книги из ГПНТБ / Терентьев, С. Н. Цифровая передача непрерывных сообщений

Дисперсия ошибки при передаче m-ичного числа при независи­ мости ошибок в различных разрядах

(2.39)

В заключение заметим, что число т эквидистантных сигналов связано с базой сигнала 2FT известным соотношением Агеева [6]:

как при этом схемы получаются достаточно простыми. Системы с последовательным методом передачи различных символов разря­ да числа носят название систем типа «мелодия». При этом приме­ няется временное разделение символов различных разрядов, что требует синхронизации работы передающих и приемных устройств. Если символы различных разрядов отображаются ортогональны­ ми сигналами, то существует возможность одновременной их пе­ редачи. При этом на приемной стороне может быть применено так называемое разделение по форме (кодовое разделение). Такие системы получили название систем типа «аккорд».

В дальнейшем основное внимание будет уделено системам типа «мелодия».

Приведенные выше формулы для дисперсии ошибки при пере­ даче m-ичных чисел получены для общего случая, когда энергии Qk сигналов, отображающих символы различных разрядов, не равны друг другу. Представляет интерес получить эти выражения при равномерном распределении энергии числа Qn (кодового сло­ ва) между разрядами. При этом

ГоГДа р k qui Рош

п

Зош = ^ г - т ( т 2— 1 )рош2 У (к- !).

СО

Так как

VШ2к _ тЧт-л — 1)

~' /я2 - 1

т-п-=yVLs,

то в окончательном виде дисперсия ошибки при равномерном распределении энергии между разрядами

Ниже будут получены выражения для дисперсии ошибки опти­ мальной системы и приведенные выше формулы позволяют оце­ нить выигрыш по точности, который дают оптимальные системы по сравнению с неоптимальными.

2.4. ОШИБКИ В БИНАРНОМ КАНАЛЕ

Бинарные каналы получили широкое распространение в тех­ нике связи благодаря простоте оборудования и достаточно высо­ ким характеристикам эффективности и помехоустойчивости. В связи с этим целесообразно для бинарного канала получить выра­ жения для среднего квадрата ошибки при наиболее распростра­ ненных условиях в канале.

31

Двоичное число в соответствии с (1.2) может быть записано

как

конкретную реализацию цифры в k-м разряде на передающей сто­ роне.

Принятое число

которая в зависимости от конкретной реализации помехи в кана­ ле может случайным образом принимать различные значения По­ этому величину ошибки при передаче двоичного числа по каналу связи можно оценить только при помощи статистических характе­

ристик AN и AN2. Введем обозначения:

рk (0), рк (1) — априорные вероятности появления 0 и 1 в k -м разряде числа;

рк(0|1), /?к(1|0) -- вероятность ошибочного приема 1 и 0 соот­ ветственно.

При приеме цифр двоичного числа в каждом из разрядов мо­ жет возникнуть одна из следующих трех ситуаций:

—передавалась единица — принят ноль;

—передавался ноль — принята единица;

—передача цифры разряда осуществлена безошибочно.

В соответствии с этим среднее значение ошибки Цри передаче числа

32

Из формулы (2.48) видно, что условием равенства нулю сред­ ней ошибки является соотношение

Оба эти условия на практике часто имеют место. Однако, если од­ но из них не выполняется, а другое может быть изменено желае­ мым образом, то равенство нулю средней статистической ошибки при передаче двоичного числа может быть достигнуто, если будет выдержано соотношение

В дальнейшем будет показано, насколько целесообразно таким способом устранять смещение ошибки в передаче числа.

Средний квадрат ошибки, который принят в качестве крите­ рия оценки системы передачи количественной информации,

Поскольку математическое ожидание суммы случайных вели­

чин равно сумме математических ожиданий, то с учетом (2.48) и (2.53)

п

£ д/2 = £ 22(k" IV k(0) - A ( lp ) + А ( 1)А (0|1)] ~Ь к =1

II п

+ S I j2 k+/ 2 {(1 — 8к/)[Рк(0)-/?к(1|0) — /?k(l)-/Jk(0|l)J X к =11=1

Как следует из полученного выражения, для вычисления вели­

двоичного числа. Способы определения вероятностей ошибок в ка­ налах с флуктуационными аддитивными шумами хорошо извест­

ны и, как было показано в предыдущем параграфе, не составляют большого труда, если известен вид сигналов, отображающих сим­ волы, интенсивность шумов в канале и способ приема.

