книги из ГПНТБ / Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений

■* = сх (/) cos U)t -f с2 (Osin ut

|

(И 1 10)

X = ш ( — Cx (^) sin со t + C2(t) COS 0) t)

J

Разрешая систему (II. 1.11) относительное* и с2, получаем урав­

нения в стандартной форме

с t =

------— sin со t / 0 ( t , си с2),

с2 =

-^~ COS < o t f 0 (t , clt c2).

преобразование

вида

л: =

« cos ф,

х

= — <2со sin ф,

ф=

со/ + <р.

(II. 1.12)

Подставляя (П.1.12) в (ИЛ.9),

находим

a cos ф— а срsin ф= О,

где

а со sin ф+ cl со срcos ф= — е/о (а, Ф),

/о (#, Ф) = /

(a

cos ф, — а со sin ф).

Отсюда

следует,

что

— — —

sin ф/о (а, ф),

а>

<Р= —

cos Ф/о (а, Ф),

Ф=

+ ?•

Полученная система имеет стандартный вид

и эквивалентна

ис­

ходному

уравнению (II.1.9).

уравнений к

стандартному

виду

Другие способы приведения

описаны

в работе [78].

голюбова [7]. В настоящее

время

существует много теорем об

усреднении уравнений

стандартного

вида, обобщающих в том

или ином смысле теорему

Н.

Н.

Боголюбова. Достаточно под­

робно изложены эти

обобщения

в

монографии [78].

Приведем

формулировку теоремы Н. Н. Боголюбова.

Теорема Н. Н.

Боголюбова.

Пусть

функция X (t, х) удов­

летворяет следующим условиям:

1) для некоторой области D

можно указать такие положи­

тельные постоянные М и X,

что для всех

вещественных значений

^ > 0 и любых точек

л:, х',

х"

из

этой области

выполняются

неравенства

|X (t, х) |<

М,

|X (*, х ') -

X

(t,

х") |< X |* ' -

||;

2) равномерно

по отношению

к

х

в

области

D существует

вале 0 < t <

оо

и лежащее

в

области

D вместе

со

своей р-ок-

рестностью, то

для

0 <

е <

в0

в интервале 0 <

t <

L е- 1 спра­

ведливо неравенство

1И * ) - * ( 0 ||<ч,

в котором x ( t ) — решение

уравнения

(IIЛ.4),

совпадающее с

\ (/) при t =

0.

одну

специальную

теорему

о

непрерывной

Приведем

еще

[78].

в дифференциальном уравнении

Теорема. Пусть

х = X (t, х , X)

(*)

функция X (t, х, X)

определена в области Q ]0-< t

Т,

xeD,teX\*

где D — ограниченная

область

в R n, Л — некоторое

множество

Значений параметра X,

имеющее

Х0 предельной точкой, и пусть:

1 ) функция X (t , х,

X) равномерно

ограничена

и

непрерывна

по

х равномерно относительно

t, л-, X;

2 ) функция X (t, х ,

X) интегрально

непрерывна

по X в точке

Х0,

т. е.

ленное при

лежащее в D и удовлетворяющее началь­

ному

условию х (0, Х0) =

х 0 g D. Тогда

каждому

^ > 0 соответст­

вует

такая

окрестность

U (Х0) точки

Х0, что

при X е U (Х0) для

Следовательно,

|*0 (*') -

Х 0 (х") |=

г

Т

Х 0 (х')

(*, х') dt + - j - $ X

(*, х') dt -

т

г

<

т■ j x ( t , х") d t +

- i -

j' X (t, x") dt -

X„(x")

< 2 ' 4 - + 4 - !

i\ x ( t ,x ' ) - x (t, x") к dt <

< 8 + ^ |•^/— *■" |•

Так как 8 произвольно, то

в пределе получаем

Для этого разделим

отрезок

1 ш т

равных

частей точками

/

— о t — ^

2L

.

И

t — _А_

’ *2 —

^

t —

^

•••’

10

— и» С1 —

sn}

I ••• > l l —

вт 1

Lm — е

ете

и положим Ц

♦ i = 0, т .

t

й—1 Г/Ц-1

\ ®

s со) ^

II =

II£ 2

f

[ ? (т’ 5 (х)) “ 9 (х* ^ )]dz+

■

t

i-0

£

+ S j [с? (хД (х)) — ср (х, ^ )] dx +

fe-1 ti+i

+

s 2

I <p(t ' 5i ) rfx+

e

f <p(x* 5* ) rfx

t=0

t,

tk

k-\ ti+1

< £ 2

f

llc?(x^ ( x) ) “

c?(T’ ^ ) l l cfT

i=0

it

+

£

V

*/+1

d i

+ *2

. 'I d i +

771—1

т - 1

I ?<4?<)

/=0

J

'

/=1

0

+

£

If4 «*)rft

Так

как

|? (<, л') -

?

