книги из ГПНТБ / Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений

а)

Ё (() -

е х 01 (Е (<),

Ё (/), Е (< -

Д),

Ё(< - Д). г) ;

б)

Е(<) =

^„,(Е(/>,

Ё (<),?(<).

Ё(*),

е);

в)

E ( < ) - ^ 01(E (0 .

О, Е(<). О, е ).

оо

jcp( t, s, х, х,

и, v) ds =

9 , (*, х , х , и , v ) .

о

Пусть существует

предел

1

т

I*

X (t, х,

х, а , V, 92 (

Нш -=-

I

Л •*,*, и, о), s)

=

r-°°

J

о

=

^02 (■*»

W, s).

а)

Ё(t) =

t X 02( 4 t ) ,

Ё(<),

Д),

Ё (< -Д ), е) ;

б)

Ё(<) =

**оДЧ <).

Ц/), Е(<),

Ё(/),

0 ;

в)

Е (f) =

еХю (Е ((),

0, Е(/),

0, е) .

тичного усреднения гораздо больше.

Отметим некоторые из них.

Пусть

система (III.1.1) имеет

вид

х = гХ,

х, j<pt( t, s, x (s)) d s j +

eX 2

x, J 92 ( t, s, x (s)) ds

(III.1.14)

В этом

случае,

согласно

указанным

выше схемам усреднения,

можно усреднить либо первое, либо второе слагаемое.

Если

система

(III.1.1)

имеет

вид

t

х =

г Х х t, х* У. j?t

(t,

s,

x ( s ),

y ( s ) ) d s

о

(III.1.15)

t,

s , x (s),

у (s)) ds

х (t) = еХ

t, x ( t ) , x ( t ) ,

jc (-с),

(х), J

<р(/, s, х (s),

Ь

а

\

X (s), X (а ),

X (o))dS,

( t,

S, X (s),

*(s),

X (а ),

x(z))ds,

+

т

а

t

t

+ £ 2 Х к

t, X ( t ) ,x { t ) ,

X(x),x(l), Г

. . .

fcpfe [t,

S2,...

А = 1

a <* P«)

i V

^ ,..., x ^S^

X ^<3j ^, ... , .X ^

jc^Oj ^ , ... , x ^ j d s j ... d s ^, £ J,

х = tX /1, х, j*ср[t, s, х (s) ) ds |

(III.2.1)

Случай более общих уравнений редуцируется, как

это будет по­

казано

дальше, к уравнениям вида (111.2.1).

I.

Обоснование первой

схемы усреднения. Итак, системе

(II 1.2.1)

поставим в соответствие

систему усредненных уравнений

* = e * o i (*).

(III.2.2)

*

0

1

(■ *)

=

lim -у-

Г *

(if, х , <р, (t,

x ) ) d t ,

(III.2.3)

<Pi (t,

x)

=

j*©(*, 5,

*)d s.

(IJI.2.4)

1.

Теорема

III.

1.

Пусть

функции

X ( t ,

x , y ) и y { i , s,

x) оп

ределены и непрерывны в области 2 { ^ > 0 ,

s >

0, х

е D cz R n , ysR Q}

и

пусть

в этой

области:

;

1)

функции X

(t,

х,

у)

и

® ( t , s , x )

удовлетворяют

условию

Липшица

II *

(t, х\ у ')

-

* (*, X", у")\\ < X (И*' -

*"|| -HI у' -

у" II},

|ср

(t,

5,

X') -

ср (*, S,

*") |< [X(*, S)

||*' — х"\\\

t

т

2)

—

I

dx

I

р, (т, s) ds

0,

t-+ оо, X =

const;

3)

в

0

0

/

x e D

существует

предел

(III.2.3)

и

каждой

точке

|! *

01 (*)[[ <

АГ>,

| | * 0 1

( *

' )

-:х01(х")\\ <

V ||

*

' -

* " 1

1

;

4)

решение

Е =

Е(^),

E(0) =

* ( 0 ) e D

усредненного

уравнения

(III.2.2)

определено

для всех

t^>0

и лежиг

в области

D с неко­

торой р-окрестностью.

