книги из ГПНТБ / Терентьев, С. Н. Цифровая передача непрерывных сообщений
.pdfа Принимается число |
|
W(i)-= 2 a ^ wk-1' |
(2.2) |
к -1 |
|
где в общем случае из-за воздействия помех
то говорят об ошибке в передаче числа
Д /V = A'(i) — УУ(|) |
(2.3) |
и квадрате этой ошибки:
Д iV- |
(/V(i) — /Vli')2- |
(2.4) |
В (2.1) и (2.2) а(к’ и яУ* — цифры переданного и принятого
чисел соответственно. Цифры аУ’, как было показано ранее, мо гут принимать значения 0,1,... (т—1) в зависимости от числа
yV(l). Цифры |
flkJ) |
в соответствии с правилами принятия |
решения |
||||
на приемной |
стороне могут |
также принимать значения |
только |
||||
из диапазона 0,1,... (т—1). |
|
|
|
|
|||
Поскольку |
при |
принятых |
обозначениях |
количественно |
an)—i, |
||
a aU) — j, |
то |
|
*‘ = 0,1,. -.,(/» - |
1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
7=0,1,. ..,(т — 1). |
|
|
||
Используя |
(2.1) и (2.2), из выражения |
(2.3) |
получим |
|
|||
|
|
|
= |
|
|
|
(2-5) |
Квадрат ошибки
1
Д Л'2 =
к-1
П п
k-=i |
|
2 |
п |
«!>) |
II |
|
к =1 |
( 2. 6)
k - l/-1
20
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
* = |
/ |
|
|
|
(2.7) |
|
} 0, |
при |
k ф I, /= = 1, 2,..../?. |
|
|
|||
Полученная |
формула |
(2.6) |
выражает |
величину |
квадрата |
|||
ошибки при передаче данного числа /V10. |
Она является величи |
|||||||
ной случайной вследствие случайного выбора числа Л'(1) |
из |
мно |
||||||
жества {/V'0} |
и случайного характера воздействия помехи |
в ка |
||||||
нале связи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднеквадратическое |
значение |
величины |
квадрата |
ошибки |
||||
можно записать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д tV2= |
2 m a<k- ,U |
n -- |
о И я + |
|
|
||
|
|
k= l |
|
|
|
|
|
|
+ £ |
£ у + |- 2(1 |
|
|
|
. |
|
(2.8) |
|
k - 1 |
1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
Здесь и далее черта над выражением обозначает операцию стати стического усреднения случайной величины.
В выражении (2.8) усреднение ведется по всем значениям
/и /.
Всоответствии с правилами вычисления математического ожи
дания из |
предыдущего |
выражения |
получим |
|
|
|
д # * = 5 > 2‘к- 1ф 1Г - ^ 2 + |
|
|||
|
|
|
к =1 |
|
|
- i - v |
- |
г |
„ |
, ) '-аЧ ')-г Н„\. |
(2.9) |
к—1 1-1
Вэтой формуле Л?к1 — корреляционный момент, который равен нулю, если ошибки в разрядах k и / числа независимы.
Таким образом, вычисление среднего квадрата ошибки сводит
ся к вычислению средних значений разностей |
а ^ \ ~ |
-- Aijk и |
ajn — а\Х) = Д|,; и среднего значения квадрата |
разности |
Д^к. |
21
Введем следующие обозначения:
/?(akJ) = р к(/) — априорная вероятность появления цифры а ("
в k -м разряде передаваемого числа; |
|
||
/?(akJ)) = pk{j)— го же для принимаемого |
числа; |
|
|
р{а^)\а^)) =Pk(j\i) — апостериорная вероятность появления |
в к-ы |
||
разряде принимаемого числа цифры al1', если |
|||
передавалась цифра |
й к \ |
т. е. вероятность |
|
ошибочного приема символа а 1) вместо a(i); |
|||
^(aii1', Дк^)= A>ijk — полная вероятность |
того, |
что будет |
принят |
■СИМВОЛ Я к ’. |
|
|
|
Используя принятые обозначения, можно записать: |
|
||
ш—1ш- 1 |
|
|
|
5 ]Дцк/»*(0 -л(уЮ; |
|
(2-Ю) |
|
1 - 0 j - 0 |
|
|
|
m—1m—1 |
|
|
|
1 - 0 j - 0
Теперь
П |
Ш—1П1—1 |
|
|
= V ^ |
- 1». £ |
2 Ьы РъУУрШ + |
|
к - 1 |
1 - 0 |
j = 0 |
|
|
|
ш—1П1-1 |
|
тк + /—2 |
о - м |
2 21 |
•/>к(уюх |
к —1 Z - 1 |
|
1-0 j - 0 |
|
m—1m-1
X 2 2 ЬшР1И)щР Ш ) + К ы ( 2. 12)
1-0 j-0
2.2.ОШИБКИ ПРИ ЭКВИДИСТАНТНЫХ СИГНАЛАХ
Восновополагающей работе В. А. Котельникова |[1] показано, что коды с основанием т являются оптимальными, если сигналы,
соответствующие символам кода, расположены в пространстве сигналов на равном удалении друг от друга. В этом случае вероят ность ошибки в приеме символа при поэлементном приеме для всех символов будет одинаковой и минимальной.
