книги из ГПНТБ / Терентьев, С. Н. Цифровая передача непрерывных сообщений

Из рассмотрения графиков следует, что с увеличением основа­ ния счисления для заданных значений величины тп выигрыш G надает. Этот результат легко понять, если учесть, что с увеличе­ нием т число разрядов п уменьшается и защитные свойства кода с оптимальным распределением энергии между разрядами числа проявляются тем меньше, чем меньше разрядов. Так для чисел из

диапазона { 0-f-lu24 } выигрыш в точности падает вдвое (с 70 до 35), если основание счислений изменить от т = 2 до т = 1 6 . При­

приходится заменять ближайшими, для которых п целочисленное. Эти случаи отображены пунктирными линиями на рис. 14.

Итак, если основание счисления выбрано и значность переда­ ваемых чисел определена, графики па рис. 14 позволяют оценить возможный выигрыш в точности передачи, если применить опти­ мальное кодирование, что в свою очередь позволяет оценить целе­ сообразность его применения.

3.3. МИНИМИЗАЦИЯ ДИСПЕРСИИ ОШИБКИ ПРИ ПЕРЕДАЧЕ ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ

В 3.2 было показано, что наибольший выигрыш при кодирова­ нии с учетом цены ошибки получается в том случае, если основа­ ние кода т = 2. Учитывая это обстоятельство, а также широкое распространение бинарных сигналов, приведем в данном парагра­ фе расчет оптимального распределения энергии Я2 между разря­ дами двоичного числа. При этом целесообразно рассмотреть два случая:

—когда сигналы, отображающие 0 и 1, противоположны и прием их осуществляется поэлементно когерентным приемником. Этот случай соответствует синхронному приему фазоманипулироаанных колебаний;

—когда сигналы ортогональны и фаза их заранее не известна. Этот случай соответствует частотной манипуляции с приемом по огибающей.

Когерентный прием. При таком приеме противоположных сиг­ налов, как об этом сказано выше, вероятность ошибки

где

1

|‘ е 2 dz

— оо

60

Вспомогательная функция, необходимая для решения вариацион­ ной задачи по оптимальному распределению заданной энергии Я2 между разрядами двоичного числа, в данном случае будет иметь следующий вид:

Дифференцируя эту функцию поочередно по всем hk и приравни­ вая результат к нулю, получим систему п+ 1 уравнений с я +1 не­ известными, из которых п неизвестных Лк и неопределенный мно­ житель К. Эти уравнения однотипны и имеют вид

то К не зависит от k и в данном уравнении является величиной по­ стоянной. Правую часть выражения (3.25) можно рассматривать

как произведение весового коэффициента (цены риска) 22(к_1) на асимптотическое значение вероятности ошибки в приеме элемента k-ro разряда с энергией hk2, если прием ведется когерентным спо­ собом и Лк2 > 2.

61

Следовательно, и при когерентном приеме бинарных противо­ положных сигналов вклад в общую дисперсию ошибки при пере­ даче двоичного числа, осуществляемый каждым разрядом при оп­ тимальном распределении энергии Я2, одинаков:

1

(3.26)

2 • hk У 2 тс

Этот важный вывод будет использован ниже для построения ин­ женерного метода расчета функции распределения

Систему уравнений (3.24) вследствие трансцендентности в явном виде решить нельзя. Одним из достаточно простых методов, даю­ щих достаточную точность, является следующий.

Метод иллюстрируется графиками, приведенными на рис. 15. Естественно, что изложенный метод не является единственным.

62

однако при своей простоте он обеспечивает достаточную точность инженерных расчетов функции hk2 — f \ k) (рис. 16, 17). Поскольку

Рис. 16.

в рассматриваемом случае нельзя аналитически выразить f(k), то нельзя дать аналитическое выражение дисперсии ошибки при оп­ тимальном распределении.

Некогерентный прием. Рассмотрим второй случай, когда по­ элементный прием сигналов, отображающих 0 и 1, производится по огибающей принятых колебаний z(t). В этом случае, как извест­ но, ошибки в приеме сигнала с относительной энергией Лк2

1

к=1

Вэтом случае вспомогательная функция

F{hu h2, . . . , h n-,\)

(3.31)

63

Рис. 17.

64

Система уравнений для определения функции f(k), дающей ми­ нимум функционалу (3.30), запишется так:

Это и позволяет сделать вывод о том, что и в случае некогерентного поэлементного приема при оптимальном распределении энер­ гии вклад ошибок в каждом разряде с учетом их веса одинаков.

Поскольку выражение (3.33) справедливо для любого k от 1 до п, то можно записать следующее выражение:

Отсюда после элементарных преобразований имеем

Подставляя полученное выражение во второе уравнение системы, получим

к =1

Раскрывая сумму и делая необходимые преобразования в (3.36), получим выражение для относительной энергии сигнала, отобра­ жающего символы первого разряда двоичного числа:

Подставим (3.37) в (3.35) и получим окончательную формулу для функции распределения энергии Н2, дающей минимум дисперсии ошибки:

По формуле (3.38) на рис. 18, 19 построен график функции

Лк opt ---=■■/ (Л).

Рис. 18.

Из графиков видно, что распределение энергии в этих случаях

.мало отличаются друг от друга. Это может позволить в практике пользоваться формулой (3.38) как единой для обоих случаев и из­ бежать тем самым трудоемкого графического решения уравнения

(3.32).

После того, как было получено аналитическое выражение зави­

к =1

6()

Более наглядно о величине выигрыша можно судить по графи­ ка зависимости

(3.40) можно пренебречь. Тогда формула для выигрыша в точно­ сти передачи двоичных чисел будет иметь следующий вид:

2n + i

му приему, а (3.41) получена в предположении, что прием некогерентпый. Эго объясняется тем, что для обоих случаев вид функ­ ции j(k) одинаков, а от выражения вероятности ошибки формула выигрыша не зависит.

S . 4 . СКОРОСТЬ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ

ПРИ МИНИМИЗАЦИИ ДИСПЕРСИИ ОШИБКИ

Представляет интерес исследовать изменение скорости переда­ чи информации в том случае, если путем кодирования с учетом цены ошибок минимизируется дисперсия ошибки. Полученное та­ ким способом уменьшение дисперсии ошибки могло бы быть до-

68

стигнуто другим способом, а имение: увеличением энергии каждо­ го разряда. При этом изменилась бы величина вероятности ошиб­ ки в приеме символов, отображающих цифры разряда. В этом слу­ чае вероятность ошибки для всех разрядов была бы одинаковой. Будем называть эту вероятность в дальнейшем эквивалентной ве­ роятностью приема символа и обозначать р3. Найти величину ве­ роятности р 9 не представляет труда. Для этого нужно приравнять величину дисперсии ошибки при примитивном кодировании к ве­ личине дисперсии ошибок при оптимальном кодировании:

В правой части этого выражения р ош соответствует вероятности ошибки в приеме символа передаваемого числа при примитивном кодировании. Относительная энергия сигнала, отображающего элемент, при этом равна h2.

Из (3.42) следует, что

Таким образом, при примитивном кодировании для уменьшения дисперсии до величины, которую имеет дисперсия при оптималь­ ном кодировании, нужно уменьшить вероятность ошибочного прие­ ма символа в G раз. Этого можно добиться только путем увеличе­ ния энергии сигнала, отображающего символ кода. Определим по­ требное увеличение энергии, полагая, что прием некогерентный.

В этом случае

а

--j- - 2!ч2

/>ош=У т - и

69