Тогда для любых

т] >

0

и Z, >

0

можно

указать

такое е0,

что

при е < г0

на отрезке

0 < t < Ьг~х

будет

выполняться

неравен­

ство

||*(0 — ?(0| | < ^

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Представляя

системы (III.2.1)

и (III.2.2)

в

виде интегральных уравнений,

находим

* ( * ) - E

( 0 =

s j

x U ,

X (х),

|*<р( х, s , х (s)) ds

|—

S (х),

J«

( х, s, Е (s))

ds

0

*) Вместо этого условия

можно потребовать,

чтобы вдоль траектории

W)

■< Af (t2 — ^i) ,

j ? ( x ,

s,

t(s) ) d s

j —

X, E ( x ) ,|cp(

X,

s,

e(T))rfs

dx 4"

+

e j [

*

(S(x), ,j

?

( x ?, (s x,) > s ) -

X01(

E

W )dx.

( I I I . 2

X (

х\, ( т ) ,

J

ср ( т ,

S , dsI

( х )X)

( х ,

£ ( х ) ) ,

? (!-с))( =х , 5

=

А " ( т ,

£ ( т ) )

,

X (х,

I (х) ) -

Х 01 (& (х)

)

=

ф (х,

£ (х)),

находим

е j

f х,

£

(x), Jcp (x, s, 5

(x)) ds ) — X Ql(% (x))

dx = =

= 4 ^A

l

(

x

, E

( x )

) -

A

dx’ „ =, ( t£ ( x ) ) ((tт) ,) dx5 .

1 х (х,

?') -

^(х, Г)||< х ( II

е"|| + |, ?,(х, 5') -

- <Р. (х, П

II) < X У

-

Е"|| + | IX(х, s)

II Г -

5"|| ds

< x ( l

+ Ji*

(х,

s) ds j|| %' -

5"||.

Полагая

j ( i ( xs), d s = H-o ( x ) ,

получаем

X (x,

П - X ( x ,

?")|| < X (1 +

b (x) )||r -

S"||,

причем, согласно условиям теоремы,

t

Нч>(*) =

1

н-о (т) dx-*0 ,

t^oo.

7 “

Следовательно,

функция

ф будет удовлетворять условию

Липши­

ца вида

I I Ф ( Т ,

? ' ) -

Ф ( X ,

Е " )

II <

( X +

V +

X f c , ( Т ) )

| | ? ' -

Е "| | .

Покажем теперь, что каково бы ни было

число а > 0 ,

всегда

можно

указать

такое

е„ что

при

e < e t

на отрезке/ = {0 < t <

< Ьг~х }

будет выполняться

неравенство

t

W ) d i

<

а.

(III.2.6)

Действительно,

разобьем

отрезок

/ на т частей

точками

—0,

t2 '

’ ^tn-l '

~ ^

-i

Имеем

t

m~l

ti+l

) —Ф(т>^)}dz

e fФК Ut))rf,c < e2

[

-h

n

i= о

у

m -i

^+i

+

2

f Ф М ;)'* '

(III.2.7)

i= 0

У

Оценим

первое слагаемое в этом неравенстве:

m-l *i+1

2

f [ф (т^ ( т) ) - ф (т>

<

m-l

ri+l

< £ 2

f

( X +

v +

X ( i 0 ( t ) )

||Е ( х ) —

E J | d x

i=О У

т —1

*i+ 1

< г2М

2

|

{ (^ +

— tt|+

¥ 0 (^)| Т — *,|}^х <

Lie

M I2

/1

I

\

I

eAfLX Г*

v ,

< "2^Г (X + v) +

m,

I

(^) ^

<

<

(^ +

v) H---- ^

S (e) =

a (w, £),

где

Ясно, что а (е, т) -> 0 при т -> о о .

Второе слагаемое в (III.2.7) оценивается так же,

как

и

ана­

логичное слагаемое в (III. 1.5)

при доказательстве

теоремы

II 1.1:

т —1

* 2

<

sup

Ф

+

0 < т < Ц т

т—1

т —\

(k +

1) L

+

sup

х ф ( - 7 д , ) +

^ 2

ф (

§

д ; )

+ * 2

ф

гт

у^

k = \

При фиксированном т правая

часть

этого неравенства

стремится

к нулю при е —>0, так как

Ф (*, *) =

- и

Ч -

*„|(Ч] *

(III .2.8>

0

Итак, неравенство (III.2.6) доказано.

