книги из ГПНТБ / Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений

Усреднять

систему

(IV. 1.3)

можно

как

по первой,

так и по

второй схеме

усреднения.

Приведем

вычисления

по обеим схе­

мам. Начнем со второй, более простой.

Усреднение

по второй схеме. Согласно

этой

схеме

усредне­

ния, если задана система уравнений

а

= еЛ

С а, <р,

|*/(/,

s,

a (t — s),

<р(t — s ))d s

= еФ

t, a , cp,

t

t

(t,

s,

а (* — s),

cp (t — s))d s

?

J

0

a

( 0

) = a 0,

cp ( 0 ) =

cp0 ,

£

=

е Д , ( £ , ? ] ) ,

0 т(]? ,= у\),е ф

где

&(°) =

«о» ^ (°) = ?о.

А (а, <?) = Пт

j

А / t,

а, ср,

| / (С s,

a, y)ds\dt,

о

\

6

/

Т

S

ОО

>о(<2, ср) = Нш -J,-j Ф

^

с a,

cp, j

/=■(*, s, а,

?)flte jvft,

=

-

4 Е (^.

Ч).

Ч =

—

Ч).

где

тг

°°

л

Е (а, ср) = Нш

I

sin (со^ -]- <р) \R (о) a cos

-f

ср— то) do\ dt,

Г-ос ^

J

L

J

J

0

тг

°°

~|

Н (a, <p) = l i m - ^ J

cos

+

ср) J

(а)д cos(«)tf+cp — шо) do \dt.

о

о

-*

Так как

ОО

ОО

J R (a) COS {tot +

ср— соа) do

=

COS

-j- cp) J R ( a

) COS do -j-

0

oo

о

-j- sin (u^ -f- cp) j* R ( a ) sin o>odo =

R c cos ф-f- R s sin

о

со

оо

R s (со)= jj R (о) sin oizda, R c (w) =

J

COS( a ) mado,

{a, cp) = lim - j -

\a sin

cos 0 +

R s sin ф) dt =

T

+ OQ

2к

=

2r } ( ^ c

cos + + R s

sin 't') sin W

=

“2 ^5 ’

о

r

H (a,

9) = lim

- i - j

a cos ф(/?c cos ф+

sin 6) ^ =

2 tz

= ~2^)(R c cos 'V + Rs sin Ф) cos W

=

~ T R .

0

c

Интегрируя

эти уравнения,

находим

в Х

el

Ц()

= 5 (0) е

2”

.

' ^

=

-

*

+ ^ (0)

^

Так

как по условию

£ (0) = а (0) = а 0, г} (0) = ср(0) = <р0,

то для дг(^)

получаем

приближенное

представление

- - R

m

еХ

(IV. 1.4)

х (t ) = a Qe

гш'

s cos

- ■ s H M *

+ ?0

где

a 0 и cp0 находятся из

уравнений

а о cos сро = лг0,

а 0 s in <р0 =

•*b

CD

Заметим, что в прикладных задачах,

как правило,

оо

оо

R s = j/?(a) sin со

ado > 0 ,

R c =

J R (a) cos Uiadcs > 0 ,

X > 0.

о

0

В

этом

случае

влияние

интегрального

члена в

уравнении

(IV. 1.2) выражается

в том, что период колебаний т: увеличивает­

ся согласно

формуле

-

2к

’

со — e\ R cj2oi

-V

=

cos («)t + 7J (*)).

-к -f-

R sx -}- (а>2 — eX/?c) x = 0.

(*)

? = В А 0 ( £ , У ]), У) =

в 0ф ( £ ,У] ) ,

Важно заметить, что здесь, как при вычислении интегралов,

так

и при вычислении пределов, а

и <р считаются

параметрами

(по­

стоянными). Усреднив теперь

систему (IV. 1.3)

по этой схеме,

найдем

где

г г

t

Е * (а,

ср) =

H m -lJ*

sin ( « > £

+

) IсрR

(

a

)a COS ( с о ^

+

ср

— d<3( о аd) L

т

t

Н* (а,

с р )

=

l i m

- COSу - (atJ

+

ср)

(

а

)a COS (od

+

Ср—

ш а ) г / а

о

L

о

1im-=-f

sin (о)^ +

ср) Г

R (a) cos (®t +

ср— соз) d? \dt =

О,

Г^ос

J [

•)

J

1

г г

+~

R (з) cos (а>£ +

“I

0,

I i m y

J

cos (at -j- ср) j*

cp— too) do \dt =

T-+CO

о

/

J

то тогда получим

E * (a, c p ) =

(аS ,

с р ) , H *(a, с р )

= H ( a ,

c p )

и, следовательно, усредненные уравнения,

полученные

по

вто­

рой и первой схемам, совпадут.

