книги из ГПНТБ / Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений

А0 =

lim -i-

f /?* ( 0

sin2 cut dt,

r-oo

J

a 0 =

1

T ■

lim - -

(7?* V) cos2 «,* a t ,

i

r

c0 = lim

1

I-* I-»*

(t) sin соt cos dt,

l

R

7'-**00 ■*

0

J

60 =

i

r

cos2 a)tdt,

lim-^-

(7?* (0

D0 =

Hm

0

R c {t) sin оd cos od dt,

7* oo

J

OO

X

go =

lim-jr- j

sin соt d t

j*/? (t,

x) d~ J/ (s)sin oi (x — s)ds,

о

oo

A0 =

~ “ lim - j- ^cos ш

R

~) d~ ^ / (s) sin со (x — s) ds.

0

0

0

системой (IV.1.6) и легко интегрируется

в форме (IV. 1.7).

Если ядро R ( t , х) является

ядром

разностного

типа, т. е.

R (t, *0 = R (t — -),

то

ао = А) =

~2~ ^ 1 bo =

В о = ~2~ Rc ’ с0 —

= о

и система (IV. 1.8)

переходит в

систему

(IVЛ .6).

л: + ах 4- “>2х = f ( t ) ~ f

scp ( х 9 х ) 4-

t

4 - e l J R (t — s ) F ( x ( s ) ,

x (s)) ds 4-

0

t t t

+ ell I'Jj* G (t — s„

t — s,,

t — s3) 0 ( x ( s l),

x ( s 2),

0 0 0

^ c(s3),

a: ( s ,),

x (s2),

x ( s 3) ) d s lds2ds3.

1.

Рассмотрим

сначала

уравнение

t

x - f о>2д: = e f ( x , x ) + sX j ‘ R ( t — s ) F ( x ( s ) , л; ( s )) ds

(IV.2.1)

x

(0) =

x 0,

x (0) =

x 0

Приведем

это уравнение к стандартной форме,

полагая

Имеем

х — a cos ф х =

— аш sin

^

-f- ®.

а =

-----— sin ^ { f (a cos '!>,

— аш sin <Ь) -f

+

X j

R (t — т) F (a(s) cos ф(s),

— ша (s) sin ф(s))

0

Ф =

—

cos ф{ /(acos ф

— a

oj sin '^) 4-

(IV.2.2)

t

+

X j

(t — x) F (a (s) cos 0 (s),

— oja(s) sin 6 (s)) ds}

a 0cos <p0 =

x 0,

a 0sin ф0 =

—

a 0 = a ( 0

) , 0 ф=

Ф ( 0 )

Введем

для краткости

обозначения

/

о ( я »

' {

> ) (a= /cos

— coasin'»,

F0 (a,

= F ( a cos^, — coasin^).

Тогда

уравнения

(IV.2.2)

примут

вид

(после

замены

i

в интегральном члене)

я =

— -~1/о(а» Ф) sin^ +

Xsin фj*/? ( a ) F0( a { t — а ),

ф(* — <)) * } ,

'

о

<? =

-

“ - j/o (я. Ю cos ф+

х cos

j* я (a) Fo (a (t -

о),

ф(* -

))</a ..

l

0

Заметим,

что здесь

ф = 0)t - г ф,

ф (t

— a)

=

ш / — юа -f- ф (t — a).

11-217

161

i =

ч : = - А г В & ч),

где

А (а, ср) =

lim -^-f

/ о

(a,

tot + ср)

Sin (tot - f ср) +

Т-+ОО 1 J

+- X Sin (tot -{- cp) J

R ( a ) F q(<2, to/ —j—cp— toa) do| dt,

В (a , cp) =

Hm

J

| / о(a,

t o / + cp) cos ( t o / + cp) +

-f X cos ( t o / -j- cp)J R ( o

) F 0 (a , (at -j-

cp— t o o ) do j dt.

