книги из ГПНТБ / Терентьев, С. Н. Цифровая передача непрерывных сообщений

Здесь по-прежнему предполагается, что передаваемая величи­ на равномерно распределена в диапазоне (£тах ~ ^ты) и кванто­ вание ведется с равномерным шагом А/. . Тогда дисперсия -приве­ денной ошибки за счет кзантования

Дисперсия ошибки воспроизведения переданных чисел при оп­

Тогда дисперсия приведенной ошибки за счет трансформации сим волов в канале связи

3 ош min (А /)“

D [ o N n *

(^■max — ^-min)

п (т2 — 1) У /га — 1ехр Н- — 1,4

(5.31)

6 1П П

Дисперсия полной относительной ошибки воспроизведения пе­ редаваемой величины I

Вопрос о том, имеется ли минимум у дисперсии, выражаемой формулой (5.32), если ее рассматривать как функцию от п, не яв­ ляется простым. Для его решения необходимо принять во'внима»

ПО .

В качестве параметра кривых принята относительная; энергия пе­ редаваемого числа Я2, остающаяся неизменной при изменении значности п, а в качестве параметра всего семейства кривых — основание системы счисления т. Кривые построены до значений п = пар, определяемых формулой (5.35).

Рис. 44,

Анализируя графики, можно сделать следующие выводы:

— применение оптимального распределения энергии между разрядами передаваемого числа позволяет уменьшить погрешность передачи по каналу связи. Дисперсия общей относительной ошибки уменьшается за счет применения оптимального перерас­ пределения энергии в (5—500) раз;

— выигрыш в точности тем больший, чем больше Я2, т. е. чем лучше условия! в канале и чем больше основание кода т. Эти сравнения приведены при условии, что при примитивном и опти­ мальном кодировании число уровней квантования А'тах, а следо­ вательно, и число разрядов п, выбрано оптимальное.

Более подробно зависимость выигрыша

Яу = 1-^1» РД5Д = / ( Я 2)

• min opt

представлена на рис. 45. Параметром кривых является основание кода т. По кривым, приведенным на рис. 45, можно также оце-

112

нить выигрыш, если передача в одном случае ведется с помощью примитивного кодирования при постоянном заданном числе уров­

рядов от относительной мощности можно выразить простым соотношением

разрядами) и оптимальном кодировании приведены в таблице 1.

Т а б л и ц а 1

можно уменьшить путем применения квантования с неравномер­ ным шагом. Следуя методике, изложенной в (12], можно получить выражения для величины дисперсии ошибки квантования, если закон распределения w(l) задан.

В соответствии с (5.16)

(5.39)

Формула (5.39) выражает дисперсию ошибки квантования внутри интервала квантования Д/n. Полагая интервал Д/n ма­ лым, будем считать, что функция распределения внутри этого ин­ тервала постоянна и равна своему значению w (I ).

Дисперсия ошибки внутри N-го интервала в этом случае может быть записана как

Легко показать, что дисперсия на уровне /n будет минимальной, когда

т. е. когда уровень /n расположен в середине шага квантования:

I

Таким образом, дисперсия ошибки квантования на уровне 4г

1

Среднее значение дисперсии ошибки квантования найдем как сум­ му дисперсий на всех уровнях от 1 до A^mav:

1 Nmax

В этой формуле закон изменения величины шага квантования

д /N = /( * ) •

Его можно определить из условия минимума дисперсии ошибки квантования, т. е. минимума выражения (5.40) при дополнитель­ ном условии нормировки

N I

Эта задача аналогична той, которая была решена в главе III. Ре­ зультаты ее решения известны |[12] и будут приведены для некото­ рых законов распределения w(l).

Будем считать заданными максимальное значение передаваемой величины Z.max, число уровней квантования Мгаах и плотность рас­ пределения w(l). Значение Z.min для простоты положим равным нулю. Тогда дисперсия ошибки квантования для различных зако­ нов распределения w(l) будет выражаться^ приведенными ниже формулами.

1. Нормальное распределение.

116

2. Двухстороннее экспоненциальное распределение. Для закона

Приведенные выше формулы для дисперсий ошибок квантова­ ния позволяют вычислить только первое слагаемое в выражении дисперсии полной ошибки (5.9):

Несколько сложнее обстоит дело с определением дисперсии ошибки в воспроизведении функции /n за счет передачи по кана­ лу с шумами.

117

но, так как в этом случае старшие разряды числа, имеющие боль­ шую энергию, лучше защищены от воздействия помех, а искаже­ ние (трансформация) символов младших разрядов изменяет чис­ ло N на величину малую. Это дает основание считать, что при оп­ тимальном кодировании в канале ошибка воспроизведения пере­ данного числа

В этом случае подсчет дисперсии ошибки воспроизведения переда­ ваемой величины /\ при оптимальном квантовании может быть выполнен несколько иначе, чем при примитивном кодировании. С этой целью, используя найденную при решении изложенной выше задачи по оптимальному квантованию зависимость N = N ( I), изо­ браженную на рис. 47, определим связь между величиной ошибки AN и Ann*- Учитывая (5.53)

Рис. 47.

Дисперсия ошибки AN на уровне N

119