Как видим, первая схема требует меньше ограничений на

функцию R{t)

и приложима

к более широкому

классу

уравне­

,

*

х =

в ---- ^~ гЬе *(l +

- * ) + e j*£

t x ( s ) d s ,

л'(0)

= 1.

о

Вторая

схема

усреднения к этому

уравнению

не

применима*

в то время

как по первой схеме

находим

усредненное уравне­

ние

вида

'

5 =

е, $(0) =

1,

т. е.

%(t) =

1

что совпадает

с точным

решением

исходного

уравнения.

уравнение

вида

2. Рассмотрим

t

х -f- olx + <о2л: —

j R

(t — s )x (s) ds, o. > 0,

о

имеет вид

л: = е

2

* (схcos pt +

с2sin pt),

р =

j /

o r — —

Применяя, как и выше,

метод вариации

произвольных

постоян­

ных, находим

схcos pt

-f- с2 sin p i =

О,

c x ^—

?j-cos p t —p

sin/7^ +

c2 (p cos p t -----^-sin/?^ =

sle2 * /,

где

a

I = ^ R ( t — s)e

jct (s) cos p s +

c2(s) sin/7s] ds.

2

Следовательно,

c x =

— ~ - e 2

* sin pt /,

c2 =

^ - e 2 * cos p t I,

cx (0) =

лг0,

^2 (0) =

- y

Пол­

усредняя эту

систему по второй схеме усреднения, находим

| = —

+

*<°) = М 0 ) .

Ъ =

( # c J -

Ч (0) =

С2 (0),

где

оо

а

со

а

R sa= j R (s) e 2

s s in p sd s, R ca =

\ R {s )e 2

s cos p s d s .

0

6

Отсюда

следует,

что

? (()

=

e~ ^

( a cos- f - R J

+

b sin

R m t ' j ,

(asm ^

R J

-

b cos ^ R „ A

x ( t) = e (2

+2И 50) *

a Co s ^ ? - ^ # caj * +

+

b sin р

* - ъ Ъ .

3. Теперь рассмотрим

уравнение

X +

ы2х = /

(t)

+

еХ J

(t

— s) X (s) ds

.. (IV. 1.5)

x (0) =

x 0, x (0) =

x 0

Приведем это уравнение к стандартной форме, полагая

х — с хcos <ot -j- с2sin

-f

j* / (s) sin ш (t — s)ds,

X = (o(— Cx Sin 0it -f- Co COS ci)^) -f

j

/ (s) cos to (t — s) ds .

0

В

переменных cx и c2 исходное уравнение запишется так:

сх = —

sin о)t\ j*R (х) [с, (t — х) cos ш(t — х) -f

lo

+ Co (t

—•х) sin со (t

— x)j d'z +

- T ~ ^ § R ( t — t ) d ' z ^ f ( s )

sin с» (x — s) ds|,

Co =

— cos Ы j R (x) \cx (t — x) COS Cl) (t — x) -f-

.0

+ Co (t — x) sin (!>(/ — x)j d i -j-

+

4 "

( t - ' z ) d x

j / (s) sin o) (x — s) ds

c i (0) =

x 0, c2 (0)

= -f- .

Напомним, что если задана

система

(с — /г-мерный

вектор)

с =

е /, (t , с) +

t

fo (t,

s , c ( t — s )) ds,

Sj

0

то

ей ставится

в соответствие

усредненная система

I

Г-

оо

Ё = £/=■(?),

F (c ) = П т-],- j

/i (t,

с) +|,/2(^, S,

с) ds dt.

о

L

о

Действуя по этой схеме, мы должны вычислить пределы

1

т

с

sin со tdt,

lim - j -

\Ф (£, с 1, Со)

1

i1

c {, c2) cos со*-**,

lim -jr

\Ф it,

где

T-* oo

J0

CO

Ф (t, c„ c2) =

f R (t)

fc, CCS CO(* — t) - f c2sin CO(*

— -:) j d'Z -f-

o

+

i

“

l

(x — s) ds =

—

j R (* — x) d i |/ (s) sin со

о

6

— C\( R’ c COS CO* + R s sin co*) -f c2

sin w* — # s cos со*) +

-j- —

| R (t — -) dx

f f

(s) sin со (t — s)ds.

о

0

Нетрудно

показать,

что

,

т

lim-jr (

sin c«*Ф (*,

c v c ^ d t

=

4 r ( R s c1 +

R CC2 +

A>)>

T^°°

оJ

т

Hm yl- Jr cos со* Ф (*, cv

c2) d t

=

- j - { R c cl -

R s cz +

£ 0);

здесь

Aq =

lim -y-j

sin соtdt j R (* — t)g?t j

/ (s) sin со

(x — s) ds,

o

o

о

т

«>

t

Z?o = ~

Hm

j

cos со tdt j /? (* — z)di^ f (s) sin со

(x — s) ds.