Так как

]

T

+

sinfr ) ( t o /

+

?dt) =

\ 2%

Hm —

\ f o { a ,

f/o ( a , Ф) sin ф < %

i

f .......................................................

cp) Л =

I 2*

\\m-j- [ /о (a, <»* + rp) cos (to/ +

2^г[/о (я»ф)cos ф*/ф,

r '*00

6

0

( я , Ф ) =

То (а ) "г 2

[ т«

C0S ^ ^

Ь» ^ Sin

*

Тогда

72=

1

F 0 (a, tat - f

ср - о)to = То {а) +

2 { тл (я)

[cos лф cos л ш а +

оо

со

f R И

F 0 ( я ,

t o / - f cp

— tdoo )= j 0 ( a ) j R ( a ) do - j -

o

о

oo

oo

+

2

тя

cos ^

J я o o cos яша^а +

71=1

0

оо

оо

Т„ ia )sin я ф J R (3) sin п ша

(а ) sin ф J R ( a ) cos п <ooch —

—

0л ( а ) С 08 п ф j

R (а) sin

=

yQ(a) R° - f

о

оо

+

2 l ( T e( « ) cos^

+ 8n(fl)sIn^ )

#" +

/г=1

+

( Т„ ( л )

Sin /гф — оя (а) c o s

/гф) / ? " ,

где

оо

оо

R” = J R ( з

)dz, R " - \ R (о) sin ж

»

зdzr

о

о

оо

R nc = j 7 ?

( а )

COS/гсоз^а, /г =

1,

2 ,

3 , . . .

Поэтому

о

т

(

lim ■у~ J sin фI То /?э +

2

[(?« cos лф +

8Л sin лф)

4-

+

( sinТ п

Л '1> -

%

C

O S

ф

) J dt/ ? =;

]- L

(

S R],

+

RT )l ) .

Учитывая,

что

2тс

si =

2Г 1 F ^ a ' Ф^пфг/ф,

Ti = 4

J

<в, ф) COS фг%

о

окончательно

находим

А (а > ?)

=

1

2*

0

( a *

Ф )

§

т ф г / ф

+

- ^

-

sin фф4)*[ / ? *

2Г

j /

0

6

Аналогично получаем

выражение для

5

(а, ср):

2тс

5 (а > ? ) = 2Г j / о (а > Ф )c o s Ф^Ф +

2тс

о

_х

Ф— R\ sin ф] АГф.

2л J

Ф ) [# 1 c o s

Очевидно, /?] = /?, и

=

R c , поэтому

усредненные уравнения

в подробной записи будут

иметь вид

%— — 2^T j

I f ^ C0S

~

t0^ Sin

Sin ^

COS ф,

0

— to£ sin ф) [/?c sin ф 4 R s cos фJ й’Ъ,

2 tz

Y] =

—

j* { / ( ’ C os Ф»

~

s in ty) C0S +

о

4

cos ф ,

—

wsin£

ф )

[ /

? cos ф — R s sin ф ] }

fity,

где

R c =

J

R (s) cos usds,

R s =

j* R (s ) sin usds.

0

6

2. Рассмотрим

теперь

нелинейное

интегро-дифференциальное

уравнение

вида

t 11

х + w2x =

— su

t — s2, t — s3)^:(s1) X

s j j j G (t

0 0 0

. (IV.2.3)

X

x (s 2) x (s3) d s tds2ds3

x (0) =

* 0,

x (0) =

* 0

Полагая

в интегральном

члене t — s{ =

cp запишем

это уравне­

ние в форме

X +

со2* =

=

е

t t

t

( c

b

a 2 ,

a 3x) (t — Oj) X (t — a , ) X (t — a 3 ) dat do2 d a 3,

j j

j o

а

= — e_sln_4_ J J J G (a,, a2, a3) a ( t — at) a (t — a2) X

0 0 0

X Cl (t

— a3) cos Ф(/ — 3,) COS ф

— a2) COS ф

— a3) doxflfa2 flfa3,

* /

t

<p=

f f f

G(a1,a2,a 3) a ( ^ - a 1) a ( ^ - a 2)X

a со J J J

0 0 0

X a (^ — a3) cos Ф(^ — Cl) COS Ф(/ — c2) cos Ф(/ — c3) x

(IV.2.4)

x flfct do2 doz

a 0cos cp0 = x 0,

a 0sin cp0 =

—

ф( t —

= u)t -)- ср {t

—

— ша..