22
Почти такими же свойствами обладает код, символы которого отображаются ортогональными сигналами, если т достаточно ве лико.
При использовании в качестве элементов кода сигналов с рав ными энергиями в каналах с аддитивным флуктуационным шу мом, в тех случаях, когда сигналы удовлетворяют условию взаим ной ортогональности
|
|
j 0 |
при |
р Ф q |
|
|
Qk |
при |
(2.13) |
|
О |
Р — 9, |
||
вероятность |
ошибочного |
приема символа ol'] будет постоянной |
||
для всех символов k-ro разряда: |
|
|
||
|
|
A (y'ii) — /»к o-u- |
|
|
Для канала, |
в котором |
выполняется |
приведенное выше условие |
|
и ошибки в приеме символов статистически независимы, среднее
значение величины ошибки |
в k-м разряде |
передаваемого |
числа |
|
in—1 m—1 |
|
|
|
|
2 |
X Aijk |
(y'ji) |
(*) = |
|
i ~ 0 |
j - 0 |
|
|
|
tti —P m - l |
|
ni—1 m - t |
|
|
= S S А|1кЛош-/»к(<) = A |
ОШ2 |
jA ijk M O - |
(2.14) |
|
1 - 0 j - 0 |
|
1 - 0 j - 0 |
|
|
Если все символы в k-м разряде равновероятны, т. е.
= |
(2.15) |
то последнее выражение принимает вид
m —1m -1
~щP't ош |
^Ijk- |
1 0 J - 0
Вследствие того, что i и / пробегают при суммировании одни и те же значения 0,1,..., т—1, сумма разностей
ш—1 т - 1
i - 0 j - 0
I j
ад
Тогда для канала с равновероятными ошибками в k - м разряде
■V -=- о.
Корреляционный момент Rkt также обращается в нуль вслед ствие независимости ошибок в приеме символов каждого разряда передаваемого числа.
Таким образом, второй член формулы (2.12), выражающий смещение ошибки, обращается в нуль, и средний квадрат ошибки для этого случая превращается в дисперсию ошибки:
|
|
m —1 т —1 |
А .V' == в* |
т |
(2.17) |
|
1=0 j=0 |
|
|
k= l |
На основании (2.14) и (2.15) дисперсию ошибки можно запи сать в виде
|
n |
|
|
Як-1) |
m-lm-1 |
e |
_ L Y |
|
^ |
(2.18) |
|
J |
' Р к ош |
||||
1 |
от |
|
|
i-0 j=0 |
|
|
к=1 |
|
|
||
С целью дальнейшего упрощения формулы (2.18) рассмотрим двойную сумму, стоящую в этом выражении:
in—1 m—1
V £ д2 = |
(0 _ |
0)'- + (1 - |
О)2 + (2 - О)2 + • •. + (т - |
1 - О)2 + |
|||
1-0 j=0 |
|
|
|
|
|
|
|
-!- (0 - |
1 ) 4 ( 1 - |
I)2Н (2 — I)2-j- |
+ ( / я - |
l - l )2 f |
|||
+ |
............................................... |
|
|
|
....................+ |
||
+ |
(О —а(1))2 + (1 —а1)2 + (2 - |
а(1))2-}-.. . |
-\-(т — 1 - а 1)2 + |
||||
: [0 ~ ( т - |
1)]2 + [1 — (т — l) j 2-f- [2 —(щ—-1)]2 - f \т— 1 —( т — 1)]-’ = |
||||||
= |
О2 |
12-|-22 + |
..................... |
+ ( т - |
l)2-f |
|
|
-Ь I2 + |
О2 -]-I2 |
22-|-............. |
+ [ т - |
2)2 + |
|
||
+ 22 + I2 + О2 + I2 + 22 + • •. + ( т - З)2 + |
|
||||||
+ |
.............................................................. |
|
|
|
|
+ |
|
-I (о т - |
1)2 + ( о т - 2)2 + ... + |
22 + 12 + |
02. |
(2.19) |
|||
24
Гак как сумма |
|
|
|
|
|
|
|
T ]i2= - g п ( п - |
1) (2 л — 1), |
(2.20) |
|
|
|
1= 0 |
|
|
|
то выражение (2.19) |
можно переписать в виде |
