Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Терентьев, С. Н. Цифровая передача непрерывных сообщений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.10.2023

Размер:

6.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 156 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Так как к не зависит от к. то из полученной формулы следует, что при любом к стоящее справа произведение должно быть постоян ным.

Первая часть выражения (3.7) по смыслу является дисперсией ошибки в к-м разряде. Отсюда непосредственно следует, что при оптимальном распределении энергии между символами разрядов, дающем минимум дисперсии ошибки, ошибки каждого из п раз

рядов передаваемого числа вносят					одинаковый				вклад		в общую
дисперсию ошибок. Это весьма важно отметить,									так как на этом
свойстве может		быть построен		простой			метод	расчета			функции
распределения		энергии	hk2	между		разрядами			передаваемого
числа.										справедли
Поскольку выражение (3.7), как уже отмечалось,
во для любого к, то можно записать равенство
		т- е		г:-.- m-k е			•->.				(3.8)
После логарифмирования			левой и правой				части будем иметь
		2 In т -		= 2 A In т -				.			(3.9)
Отсюда
		Л к 2 — Л , 2 - 1 - 4 (А -				1 ) 1 п / и .					( 3 . 1 0 )
Используя дополнительное условие					(3.1),		с учетом		(3.10)		получим
И								П
Н - — V	[Л,2-1-4 (А -		1) In ml		n h 2 -f 4 In				(A— 1). (3.11)
к	1							к*»1
После элементарных преобразований						(3.11) получим				окончатель
ное выражение для искомой функции:
			/У"		212 А			1)]1п/я,			(3.12)
	Ak ,,pt~-7 (Л)			-f
На рис. 6—9 приведены графики Ak0pt=/(A)								для различных Я2

и т при когерентном поэлементном приеме символов. Анализируя полученное выражение для функции распределения энергии Н2 между разрядами числа, можно отметить следующее.

Рис. 6.

Рис. 8.

Средний разряд передаваемого числа, имеющий номер

ь - Ч ± ±

(в том случае, если число разрядов п нечетное), имеет энергию

Лп+1 =	^ \	(3.13)
—	п

Энергия разрядов, номера которых возрастают, также возрас тает, а у разрядов с убывающими номерами — убывает. Это при-

Рис. 9.

водит к тому, что вероятность ошибки по мере возрастания стар шинства разряда убывает, причем настолько, что это убывание

компенсирует возрастающий весовой коэффициент /я21к-1’так, что

^ 2k_1>-/?k ош = const.

(3.14)

Заметим, что формула (3.12) применима только до таких значений п, при которых энергия младшего разряда

А,3> 0 .

(3.15)

Легко видеть, что неравенство (3.15), подставленное в (3.12), при водит к условию применимости формулы (3.12):

	2	V	J	,	Я*		(3.16)
			2	' 21nw

Иными словами, для m-ичного числа с					относительной		энергией
Н2 число разрядов должно быть меньше					величины,	определяемой
правой	частью неравенства	(3.16),	в противном случае				формула
(3.12)	не применима.				следует	из	(3.12) н
Условие применимости, которое также
(3.15), можно записать в другом виде:
	Н 2>	2 In т (га2 — и),					(3.17)

т. е. суммарная энергия Н2 /г-значного /и-ичного числа должна быть больше некоторой величины, определяемой правой частью неравенства (3.17), в противном случае формула (3.12) не приме нима.

Итак, задача по определению функции оптимального распреде ления энергии, при которой дисперсия ошибки при поэлементном когерентном приеме /n-ичного числа будет минимальной, решена.

Эту задачу принципиально не трудно решить и для случая некоге рентного поэлементного приема, однако в общем случае для т-

ичного числа выражение для вероятности ошибки, записываемое в виде (2.38), не позволяет получить окончательный результат в компактной и удобной для вычисления форме. Поэтому, опреде

ление функции распределения	энергии для некогерентного прие
ма будет приведено ниже для	основания кода т — 2.