При усреднении величины ® ( t

— а.)

и

a [t —

считаются посто

янными и полагается, что

COS ф (t — a.) =

COS (ф ( t ) — СО

=

J

I

со оо оо

h { ( а , ср) =

Пш —

j* sin ф dt J

J j

a? cos ( ф — c o a , ) ,

0 0

0

COS (Ф — coa.,) COS (Ф — coa3)d a , fl?a2da3,

^

T

oo

oo

oo

h2 (#, ?)

= Hm-y -J cos

dt J

j

j* a3 cos (ф — coa,),

0

0

0

h> (a, ?) = — a3 (6Gccc +

+ Gssc + GJM + Gcss);

G.

j*

I* J G (a,, a2, a3) sin coa, sin coa2 COS coa3 nfa, do2rfa3,

s.sc

о б о

CO

OO OO

G_ =

Ш0(a,, a

2

i аз) COS coa, cos coa2

sin coa3 doxdo2 do3,

CCS

Gess =

J

j

J

G (ab a2, a3) COS <aal sin wo2 sin o)a3 dat da2 da3,

0

0

0

CO

CO

OO

Gsss =

J

j* j*

0 ( al5 a

2 ,

a

sin3)

sin t o c2sin c o c3dax da2 do3.

0

0

0

Следовательно,

усредненные

уравнения

будут иметь

вид

^

- 8

^

3G^

=

- 8

^

2G-

где

G, = G

4- G 4- G + 6G

SSS 1

1

SCC

1

CSC

'

CCS

1

G0 = 6G

CCC

-4- G + G

ssc

-f-G

scs

4 G

•

2

1

SCC

1

1

1

css

Интегрируя

эти уравнения,

находим

а„

eGj

K(t) =

iGaa,

,

7](^

=

Cp0 - ^

- l n

(

1 +

4a)

]

/

i

; +

1 “0

4u>

Следовательно,

E(?t <Zq

* ( * ) =

V

COS

4

+ ¥o

^

_

2GTln

1 +

4to

3.

Аналогичным образом можно исследовать, например, урав

нения

вида

X -j—о. X -)- со^ X — f

(^)

-}~ вер (^,

X , X ) -(—

t

+

ek j

F

(£,

s, х

(t ),

х (s)) ds -f-

111

o

G [t ,x u t2, T3,

dxxdx2dx3

+ ejx J J j

j : ( t2) * ( t3))

(IV.2.5)

0 0 0

и многие другие.

Уравнение

(IV.2.5)

встречается

во

многих

задачах

вязко-

у пругости и будет изучено

в следующей

главе

в связи с реше-

нием

конкретных

задач.

может быть

охарактеризовано (с точки зрения механики) векто­

ром перемещения и,

тензором деформаций £ = (е ^ .) и

тензором

напряжений

s = ( o . . ) .

Известно, чторазличные твердые

тела на­

а = Ег,

(V.1.1)

где Е = const — модуль упругого

элемента.

Линейным вязким элементом (амортизатором)

называется та­

о =

[is;

(V.1.2)

здесь

{а = const — коэффициент

вязкости элемента.

Линейной

вязко-упругой

моделью

реального

вязко-упругого

тела называется комбинация

упругих

и вязких

элементов,

сое­

диненных параллельно и последовательно в любом числе.

Дру­

гими словами, в линейной вязко-упругости реальное тело

заме­

няется

набором соединенных

между

собой

упругих и

вязких

элементов. В зависимости от способа

соединения элементов и их

числа

получаются

различные вязко-упругие

модели реальных

тел. Например, если соединим последовательно

упругий

и

вяз­

кий элемент,

то

получим

вязко-упругую модель Максвелла.