(/, х") |< 2]* Ц-к' -

||,

w - 4 l = PW -K*i)ll = *

j

Х 0 (Ц о))<и < еУИ|т - ^ | (

то

/71-1

t i + 1

||?(T4(4)-?(^Ji)ll</T<

s 2

J

/= о

t t

т-1 ti+j

< 2н-£ 2

f II ^(т) “ h |KT<

/ = о t t

m - 1

ti +

1

M L2}л

< 2[i M e2 2

j*

|т — tt |d i

m

i=o

r,

Введем обозначения

t

Ф ( Л 5) =

- j - J

[ * ( » .

E) —

J f 0 (6)] rfx

o

Ф0 (£, c ) =

SUpxO

—

? j .

0<x<£

^ E

J

Ясно, что при каждом

фиксированном

£ e D функция Ф( /, 0

стремится

к

нулю при t -> оо.

Поэтому

при

фиксированных /га»

k, i,

\k ,

имеем

ф

kL *

О, Ф

{ l + \ ) L

»

-> О,

sт ’

гт

Ф0(в, У ^ О, В -> 0, / = О, т — 1 , & = 1, т — 1 .

Отсюда

m —1

m —1

г г + 1

i=0

d~

+

* 2

| ? (%

) * +

i=l

I ?(т’ )d'

m —1

+ £

-

i=0

*,+. ф ( <«+.• У +

2

m —1

m —1

2

®

(*" + 1) L

• )+2 ф(^- ? +

em

i=0

i—1

+

max

Ф (в, ^ ) = / 7 (e, w).

Итак,

(AiWZ,2

+ F ( b, m) = a (e, /ti).

m

и достаточно

малого

е

величина

а

( е, тп)

может быть сделана

сколь угодно

малой.

решение

x =

x { t )

системы (II. 1.4) в виде

Будем теперь искать

х

(^) = X(£) + а

( е , пг) и (t ).

- г X (х Д

(х )) — Х 0 (Ц т )) J dx.

Следовательно,

||и (О ||< 1 + £1А

т. е.

II и (<)|| <

.

Итак, на отрезке / имеем

неравенство

| | * ( < ) - H 0 ||=

a f l “ W ||<

< а е ^ г < ae^L.

а (в, т) <

e~^L min )_£_

J L I

2

•

2 Г

Тогда на всем отрезке /*,

на котором

x ( t ) e D ,

будем

иметь

И<)-ч<>||<-Ь

Если теперь предположим,

что t* < Is -1 , то

на

отрезке

I =

= { 0 < t < L b~x } в силу непрерывности

решений

х

(t) и

5 (*)

Однако

из этого

неравенства

следует,

что

при

t — Т решение

х (/) еще не покинуло

области D. Поэтому Те/*; следовательно,

И 7 - ) - б ( л ц < - Ь

Полученное противоречие свидетельствует

о том,

что t * ^ L z ~ 1 .

Теорема доказана.

4.

Оценки.

В процессе доказательства теоремы II. 1 нами был

получена следующая

оценка для

разности

решений исходной и

усредненной систем:

И * )

s W II < ^

F * r

max

Ф0(з,

+

0<k<m—1

4

~m —1

(/4- \) L

т—1

IL

g

+ L 2 ф

л +2®

(II.1.13)

sт

ет ’

i

где

/=о

i= 1

Ф ( * , * )

= - L J [ * ( t,5) - *

0(5)] Л

Ф (£) = sup Ф (t , %) =

sup

t

J

[л -(т, ?

) - х 0ш ] л

SeD

SeD

Тогда

Ф (^) -> 0,

t

-> со.

| [ Л - ( т ,Е ) - ^ 0 ( 5 ) ] Л

st<£(t)

0 L

<

SUp

х ф (

= ф (s),

ф (s)

0, e — 0

0<T<L

\

1

и следовательно,

т—1

*i+l

d t

т —1

+

j* ©(*,&*)

+

*

г2=1

f 9

(т. ?/)

dx

г=0

0

6

+

? (x. % ) d z

< 2 m ф(е).