|
|||
П1—1ш-1 |
|
|
|
|
|
X |
X A>j = - 5- \'п {П1 — \ ) ( 2 т — \) |
(т — \)(щ - 2) (т - |
3)-f ... |
||
1=0 |
j « 0 |
|
|
|
|
|
. . . -f (т — Н - 1) (т — i) (2 т — 2 i |- 1) + . . . О, |
|
|||
или более коротко: |
|
|
|
||
|
m— 1 ill - 1 |
m - 1 |
|
|
|
|
X |
£ |
дн = 4 £ < 7 (<М“ 1)(2<7+ 1)- |
(2.21) |
|
|
1- 0 |
j - 0 |
q - 1 |
|
|
Раскрывая скобки под знаком суммы, из (2.21) получим
|
ш —1 |
m - 1 |
m —1 |
SS 4 =4 S ?з+2 ?2+т Е я- |
|||
1 j |
q - l |
q - 1 |
q = l |
Учитывая известные выражения
П
X =-J-»*(«+1')8;
q - 1
п
V '' J
2 j <J = - 2 n (n + 1),
q - 1
а также формулу (2.20), получим окончательно
гп—1 m—1
X X =
1=0 j =0
25
С учетом последнего выражения дисперсия ошибки при пере даче m-ичного числа ортогональными сигналами равных энергий имеет вид
4 ш= т(т- - 1) V т2 к 1)-Рк ош. |
(2.22) |
к»1
Полученное выражение может быть положено в основу при анализе влияния на величину средней квадратичной ошибки раз личных методов кодирования. Решение задачи по минимизации дисперсии ошибки одновременно является решением задачи син теза оптимальной в смысле критерия минимума средней квадра тичной ошибки системы передачи данных.
Принятые при выводе формулы (2.22) допущения (равенство априорных вероятностей символов разряда, эквидистантность сиг налов, отображающих символы числа) не сильно ограничивают применимость полученной формулы, поскольку в практике эти условия обычно имеют место.
2.3.ДИСПЕРСИЯ ОШИБКИ ПРИ КОГЕРЕНТНОМ
ИНЕКОГЕРЕНТНОМ ПРИЕМЕ ЭКВИДИСТАНТНЫХ СИГНАЛОВ
В тех случаях, когда для |
передачи символов «У' |
цифрового |
кода (цифр /и-ичного числа) |
используются ортогональные эквиди |
|
стантные сигналы, задача оптимального приема сводится к зада че различения т сигналов в каждом из п разрядов. В терминах принятой модели канала связи задача формулируется следующим
образом. |
передаваемых |
сигналов |
|
|
Ансамбль |
|
|||
x'k0'(/)— ^ k(^X0),X k V ) = |
.vkf/) >M\ . |
х'кт~ 1) (г) =JCk(/,)Tm_,) |
||
соответствует |
множеству |
передаваемых |
цифр {ок1’}—йк°', ак \ . . . , |
|
eL”....... аТ~". |
Значения |
X,, Хг. . . .заранее известны, статистика |
||
помех в канале также известна. Обычно в канале с аддитивным флуктуационным шумом закон распределений составляющих дис кретной выборки шума принимается нормальным, а сами состав ляющие — некоррелированными:
Здесь N0 — спектральная плотность шума.
26
Априорные вероятности /?к (i) символов |
a ll), |
а |
следователь |
||||
но, и сигналов л (|)к(0 |
известны. |
Требуется |
на интервале |
тк раз |
|||
личить сигналы, т. е. |
по принятой реализации |
z^(t) |
наилучшим |
||||
образом принять решение о том, какой |
из |
сигналов |
был послан, |
||||
и дать оценку теоретически минимальной |
вероятности |
ошибки |
|||||
приема. |
|
задача |
оптимального |
приема в |
|||
Аналогично формулируется |
|||||||
каждом разряде передаваемого числа.