Теперь из (III.2.5)

получаем;

II* (*) — S (t)\\ < а + eXjofx j n (т, s) |||(s) — I (x) |dz +

о

0

t

T

+

jV (T> s) II* (s) — &(s) IIds +

eXJ!l * (x) — S со ll dz

или

о

0

t

X

11x ( t )

— l (*)‘|< a +

eX ^ dz jV (x, s) \\x (s) — I (s) |dz

+

6

6

t

4- XMZ.0 (e) -j- eX J|f x

(x) — | (x) |dz.

о

Следовательно, на отрезке / имеем

| | *(*)-& (0ll<

[а +

ХЛ Ш (е)]ги+Х6(б).

(Ill.2.9>

Как

и в теореме III.1, показывается,

что

на отрезке

/

решение

x ( t )

не покидает области D.

Поэтому,

положив

в

(III.2.9)

\а + XMZ.8 (е) < £~X(1+Z,) min (р, vj), S (е) <

1,

получим утверждение теоремы.

Следует

отметить, что

в процессе

доказательства

нами

полу­

2

^ ( х + V) +

S ( ') + ХЛ Ш (е) +

1

+

s u p

7-х ФД о( -)

+

s u p x Ф

0<x<Z/m

J

О<x<Z./m

)

т —1

/7Z — 1

( k + \ ) L с

2 ф(^л)+^2

ф

Х£+Х8(е)

(III.2.10)

ет

’ S

7=2

\

/

fe=i

где Ф (£, £)

определяется равенством

(III.2.8),

а

8(e) =

s u

p

{х0т (

- 1 - ) ,

^0 СО =

U

(*с, 5 )

flfs,

[Х0 ( 0

=

- т -

(О

-Во многих частных случаях

оценка

(III.2.10)

принимает

более

простой и компактный вид.

и <р(£, s, х)

Теорема III. 2. Пусть функции

X (t,

х, у)

опре­

делены и непрерывны в области 2 \t ^

0,

0,

x e D c ^ n, y

^ ? }

и пусть в этой области:

1) X { t , x , y ) s ' Lip^ у (X,

2),

Х =

const,

ср (*,

s, ^ )е и р Л(р (*,

s),

2);

t

t

2)

j d x Jp. (x, s) ds

<.ct,

c = const,

*01 ( * ) e L iPjc (v, D),\\X0l (*)||<M*>;

4) решение £ = S (£),

5 (0) =

х: (0) g D усредненного уравнения

(III.2.2)

определено для

всех

^ > 0

и лежит в области

D с не­

которой р-окрестностью.

Тогда для любых у\> 0

и L >

0

можно указать такое

е0>что

при е <

е0 на отрезке 0 < t

< Ls-1

будет выполняться неравенство

II*

(О -

*..:(*) \\<ч

*) Вместо этого условия

можно потребовать выполнения неравенства

^2

f *01 (5

СО) dx

х =

вХ

х, J <р (t,

s, x(s)) ds

(А)

Пусть задано

начальное

условие

■я (*о) = х 0, i 0

0.

Составим

соответствующую усредненную систему^

£ = ьХох (£),

\(^0) — х 0,

(B )

_ 1_

- и

| -

*01

(•*) =

В т

J

*It,

X, J

<p(t,

S,

х ) ds

dt.

( C )

Г - о о

т

Естественно поставить

вопрос

о близости решений систем

(А) и

(В) на отрезке [^о,

^о +

^£ -1 ]-

Справедлива

следующая теорема.

Теорема III. 3.

Пусть

функции X { t ,

х, у) и ср(t,

s, х) опреде­

лены и непрерывны в

области

Q{t^> 0 ,

0 , x e R n ,

y e R n ] и

пусть в этой

области:

1 )X (t,

х, у) е Lip^ у (X (t),

Q),<p(t,

s, x)eL ip x (i*(t,

s),

Q);

2)

dx = p

<

C O ,

,

v

dx —zq < 1;

+

j [a(t, s) ds

3) в каждой точке

x e R n

равномерно

относительно

t0 > 0

существует предел

(С) и

* 01 (*) е Lip^ (v,

Q), ||*01 (*)((< М;

4) решение S = £(tf), Z(t0) =

*

(t0)

определено для всех

£ > £ 0.

Тогда

для

любых

тч >

0

и Z > 0

можно

указать

такое

е0, что

при в < в0

на

отрезке

t0 < i <

-f Lz~l

будет

выполняться нера­

венство

\\х (t) — S(*)|| < 71-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Как

было

показано

в

[17],

при

выпол­

ее решение,

удовлетворяющее начальному условию x ( t 0) = х 0,

ограничено,

т.