Поэтому оценка (II. 1.13) принимает теперь

вид

x { t ) - 4

(t) |< e

L

+ 2m ф(s)\

где

т

е

S ) - * 0(S)]<fo 1!

•ф(e) — e sup

sup

j [ X (3,

=

S0 (s).

0< -< L

SeD

6

i

Последнюю оценку

можно улучшить за счет выбора т. Выберем

т так, чтобы функция

f (rn) = -

- f 2 m s 6 (s)

принимала наименьшее значение.

Очевидно, f { m )

достигает

минимума при

/

2s0(s) •

(j.L

У р М У'Ь

(е)".

x ( t ) —t(t)\\<2Le?

Вопрос о получении более

точных оценок

сводится к иссле­

дованию быстроты убывания

функции

t

Ф (t, 5) = \

f [

Л- (х,Е) -

] Л

при t с о . Если предположить,

что

sup Ф (t, £) <

z

, с =

const,

(И.1.14)

£eD

то можно получить

оценку

вида

||*(*)-&(*)||<ef\

Р =

const.

5.

Вторая теорема об усреднении.

Перейдем

теперь

к уста

новлению близости

решений

исходной

и

усредненной систем на

бесконечном промежутке.

Теорема II.2. Пусть функция X (t , х) системы (II.1.4) опреде­

лена

в области

0,

x e D ]

и

пусть

в

этой

области:

1 )

X (t,

х)

непрерывна по /, а по

л; удовлетворяет

условию

Липшица

ljX (t,

x ' ) - X ( t , х")

||<р \\х' — х"Ц ;

2)

в каждой

точке

x e D

равномерно относительно t

сущест

вует

предел

t +T

lim

~

f

X (t,

х) d t

=

Х 0 (х),

(II.1.15)

Г-оо

1

%

и функция Х 0

(х)

ограничена**;

3)

решение

l =

? (0) = д: (0) усредненной системы

i =

e X 0(t)

(П.1.16)

определено для

всех

^ > 0

и

лежит

в

области

D с

некоторой

о-окрестностью;

zt равномерно

4)

решение

$ =

5 (~), т =

асимптотически устой­

чиво.

0 <

<

8 можно

указать такое

е0, что

для

Тогда для любых

е < е0 при всех

t^> 0 будет

выполняться неравенство

И*)- мо ц<

Д о к а за т е л ь ст в о**). Так же,

как

и в предыдущей теореме

можно показать,

что

(*)

6Lip^.

(р, Q). Пусть £(£) — равномерно’

такое

р<С^ (причем р =

р(т}/'2) не зависит

от t в силу р а в н о ­

м е р н о й устойчивости),

что для л ю б о г о

р е ш е н и я

£0(t) урав­

нения

i = e X 0 ( ^ 0 < е < е * ,

*)

Можно потребовать, чтобы на траектории S(^) выполнялось

неравенство

JХ0 (5

( 0 ) dt

< M ( t 2 — t j , t2 > tv

||5 (« - М<) |<

- г

* > * ■

Более того, в силу равномерной

асимптотической

устойчивости

решения

Е (0

можно указать такое

L , что при t > t +

L в*

будет

выполняться

неравенство

Р(<)-«о(<)ц<4-р

(здесь Z. = L (р/2), но L не зависит от t ).

По найденному р и заданному L

выберем

в0<

s*

так,

что­

бы при

е <

в0 на отрезке [О,

L в-1

]

выполнялось

неравенство

(£0 =

£0(р.

^))

||*(*) — \(0 |< Р . К

0’ L 'A , £ <

£о*

Предположим теперь, что неравенство

||*(*) — 5(*) I K

7)

такой

момент t* >

L в-1 , что

| И < * ) - 5 ( * * ) | | = ч.

причем при t < t *

будет выполняться неравенство

|■*(*) — 5 (*) Ц< r j

(т. е.

t* — первый

момент, когда

разность \\х — Ц\ достигает

ве­

личины 7j). Тогда на отрезке [ L

в-1 , t*\ найдется tq , такое,

что

Таких точек может быть несколько. В этом случае

возьмем самую

крайнюю (наибольшую) из них. Пусть t**

= max t

. Тогда и для

t — t** будет выполняться неравенство

ч

|*

(<**) - 5 (<**) ||=

р.

(II. 1.17)

Следовательно, при t >

t** будем иметь

||. * ( * ) - 5(f) Л > Р . * > * * * .

(II.1.18)