книги из ГПНТБ / Терентьев, С. Н. Цифровая передача непрерывных сообщений

— вероятность ошибки в приеме символа при избыточном ко­ дировании.

Если величина р0' < Ю~", что в практике обычно имеет место, то формула может быть упрощена без большой потери точности:

Такую же вероятность ошибочного приема кодовой комбинации можно было бы получить при примитивном кодировании, если бы вероятность искажения символа кода равнялась бы некоторой ве­ личине р„«од, которая определяется соотношением

Иными словами, если применение данного кода обеспечивает до­ стоверность принятия кодовой комбинации, характеризующуюся вероятностью pk искажения хотя бы в одном символе кодового слова, то эквивалентная вероятность искажения элемента кодовой комбинации, с учетом (4.5), будет выражаться формулой

Таким образом, при сравнении метода оптимального распре­ деления энергии с методом избыточного кодирования для вычис­ ления дисперсий ошибки в воспроизведении передаваемых чисел в последнем случае следует пользоваться формулой

80

Приведем выражение (4.8)- к ,виду,, более удобному для вычислё* ний, исходя из следующих соображений.

h= (t« + И — п! Ръ\

Чо'= 1 - Р о ■

Однако выражение (4.9) все еще не удобно для практического ис­ пользования. Значительно проще им будет пользоваться при рас­ четах, если его выразить через табулированные функции Крампа. С этой целью сделаем следующие допущения:

У-^-[1 — Ф(л0|//?)]

Кажения элемента кодового слова при избыточном кодирований будет иметь вид

выражается через параметры избыточного кода — кратность ис­

ки символов кодового слова достаточно сложный и проанализиро­

место противоборство двух тенденций — уменьшение вероятности ошибки кодовой комбинации за счет увеличения кратности t га­ рантированно исправляемой ошибки и увеличение вероятности ис­ кажения элементарного символа кодового слова ро' за счет умень­ шения энергии сигнала (h') 2, отображающего этот символ.

Совместный эффект этих двух воздействий, как было сказано выше, в общем виде проследить не удается. Он зависит от кон­ кретного вида кода, начальных условий в канале и разрядности передаваемых чисел. Значительно проще получить ответ на вопрос об эффективности применения сравниваемых методов повышения точности передачи путем построения графиков зависимостей коэф­ фициента г], например, от вероятности искажения символа кодово­ го слова ро при примитивном кодировании. Такие зависимости при­ годятся в следующем параграфе для некоторых наиболее распро- ^

82

страненных помехоустойчивых кодов. Однако их следует считать оценочными, так как при расчете учитывались только гарантиро­ ванно исправляемые кодом ошибки и не учитывались те искаже­ ния, которые исправляются с вероятностью, меньшей единицы.

4.2.СРАВНЕНИЕ С КОДАМИ ХЭММИНГА

Линейные избыточные коды, относящиеся к кодам Хэмминга, в настоящее время хорошо разработаны. Они достаточно просто реализуются в аппаратуре повышения достоверности. Предназна­ чаются они для исправления независимых ошибок, возникающих в дискретном канале связи.

Связь между кратностью исправляемых ошибок и избыточно­ стью кода устанавливается границей Хэмминга, основанной на принципе плотной упаковки сфер. Эта граница утверждается сле­ дующей теоремой.

проверочных символов. Используя это выражение, можно полу­ чить выражение для максимально возможной величины кратности гарантированно исправляемой ошибки, если избыточность кода и длина информационной части кодового слова заданы:

можем записать приближенное равенство, которое устанавливает связь между оценкой исправляющей способности кода и его из­ быточностью:

t* 1(« '-* „ )!

OD

СЛ

Боуз и Чоудхури показали [9], что для любых целых положитель­ ных чисел / и tH существует циклический код с длиной кодового слова

с минимальным кодовым расстоянием

^min — 2 tK+ 1.

