книги из ГПНТБ / Терентьев, С. Н. Цифровая передача непрерывных сообщений

вании по уровню существует оптимальный, при заданных условиях, способ квантования. На его выбор влияют статистические харак­ теристики случайных величин /м, способ кодирования! переда­

ваемых чисел, соответствующих номеру уровня, интенсивность по­ мех в канале. То, что оптимальный способ квантования по уров­ ням существует, ясно из следующих простых соображений. По­

грешность воспроизведения функции l*(t) за счет дискретного представления по уровням будет тем меньше, чем меньше шаг

квантования (т. е. чем на большее число уровней будет разбит диапазон возможных значений функции l(t). Но при уменьшении

шага квантования увеличивается значность чисел, соответствую­ щих номерам уровней. Это приводит к тому, что скорость передачи по каналу связи должна быть увеличена. А это, как известно, при

прочих равных условиях влечет за собой увеличение ошибок за счет помех в канале. Естественно, что области оптимума зависят

от степени воздействия названных факторов на выходной эффект. Из сказанного выше следует, что существует взаимосвязь между

способом квантования и способом кодирования. Это позволяет рас­ ширить задачу по оптимизации системы передачи информации ц

помимо кодирующего устройства включить в нее и квантователь по уровню (преобразователь «аналог—число»).

Решение этой задачи и составляет содержание данной главы.

5.1.МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ПЕРЕДАЧИ

Модель процесса передачи квантованной по времени функции можно описать следующим образом.

На вход системы связи, изображенной на рис. 40, поступает в определенные фиксированные моменты времени t, некоторая слу­ чайная величина I, подлежащая передаче. Полагается, что величина

ройстве Wi эта величина подвергается квантованию по уровню, т. е. сравнивается с величинами и идентифицируется с той

из них, которая отличается от нее не более чем на половину шага

100

& общем случае АI может быть функцией передаваемой величи­ ны N, но в любом случае заранее известной на приемной стороне.

канала U^, где происходит формирование сигнала .**(/). При при­ митивном кодировании эта процедура сводится просто к модуля­ ции, а при помехоустойчивом кодирований еще и к распределению энергии кодового слова между его элементами в соответствии с правилами, определенными в главе III.

За^ем, в соответствии с рассматриваемой моделью, сигнал передается по каналу Wi-, где подвергается воздействию аддитив­

vbi

Принятое число N* в преобразователе W t «код--величина» пре­

образуется в величину /n’ которая, в зависимости от назначения системы связи, подвергается дальнейшим преобразованиям. Одна­ ко эти преобразователи уже не относятся к рассматриваемой здесь системе связи. Весь процесс передачи можно кратко записать з операторной форме

Здесь символы. W означают соответствующие операции, которые совершаются над множеством {/’}■ в процессе преобразования к

передачи, в результате которых на приемном конце появляется

множество оценок {/n}. Задача системы связи, модель которой была описана выше, состоит в том, чтобы обеспечить достаточное

можно более определенно сформулировать задачу по ее оптими­ зации: требуется найти такой способ квантования по уровню вели­

соб кодирования сигналов на передающей стороне и способу приема.

Сформулированная выше в общей постановке задача будет ре­ шаться при следующих конкретных условиях:

—шумы в канале полагаются нормальными с заданной интен­ сивностью N0;

—в качестве кода используется число с основанием т;

—прием сигналов поэлементный.

Решение поставленной задачи облегчается тем, что погреш­ ность в восстановлении переданной величины / складывается из погрешности ее представления в дискретном виде и погрешности, вносимой каналом связи. Эти погрешности являются статистиче­

102

Оба слагаемых в (5.9) зависят от величины шага квантования /. При этом с увеличением А/ первое слагаемое возрастает, а второе

бранном основании системы счисления т. Это и составляет содер­ жание сформулированной выше задачи.

В аналогичной постановке задача рассматривалась в (10,11]. Однако се решение проводилось только для случая примитивного кодирования при т = 2. Ниже рассматривается) более широкий крут вопросов, связанных с отысканием оптимальных способов пе­ редачи непрерывно изменяющейся величины цифровым способом при любых значениях т и различных законах распределения w(l).

5.2. ОШИБКИ КВАНТОВАНИЯ ПРИ РАВНОМЕРНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ КВАНТУЕМОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Полная дисперсия ошибки при передаче непрерывной величи­ ны I складывается из дисперсии ошибки квантования и дисперсии ошибки за счет помех в канале.