Для когерентного приема, когда сигналы, отображающие 0 и 1, противоположны, а энергии их равны так, что

J W nV )|2</f = J 14'>(/)]* = Qk

Об

II

т

j‘x,k0i(O -^ 1)( O ^ = - Qk,

б

при спектральной плотности нормального шума в канале .¥0 ве­ роятность ошибочного приема символа k-ro разряда

(2.55)

31

С учетом выражения для вероятности ошибок при когерентном приеме формула (2.54) принимает вид

П

Как было сказано ранее, часто можно полагать, что априорные вероятности символов в канале равны. Это предположение спра­ ведливо в тех случаях, когда величины, подлежащие передаче, распределены в диапазоне своих значений равномерно и макси­ мальное значение величины соответствует максимальному значе­ нию «-разрядного числа. Если же разрядность числа позволяет передать большее значение, чем максимальная величина, то даже при равномерном распределении передаваемой величины I вероят­ ности символов МО) и M l) не будут равны. Тем более они не будут равны друг другу в различных разрядах, если закон пере­ даваемой величины отличен от равномерного. В последующем параграфе приведен метод и результаты его применения для оп­ ределения априорных вероятностей символов в разрядах двоично­ го числа для наиболее простого случая, когда передаваемая вели­

2.5.АПРИОРНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ ПОЯВЛЕНИЯ СИМВОЛОВ

ВРАЗРЯДАХ ДВОИЧНОГО ЧИСЛА

Пусть числа, подлежащие передаче по каналу связи, распреде­ лены равномерно в диапазоне 0-H-yvraax. Тогда разрядность двоич­ ных ойнсел в соответствии с (1.2)

Наибольшее число, которое может быть передано с помощью ti- разрядного двоичного кода,

М = 2".

Если М > ,Vm, вероятности Рк(0) и yPk(l) в общем случае не равны. Их значение будет зависеть от величины N mи номера раз­ ряда к. Задача состоит в определении этой зависимости.

Запишем одно под другим все л-значные двоичные числа от О до N m в порядке их возрастания:

0 00.. .0 .. .00

1 = 00.. .0 . . .01

2 ?= 00.. .0 . . . 10

(2.59)

^тл\ — 1-^ii—1*-^-к • ’ ■Д4 X| ,

В этой таблице п столбцов и N ~Ь 1 строк. В последней строке в старшем разряде всегда будет стоять единица, так как в против­ ном случае первый слева столбец таблицы состоял бы только из нулей и оказался бы излишним. Это указывало бы на то, что знач-

образуют группы, в которых чередуются следующие подряд 0 и 1. Закономерность группирования легко выявляется из сопоставле­ ния столбцов. Если группа полная, то число /к (0) подряд следую­ щих нулей, входящих в группу, равно числу 4 ( 1) подряд следую­ щих единиц:

этого символа. Однако вначале необходимо из столбца выделить полное число групп

36

После выделения полного числа групп символов в к-м столбце ос­ танутся г>к символов:

Если число этих символов меньше числа символов в полугруппе этого столбца или равно ему, то остались только нули, т. е. усло­ вием отсутствия единиц в оставшихся символах столбца является неравенство

Если после выделения целого числа групп число оставшихся сим­ волов

то единицы в оставшихся элементах столбца есть.

Выделим теперь из оставшихся элементов к-го столбца целое

Теперь общее число единиц в &-м столбце определится выраже­

В этой формуле требует пояснения второе слагаемое. Смысл его легко понять, если принять во внимание, что в k-ы столбце поми­ мо единиц, содержащихся в полных группах и определяемых пер­ вым слагаемым формулы (2.66), имеются А единиц, определяе­ мых формулой (2.65). Число оставшихся после выделения целого

Именно это обстоятельство и учитывает второе слагаемое форму­ лы (2.66).

Вероятность появления единицы в к-м разряде двоичного числа

37

Совершенно очевидно, что

делить как разность между числом единиц в этом разряде у всех чисел из диапазона ]0 : Nmax} и числом единиц у чисел из диапа­

зона Ju : yVminj. После соответствующих простых преобразовании формула для определения априорной вероятности появления еди­ ницы в разрядах двоичного числа будет выглядеть так:

Разработанная методика может позволить определить априор­ ные вероятности появления символов в разрядах тп-ичного числа при различных законах распределения передаваемых чисел.

ность появления символов значительно отличается от 0,5 особен­ но тогда, когда число Л^шах значительно отличается от степени 2к. Из графиков также видно, что изменение вероятности символов в младших разрядах носит периодический характер и приближается

38

к 0,5 всякий раз, когда величина Лг,„ кратна 2к Подсчитанные по такой методике априорные вероятности символов в разрядах пе­ редаваемых чисел совместно с формулами для вероятностей оши­ бок дают возможность по формуле (2.54) подсчитать величину среднего квадрата ошибки при передаче

равным дисперсии ошибки, а смещение ошибки обращается в нуль:

В дальнейшем будет показано, как уменьшится величина диспер­ сии ошибки, если символы разрядов числа формировать на пере­ дающей стороне оптимальным образом. Поэтому представляет интерес подсчет величины дисперсии ошибки в передаче двоично­ го числа по бинарному симметричному каналу при примитивном кодировании, г. е. когда никаких мер по повышению помехоустой­ чивости на передающей стороне не предпринимается. В этом слу­

irrt

Второй сомножитель формулы представляет собой геометри­ ческую прогрессию со знаменателем q= 4. Сумма этой прогрессия

а дисперсия ошибки

Так выражается средний квадрат ошибки, если канал симметрич­ ный. Не тривиальным является вопрос: как следует поступить п том случае, если канал не является симметричным и смещение

39