Такой код способен гарантированно исправлять tn -кратные ошиб­ ки в кодовой комбинации и обнаруживать ошибки кратностью 2tu. При этом число проверочных символов в таком коде не превышает величины

Описанные выше свойства кода позволяют установить связь меж­ ду избыточностью кода г и кратностью гарантированно исправляв мых ошибок tH. При этом следует подчеркнуть, что эта связь на­ ходится в предположении, что число проверочных символов точно равно I /и Это дает верхнюю оценку избыточности циклического кода.

При достаточно больших длинах кодовых комбинаций можно полагать, что

Тогда

86

Таким образом, выражение (4.27) устанавливает связь между кратностью ошибок, гарантированно исправляемых кодом, и из­ быточностью. Подставив полученное выражение в (4.12), запишем формулу для (3:

циклического кода. Для этого необходимо задаться только избы­ точностью г. Как уже было ранее сказано, ввиду сложности зави­ симости (4.15) проследить ее целесообразно с помощью графиков. С этой целью по формулам (4.15) и (4.28) были построены графи­

- Ф ( А о ) .

Графики построены для десяти-, двенадцати- и шестнадцатираз­

выводы. В области малых значений h o 2, соответствующих вероят­

оптимальное распределение энергии кодового слова между разря­ дами. В этом случае дисперсия ошибки в восстановлении числа на приемной стороне при использовании циклического кода возраста­ ет на 2—3 порядка. Но, начиная с некоторого значения h o 2, соот­

ветствующего вероятностям ошибки р„.,т= 10~4 и менее, более точная передача обеспечивается при использовании циклического кода,

87

Граница, от которой по. оси Л02 циклические коды дают боль­ шую точность передаяи, сдвигается влево (в сторону меньших зна­ чений h02) при увеличении разрядности передаваемых чисел и при

п =16 достигает Рош ^СГ3.

Интересно также отметить, что увеличение мощностицикличе­ ского кода за счет увеличения" избыточности приводит к тому, что эта граница сдвигается вправо. Анализ хода графиков ‘Ци. = ,}{р 0ш)

показывает также, что для данного кода существуют такие усло­ вия в канале (вероятность ошибки), при которых особенно невы­ годно применять циклические коды. Об этом свидетельствует на­ личие максимумов кривых Т]ц = / (Рощ)'

Итак, как и в отношении к примитивному кодированию, метод оптимального перераспределения энергии по сравнению с цикли­ ческими кодами дает выигрыш в точности передачи, если каналы,

по которым она осуществляется, не очень хорошие (Рош =10~3 и более). В малошумящих каналах лучшие точности обеспечивают циклические коды. Этот результат интуитивно понятен. В сильно шумящих каналах уменьшение энергии символа с целью ее выде­

ления на избыточные (контрольные символы) приводит к резкому увеличению вероятности искажения символов избыточного кода. Это увеличение настолько значительно, что приобретенные за­

щитные свойства не могут скомпенсировать (исправить) те много­ численные искажения, которые появляются из-за недостатка энер­ гии сигнала, отображающего символ.

В результате вероятность искажения кодовой комбинации рь, а следовательно, и эквивалентная вероятность искажения символа /V велики.

При передаче по хорошим каналам (с малой интенсивностью шума) «выделение» частй энергии символа на образование конт-

грольных символов окупается с избытком увеличением помехоус­ тойчивости кодовых комбинаций.

I В заключение отметим, что в случаях, близких к реальным, ког­

да n = 10-f-12, а />ош — 10“3 ч - 10_ ‘, оптимальное распределение энергии кодового слова между его разрядами обеспечивает боль­ шую точность. Однако к конкретным значениям величин, опреде­

ляемым из приведенных графиков, следует относиться с осторож­ ностью, так как графики имеют оценочный характер. При реше­

нии вопроса о целесообразности применения сравниваемых мето­ дов кодирования следует иметь в виду большую простоту техни­ ческой реализации оптимального распределения энергии. Однако допрос этот будет рассмотрен ниже.

89