103

Рассмотрим зависимость дисперсии ошибки квантования от числа интервалов квантования jVmax при равномерном шаге кван­ тования АI, т. е. когда величина интервала квантования постоян­ на и не зависит от номера уровня квантования:

В этом случае для любого значения I максимально возможная раз­ ница между истинным и квантованным значениями

В дальнейшем будет удобнее пользоваться понятием приведенной ошибки

- ( ! w )n

104

Дисперсия ошибки для Ы - т о интервала

(5Ш)тах

О2 (8;м) = J W (8да) (8;n)V (8/N ). (5.16)

- ( 8w)max

Дисперсия ошибки квантования

Полученное выражение для дисперсии приведенной ошибки квантования непрерывной величины / позволит определить сум­ марную дисперсию ошибки передачи.

5.3.ЗАВИСИМОСТЬ ДИСПЕРСИИ ОШИБКИ ПЕРЕДАЧИ

НЕПРЕРЫВНОЙ в е л и ч и н ы ц и ф р о в ы м м етодом от ч и с л а у р о в н е й п р и р а в н о м е р н о м к в а н т о в а н и и

Выше рассмотрено первое слагаемое правой части формулы (5.9). Второе слагаемое, выражающее дисперсию ошибки воспро­ изведения передаваемой величины за счет помех в канале, можно записать, используя (2.42), если при передаче применяется! при­ митивное кодирование с основанием /и:

105

Дисперсия приведенной ошибки в соответствии с (5.13)

О

(5.20)

Обозначим для краткости

Тогда

Полученное выражение позволяет вычислить суммарную диспер­ сию приведенной ошибки передачи, но в таком виде оно пока что не раскрывает связи величины дисперсии ошибки с числом уров­ ней квантования. Эта связь может быть установлена, если выра­ зить вероятность искажения (трансформации) символа рош через число интервалов квантования. Это несложно сделать, зафикси-

Полагая, что прием сигналов, отображающих символы числа, про­ изводится с помощью когерентного приемника, можно записать выражение для вероятности ошибки в виде

тельном виде выражение для дисперсии относительной ошибки воспроизведения:

У ■- 12Ту 5 1 + 2 т V т — \ ■А'шах • е х р

(5.24)

В таком виде выражение (5.24) позволяет проследить зависимость

1С6

величины. Из формулы видно, что стремление уменьшить ошибки за счет квантования путем увеличения числа интервалов N wax при­ водит к увеличению ошибки за счет искажений в канале, так как при этом энергия, приходящаяся на каждый символ п-разрядного числа, уменьшается и вероятность его трансформации увеличива­ ется.

Иногда удобнее пользоваться выражением для-гднсперсии при­ веденной ошибки в несколько ином виде:

мощью. Однако, как видно из той же формулы, при увеличении п растет второй член выражения, стоящий в квадратных скобках, который соответствует ошибкам за счет помех в канале. Задача состоит в определении такого значения пори при котором правая часть выражения (5.25) становится минимальной.

Определить значение п0pt путем приравнивания производ­ ной по п от Y не удается из-за трансцендентности получаемого выражения. Положение минимума функции Y=f(n) легко опреде­ лить по графикам, приведенным на рис. 41, 42. На этих рисунках изображены зависимости для случая равномерного квантования

и примитивного кодирования при различных основаниях т чисел, используемых в качестве, кода.,. Параметром ,.кр'щзых является от­ носительная! энергия кодового слова Н2, характеризующая усло­ вия передачи в канале.

Как видно из графиков, при малых значениях п, по мере уве­ личения значности чисел, происходит линейной уменьшение Y. На­ чиная с некоторых значений п, скорость уменьшения замедляется,

Следует также отметить, что, по мере увеличения параметра Н7, положение минимума смещается в сторону больших п, а сам он становится глубже. Анализ графиков показывает, что зависимость

пор1= /( # ) носит почти линейный характер. Для приближенных оценок его можно считать линейным. Это:позволяет получить эм­

107

оо

Отсюда оптимальное число интервалов квантования при исполь­ зовании бинарного кода

(5.27)

При оптимально выбранном числе интервалов квантования мини­ мальная величина дисперсии полной приведенной ошибки воспро­ изведения

= 1+ 2 ,^ +1 е - ^ " } . (5.28)

Полученные эмпирические формулы удобны для использования при инженерных расчетах. Из графиков также можно видеть, что

с неограниченным увеличением п кривые асимптотически стремят­ ся! к некоторому пределу:

Из проведенного анализа следует, что при определении числа

уровней квантования в диапазоне изменения (Lmax— £ min) не­ обходимо учитывать не только ошибки квантования, но и ошибки

передачи по каналу. Стремление достичь высокой точности вос­ произведения путем увеличений числа уровней квантования может привести к противоположному результату. Следует при определе­ нии nopt исходить из выражения (5.26).

109