е. Цх (t) | < ct. Более того, это

решение опреде­

лено для всех

t^> 0.

дифференциаль­

Рассмотрим

наряду с системой (А) систему

ных уравнений

Л'

, У( * о) =■*(*<>)•

Легко убедиться, что решение

у (t ) ограничено, т. е. ||у (t) ||< с2

и определено

для

всех

t ^ O .

Оценим

разность х — у.

Имеем

(t >

to)

\ \ х - У

х

(х) _

у (х)|| +

(т, S) II X

(S) —

1

о

L

y(s)\\ds

d-z-f е

j* Ь(Д dt

j [X(т, s)||y (s) — у (т)|| ds.

to

о

Следовательно,

для всех

t

> t 0

II * ( * ) - > > ( * ) ! ! < 2е<7 ( О + с з)-

Заметим, что если не пользоваться

ограниченностью

решения

а: (О, то эта

оценка принимает

вид

II х

(t) — у (t) || <

2 eqc2e*4.

Таким образом, задача свелась

к установлению

близости

реше­

ний

систем

дифференциальных

уравнений

= г Х (t, г.у,

ф(t,

у) =

t

х

у )),

-]>(*,

f ср( t , s,

у) ds,

I/

о

У (*0) —

(*о).

S =

e*oi(*).

l ( t 0) =

x ( t 0)

на отрезке

t0 < t0 < t 0 +

Lz~l . Теорема

доказана.

Докажем

еще одну теорему

о близости

решений

систем (Л)

и (В) на отрезке

[f0, ^0 + ^e_1 ]•

X

(t,

х, у) и ?(£,

s,

х)

опре­

Теорема

III.

4.

Пусть

функции

делены

и

непрерывны

в

области

Й { £ > 0 ,

О, x e D c i R n ) и

пусть в этой области:

1)

X

(t,

х, у)€ Lipr у( р р 2), <р(0 s , х ) е Lip^. ( {*2 (t , s), 2 ),

d t j

|x2 (C 5) tfs <

ц2 ( t2 — tl )ф ( t2 — tx ), ф

0,

t

-

oo,

t,

0

t,

-

fflfe

j|s — t||x2

(t, s ) d s < {X2 ( *2 —

), Ф <

1;

V,

о

2)

предельный

переход (С) выполняется

равномерно

относи­

тельно

tо > 0

(а: (0

и 5(0

ограничены)

и

Х 01 (a:) g Lip^.( jJ-3 , D), ||*||<с,

|51|< с,

ti

3) система (Л) не имеет особенных точек;

4) решение $ = &(*), l { t Q) = x { t Q)

определено

для

всех ^ > 0

и лежит в области D с некоторой р-окрестностью.

Тогда

для

любых

у >

0

и Z, >

0 можно указать такое е0, что

при е < е0

на отрезке

t0 < t < td -1- Z,e-1

будет выполняться

нера­

венство

|X (t) — \(t) |< rh

где x ( t )

и l{t) — решения

систем

(А)

и (В)

соответственно,

удовлетворяющие условию

л;(£0) = £ (*<>)•

выше теоремах

функция

3.

Заметим, что если

в доказанных

Липшица

ji (/, s) постоянна,

то

близость

решений

исходной и

усредненной

систем устанавливается на отрезке 0 < t < Le~4\ Сфор­

мулируем

это

в виде

следствия.

Следствие III. 1.

Пусть

функции

X (t , х, у)

и <р (t,

s,

х) оп­

ределены

и

Hent ерывны

в области

s > 0, х е

D <z R n ,

y e R q ] и пусть в этой области:

>>= const,

[а = const;

2)

в каждой точке x e D

существует предел (III.2.3)

и

(X) е Lip^ (V, D), |Х т (х) |< М;

3)

решение \= I (t),

£(0) =

x :(0 )e D усредненного

уравнения

(III.2.2) определено для

всех

и лежит

в области

D с

неко­

торой р-окрестностью.

Тогда для любы^ ч\> 0 и L > 0 можно указать

такое

е0, что

при е < е0 на отрезке 0

будет выполняться

неравенство

\\x{t) -

%(f)\\<rh

где л:(t) — решение системы

(Ш.2.1), х (0 ) =

Е(0).

4.

Можно указать и другие способы

обоснования рассматри

ваемой здесь схемы усреднения. Приводим некоторые из них.

А.

Рассмотрим системы

(Ш .2.11)