В этой модели связь между

напряжением и деформацией

полу­

чается

в виде

а +

Е_ a = E z

К-

или

1

_ Jl

» ( < ) = [ г ( < - т ) е ( т ) а Г т ,

T ( t ) = E i ( t ) ~ ^ - i *

6

P

где

о (tf) — дельта-функция.

В

начальный

момент

напряжения и

деформации считаются

равными

нулю. Если соединим

упругий

и вязкий элемент параллельно,

то получим вязко-упругую мо­

дель

Фохта — Кельвина.

В

этой модели

связь

между

напряже­

нием и деформацией

получается в виде

или

а =

Ее -)- р.г

t

а (<) = j Г (t

-

т) е (т) dx,

Г (t) =

Eo(i)

-

|i8' (/).

О

Po = Qe,

(V.1.3)

где Р

и Q — линейные

дифференциальные операторы

порядков

т и п

соответственно.

Соотношение (V.I.3)

можно записать в интегральной

форме

[41]:

t

a ( t ) = $ r ( t - x ) z ( x ) d x ,

где

О

т

Г (^) = — cfi' (t ) -f- CQ0 (t) + 2 c -k e k

k=l

и l k — корни многочлена P ( X ) = 0 (предполагается,

что

корни

но рассмотреть и пространственные

модели вязко-упругих тел,

составленные из упругих

и вязких

элементов. При этом

девиа-

тор напряжений s.;. будет связан с

девиатором

деформаций е {.

соотношениями

si j ( t ) =

J П * — тК у ( т)

(V.1.4)

о

а гидростатическое

давление а =

у

(аи + а-п +

азз) связано с де­

формацией объема

6 = 6И -f- 0,2 + 633

соотношением

а

—

т ) б ( т ) f l f x ,

(V.1.5)

о

причем ядра Г и Г, имеют нерегулярности типа 3-функций, а'

регулярная часть этих ядер есть сумма экспонент.

Ядро Г (t) называется ядром сдвиговой релаксации, a r t (f)—

ядром объемной релаксации.

2. Можно не прибегать к построению моделей из

упругих и

вязких элементов.

Исходя из общих положений легко показать,,

что связь между

напряжениями и деформациями в

изотропной

(V.1.6)-

а

В основу вывода соотношений

(V.1.6) кладется принцип

макро­

скопической определимости [41, 42], который

заключается в том,,

что в малом

элементе среды напряжения si j (t) и a (t)

на

интер­

вале 0 < т <

t <

оо однозначно

определяют (на том же

интерва­

ле) деформации

e i J (t) и 6(f)

соответственно.

При учете

этого

принципа и некоторых соображений функционального

анализа и

получаются

соотношения (V.1.6).

Если состояние материала

(среды) не зависит (инвариантно)

релаксации

будут

ядрами

разностного

типа

П *. Т) =

Г ( * - Т ) ,

Г, (f,

т) =

Tt (f — -)

и тогда

соотношения

(V.1.6) примут вид

t

sij ( 0 =

J

Г (f — т) ец СО dx

6

(V.1.7).

t

o(t)

=

j

r t ( t - x)Q(x)dx

0

Заметим,

что

в

этих

соотношениях

указывается

зависимость

величин

s.j,

eij, а и 6 только от времени

t.

Так

как

процесс

рассматривается

в

фиксированной точке

х =

(хи х 2, х:3)

вязко-

упругой

среды, то зависимость указанных величин от координат

точки л:

не

указывается, однако это всегда следует иметь в виду.

Как

было показано выше на конкретных

примерах, ядра Г и

Г! содержат

сингулярности типа 3-функций. Поэтому

в этих

ядрах принято

выделять

регулярную

и

сингулярную

части и

представлять их в следующем

виде:

Г (t,

т) =

2G3 (f — т) — Г (f,

т),