||||||||||||
|
дифференциальных уравнений, „Математически весник“, 1968, т. 5, № 1. |
|||||||||||||||||||||
2. |
Б а р б а шин Е. |
А. |
Введение |
в теорию |
устойчивости, |
М., |
„Наука", |
|||||||||||||||
3. |
1967. |
|
X. |
Об |
одном свойстве |
системы |
нелинейных |
интегро-диффе- |
||||||||||||||
Б е г н а е в |
||||||||||||||||||||||
|
ренциальных уравнений стандартного вида, |
„Изв. |
АН УзССР“, сер. |
|||||||||||||||||||
|
физ’-мат., 1970, |
№ 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. Б е г н а е в |
X. |
Об |
одном свойстве интегро-дифференциальных уравнений |
|||||||||||||||||||
5. |
типа Фредгольма |
стандартного вида, |
ДАН УзССР, 1971, № 2. |
|
|
|
||||||||||||||||
Б е г н а е в |
X. . |
|
Ф и л а т о в |
А. Н. |
Об |
одном |
свойстве интегро-диффе |
|||||||||||||||
|
ренциальных уравнений, ДАН УзССР, |
1970, № |
12. |
|
|
|
трубы при |
|||||||||||||||
6. Б е г н а е в |
X. , |
Э ш м а т о в |
X. |
Колебания |
|
вязко-упругой |
||||||||||||||||
|
протекании через нее жидкости, Труды ордена Трудового |
Красного Зна |
||||||||||||||||||||
|
мени Института кибернетики с ВЦ АН УзССР, |
„Еопросы |
вычислитель |
|||||||||||||||||||
7. |
ной и прикладной |
математики", вып. 16, Ташкент, 1973. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Б о г о л ю б о в |
Н. |
Н. |
О некоторых статистических методах в математи |
|||||||||||||||||||
|
ческой физике, Киев, Изд во АН |
УССР, |
|
1945. |
|
|
|
механике, Сб. |
||||||||||||||
8. Б о г о л ю б о в |
Н. |
Н. |
Теория |
возмущения в нелинейной |
||||||||||||||||||
9. |
трудов ин-та строит, механ. АН УССР, |
|
№ 4, |
Киев, 1950. |
|
|
|
приб |
||||||||||||||
Б о г о л ю б о в |
Н. |
Н., З у б а р е в |
Д. Н. Метод асимптотического |
|||||||||||||||||||
|
лижения для систем с быстро вращающейся |
фазой и его |
применение к |
|||||||||||||||||||
10. |
движению заряженных частиц в магнитном поле, УМЖ. 1955. № 7. |
|
||||||||||||||||||||
Б о г о л ю б о в |
|
Н. |
Н., М и т р о п о л ь с к и й |
|
Ю. А. Асимптотические |
|||||||||||||||||
|
методы в теории нелинейных колебаний, М ., |
„Наука", |
1963. |
|
|
|
||||||||||||||||
11. |
Б о л о т и н |
В. |
|
В. |
Динамическая |
устойчивость |
упругих |
систем, |
М ., |
|||||||||||||
12. |
ГИТТЛ, |
1956. |
|
|
В а с и л ь е в а |
А. Б. , |
Ф е д о р ю к |
М. |
В. |
Асимпто |
||||||||||||
Б у т у з о в |
В. Ф. , |
|||||||||||||||||||||
|
тические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, |
|||||||||||||||||||||
|
В кн. „Итоги науки. Математический анализ, |
1967", М., |
ВИНИТИ АН |
|||||||||||||||||||
|
СССР, 1969. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
13. |
Б ы к о в |
Я. В. |
|
О некоторых задачах теории |
интегро дифференциальных |
|||||||||||||||||
14. |
уравнений, Фрунзе, изд. Кирг. гос. ун-та, 1957. |
дифференциальных урав |
||||||||||||||||||||
В а с и л ь е в а |
А. |
Б. |
Асимптотические методы |
|
||||||||||||||||||
|
нений с малым параметром при старшей производной, В кн. |
„Пятая лет |
||||||||||||||||||||
15. |
няя математическая школа", Киев, „Наукова |
думка", |
1968. |
разложения |
||||||||||||||||||
В а с и л ь е в а |
А. |
Б. |
Б у т у з о в |
В. Ф. Асимптотические |
||||||||||||||||||
16. |
решений сингулярно Еозмущенных уравнений, |
М., „Наука", |
1973. |
интегро- |
||||||||||||||||||
В а х а б о в |
Г. |
К вопросу |
обоснования |
метода |
|
усреднения |
для |
|||||||||||||||
17. |
дифференциальных уравнений, УМЖ, т. 21, вып. 6, 1969. |
точек |
у ин |
|||||||||||||||||||
В е д ь Ю. |
А. Достаточные признаки |
отсутствия особенных |
||||||||||||||||||||
|
тегро-дифференциальных уравнений, В сб. |
„Исследования |
по |
интегро- |
||||||||||||||||||
|
дифференциальным |
уравнениям |
в Киргизии", |
|
вып. 3, |
Фрунзе, |
Изд-во- |
|||||||||||||||
18. |
„Илим", |
1965. |
|
|
Метод |
осреднения |
в |
|
теории |
нелинейных |
колебаний,. |
|||||||||||
В о л о с о в |
В. М. |
|
||||||||||||||||||||
|
В кн. „Механика |
в |
СССР |
за |
50 лет", |
т. |
I, М., |
„Наука", |
1968. |
|
|
14-217 |
209 |