В рассматриваемой ситуации, как иззестно, решение принима ется по максимуму апостериорной вероятности. Если выходными эффектами решающей схемы являются величины Aok,AJkl... ,A(m-i)k, то решение
принимается в том случае, когда |
|
Аш > /4/к, |
(2,23) |
где / = 0,1, . .. , т — 1 (/ Ф i). |
неравенствам |
Отметим, что неравенства (2.23) эквивалентны |
для соответствующих апостериорных вероятностей, так как выход
ные |
эффекты являются монотонно возрастающими |
функциями |
этих |
вероятностей: |
|
|
Ak,l « /(p fa k 'k k ). |
|
Для вычисления вероятности правильного приема |
используем |
|
условную совместную вероятность выходных эффектов |
|
|
/КAok) A]k,. . ., A (m—l/k|-^k )
и найдем вероятность правильного приема символов:
|
/« Ш м - |
ао |
^ |
= f d |
^... j" /^(Aok, Alk, ... A(m_i)k |xk*)rf Aok. . 'd A(m-i.k. (2.24) |
Вероятность ошибочного приема
p(a,(iK V j=/>ko.D == 1
27
При взаимной статистической независимости передаваемые символов и нормальном шуме выражение для совместной услов ной вероятности выходных эффектов приобретает вид
Р (^оЬ ^ik> • ■• >-^(т—1)к|-*чк) —Pui (-^ik) • \Pl (Лд) ] • (2.25)
Здесь /?х$(Л,к) —распределение вероятности выходного эффекта при наличии на входе решающей схемы прием
ника сигнала
—распределение вероятности выходных эффектов при отсутствии сигнала на входе.
Тогда вероятность ошибки в приеме символа
|
|
|
|
|
Aik |
|
|
ш- 1 |
|
|
Рк |
1 - j |
Р& (-^ik) d ^Ik ^ pi{x)dx |
|
(2.26) |
||||
При приеме полностью известных сигналов чаще всего в каче |
|||||||||
стве оптимального выходного эффекта принимают |
|
|
|||||||
|
|
|
тк |
|
|
|
|
|
(2.27) |
|
|
Л | к = Д J |
гк(0 |
Л '\t)dt. |
|
|
|||
При нормальном шуме в канале, |
когда |
|
z ]k(t) — x^(t) |
+ \(l), |
|||||
выходные эффекты (2.27) представляют собой |
нормальные слу |
||||||||
чайные |
величины с законами распределения |
вероятностей: |
|
||||||
|
|
P i ( А к) |
1 |
ч е х Р 1 - |
|
|
|
(2.28) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 /2 * . 2 А,,3’ |
( -#к)/ |
|
|
|||
|
|
Pxi {А к) — |
|
у ехр |
(Л к - 2 |
Л к2)'- |
(2.29) |
||
|
|
|
|
4 К |
|||||
|
|
|
]/ 2 тг-2 Ак |
|
|
|
|||
Подставляя эти выражения в формулу (2.26), получим |
|
||||||||
Рко |
1 /2 |
ехр |
(Лк - |
2Т/ 2 Лк-)'2 ^Лк-|Ф(Лк)]п" 1. |
(2.30) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значение этого интеграла не может быть выражено в элемен тарных функциях. Поэтому воспользуемся его приближенным вы ражением
Л ош = V~m — 1 ехр |
% - 2 In 2^. |
(2 31) |
28
где hi — |
Qk — энергия |
сигнала к -го разряда. Данная фор- |
мула справедлива при Лк2 > |
1. |
|
Дисперсия ошибки при когерентном приеме может быть запи
сана теперь с учетом (2.31) и (2.22) в виде |
|
|
|
зош = Н(/и)- V |
т2{к пехр |
1 ). |
(2.32) |
1< |
I |
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
1 |
|
( - 2 In 2). |
(2.33) |
|
|
||
Т
При некогерентном приеме, т. е. в тех случаях, когда фаза принимаемого сигнала zk(t) заранее неизвестна, законы распре деления выходных эффектов выражаются формулами:
Л ( |
Л |
^ |
^ е х р ( - ^ ) ; |
,2.34, |
р -Л А к ) = т ^ |
{ |
~ |
) - /» w - |
<2-35) |
/Здесь /0(Лr) — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка. Подстановка этих выражений в (2.26) дает
m -1 |
|
|
D |
' ^ ^ - i ’/ip y e x p ^ - ф ^ -hl j. |
(2.36) |
i=i |
|
|
Легко видеть, что при |
m = 2 формула переходит в хорошо извест |
|
ную формулу для вероятности |
ошибки п)зи приеме бинарных сиг |
|
налов со случайной фазой и равными энергиями: |
|
|
Рк ош 2 |
1 |
(2.37) |
2 е 2 ' |
||
Дисперсия ошибки при некогерентном приемеэквидистантных сигналов в любом разряде m-ичного числа
т - 1
Зк ощ = -g- гп{т2- 1)-/и2(к_1) J ] ( - 1),+ ^ c L - i r ^ e x p / - t - ~ A k J. i=i
(2.38)
29