3.2. ДИСПЕРСИЯ ОШИБКИ В ПЕРЕДАЧЕ /ЯИЧНОГО Л-ЗНАЧНОГО ЧИСЛА ПРИ ОПТИМАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ЭНЕРГИИ МЕЖДУ РАЗРЯДАМИ

Определив относительную энергию сигналов, отображающих символы разрядов передаваемого числа, легко определить величн-

ну вероятности ошибки приема этих сигналов, а следовательно, и величину дисперсии ошибки в передаче числа:

		k=l
Подставляя в это выражение вместо			Ль opt	его значение из (3.12) ,
получим
3ош mill —	Ш^ ехр {		T +	2<2 * - ( » + I) l n » }
	k = 1	{ - T	T +	2<2 * - ( » + I) l n » }
	k = 1
				(3.18)

Вынося па знак суммы все члены, не зависящие от k, будем иметь

°ош min — в ( ^ i ) 6 Х р |

Я 2	— (п -f l)lnm • ^	т*е~Шпт.
2 п

k-l

Учитывая, что

S m 2ke - 2k,nm = «, k= l

е (п + \)\а m _ m n + (

получим окончательное выражение для минимальной дисперсии ошибки в приеме /п-ичного я-значного числа при оптимальном ко дировании:

		_ Я!	(3.19)
	с1шт1а= Ц т )-пт а+'е 2» .
Или в развернутом		виде
з	_	п(т— 1)3/2 ехр	{т + 1). (3.20)
®ош min —

Это минимально достижимая величина дисперсии ошибки при по элементном приеме. На рис. 10 и 11 приведены графики дисперсии ошибки в зависимости от п при различных значениях Я2. Однако

Рис. 12.

значение величины дисперсии ошибки само по себе не дает на глядного представления о выигрыше от применения оптимального кодирования. Поэтому целесообразно получить зависимость отно шения дисперсии ошибки при примитивном кодировании к диспер сии ошибки при оптимальном кодировании от значности переда ваемых чисел при различных энергиях Н2. Назовем это отношение коэффициентом выигрыша в точности передачи числа:

	0		^ °°шрапн .					(3.21)
			3 ош min
Подставляя в (3.21), (3.20)		и (2.43), получим
а	---		тП-г 1					(3.22)
а	---		п(т~ — 1) ‘					(3.22)
			п(т~ — 1) ‘
На рис. 12 приведены графики G =/(«) выигрыша в точности пере
дачи количественной информации при оптимальном						кодировании
			в зависимости от значности пе
			редаваемых чисел при различ
			ных основаниях			т.			что
			Из	графиков		следует,			что
			выигрыш		G тем	больше,			чем
			больше	значность			числа		п и
			гем больше, чем больше осно
			вание т. Зависимость					G=f(n)
			при т = const имеет				почти		ли
			нейный характер.
			Более наглядными являются
			графики,		представленные				на
			рис. 13	и отображающие зави
			симость выигрыша точности						ог
			основания		счисления			переда

ваемых чисел. Каждая кри вая на этом графике соответ ствует определенной значно сти числа п. Эти графики на глядно показывают, что с уве личением т скорость роста зыигрыша уменьшается. Из этих же кривых видно, что осо бенно больших значений вели чина выигрыша в точности до-

стигает при передаче больших чисел.

Приведенные графики могут оказаться полезными для практи ческого использования при проектировании систем подобного типа. По этим графикам, не прибегая к расчетам, можно определить, на какое уменьшение дисперсии ошибки можно рассчитывать, ес ли применить способ оптимального формирования сигнала на пе редающей стороне. Однако в практике чаще встречаются задачи несколько иного рода. Проектировщику чаще всего придется ре шать вопрос о том, какое основание счисления целесообразно вы


брать	для передачи чисел из диапазона{0, N max}	и какой выиг
рыш	в точности передачи этих чисел будет получен,		если приме
нить	оптимальное распределение энергии Я? между		разрядами
этих чисел. Имея в виду такую постановку задачи,		на рис. 14 при-

Рис. 13.	Рис.	14.
водятся графики зависимости выигрыша G=f(m) при			тп =	const.
По этим графикам,	которые построены только	для	трех	чисел:
yVmaxj = 81У2, Ntпах2= 409б, 7Vmax3=lU24, МОЖНО ДЛЯ КЭЖДОГО				ЧИСЛИ

определить выигрыш G, если известно'основание т. Последнее обычно выбирается из соображений, не связанных с рассматривае мым вопросом и в данном случае может считаться заданным.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 156 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