Следовательно,

усредненные уравнения будут иметь вид

5 ~

еХ

"Ь Л ) '

?(0) — *с

2о)

вК

-*0

. (IVЛ .6)

’ 1

=

;

(

#

И

-

^ ч (

о

>

1

° )+ = (*)5

Интегрируя

эту

систему,

находим

e)J

„ .

бХ*

0 .

6 w

=

- - o ,.7 ^ s

I .0

I

^

^

«

2"

-л<

-<z« * s i i"

eXt

r,(t) =

e

Cj s i n ^ / ? c +

i

0

(IV.1.7)

+

c2 cos r ; ; R c

Ri +

2

)

Rc

где ностоянные c\ и c\ определяются

из

равенств

.0

х о

+

A 0 ^S B oR c

Rl + R't

c \ = * L -

W

e

^ q R s

2.

to

R j + R ' i

Следовательно, решение исходного уравнения в первом приб­

лижении

можно представить так:

х (t)

= \(t) cos wt +

х

t

(s) sin ш(t — s) ds;

7j (t) sin o)t 4 - — J /

здесь \{t) и r^t) определяются

согласно формулам (IV. 1.7).

В практических

задачах

f ( t ) можно

интерпретировать

как

некоторое

внешнее воздействие

на

систему.

В данном

случае

может возникнуть

явление

резонанса.

Рассмотрим

этот

вопрос

несколько

подробнее.

= h cos y-t. Тогда

следует различать

два

Пусть,

например f(t)

случая: нерезонансный (]х^ш) и резонансный

(jj- ^

ш). В нере­

зонансном

случае

выкладки

остаются

прежними, т. е. уравнение

(IV.1.5) введением

новых переменных

сх(t) и с2 (t)

по формулам

х (t) =

СхCOS соt +

С2sin соt -f-

COS

x{t) = — С< (о sin tot 4- Со СОCOS оit ------ г—^Цг- sin

\ /

1

1

(1)“ —

JJ."

*

К полученному уравнению применяется та же

процедура, что и

в нерезонансном случае, т. е. полагая

х — ctcos \>-t+ Соsin jd, x = [a( — ct sin

+ c2cos y-t),

z \ t

о . вЦ (

O il

« = * ■ * * * k + 4

- сз 8Ш 25:

я * + т - -

к ; +

1 *1 + 4 -

Ч =

е/7 Я.

+ T r ) + c > s f

К +

х

+

* * ‘'S№ * t o ' - £ ( X c

+

vtf.

Отсюда

следует, что если R s >

0, то

при достаточно

больших t

в резонансном случае можно положить

x ( t )

( R s sin \it

R c cos iu y

При

N

f { t ) = hQ+ V

(Aac° s

+ g* sin Лц*)

уравнение, ядро которого не является

ядром

разностного типа,

а именно:

t

х -f- о)2х = f ( t ) -f

R (t,

s) х (s)

ds,

.л: = со (— с х (t ) sin t\d +

c2 (t) cos at) + - ^ - J f (s) sin <o(t — s) d s y

0

находим

c, = ------- sin

<0/1J

R {t, t — x) f c , (t — x) COS to (t — x) -f-

u>

+

c2 (t — x) sin to (t — x)j d i - {-

R (t , x) dx

/ (5) sin to (x — s) ds

t

Co = —

cos шt

R (t, t — x) [Cj (t — x) cos to (t — x) -j-

l o

+

c2 (t — x) sin to (i — x) J d i

+

—- j

R

{t,

x) dz J / (s) sin to (x — s) ds

о

0

C j( 0) =

* 0,

c 2 (0)

=

~ X

0.

Предварительно

заметим,

что

oo

j R { t ,

t —

x Jc,) cos to

(t —

x4)- c2 sin to (t — x ) J

d ! x

=

6

=

Cj |cOS to tR ]

( 0 + s i n

to tR*s (^)J

-f

c2 [ sin to tR*c (t ) — cos u>tR*s (*)J =.

= sin to/j^c, R *(t)

+

c2R] (/)J +

cos юt [cj

R * (t) — c2R*s (*)],

где

OO

R s (t) = ^ R (t,

t — x)sintoxcfx,

0

00

R'c ( t ) = \ R ( t ,

t — x) cos to id-..

Выполняя усреднение,

находим

*

=

eA

=[ ( -4

.

+

A

> H

+

V( Я+ о g -o ]

‘

о )

-

-

^ =

“

[(^о +

^о) 5 +

(Do — а 0) ■*] + ^о]

(IV. 1.8)

4 O ) = x 0,ri(O) =

* L