книги из ГПНТБ / Черонис, Н. Д. Микро- и полумикрометоды органического функционального анализа

силы Р и Рг, изгибающие вал, и пару т Р= Р -0,56, скручиваю­ щую его (рис. 84,г). Если зубчатое колесо коническое или косозубое цилиндрическое (рис. 84,6, в), вал будет дополни­ тельно нагружен еще одной изгибающей парой ma = Pa-0,5d и осевой силой Ра (рис. 84,6).

Таким образом, возможны случаи, когда в поперечных сечениях вала действуют все шесть внутренних силовых фак­ торов; осевая сила N, поперечные силы Qx, Qv, крутящий мо­ мент Мкр и изгибающие моменты Мх и Мѵ (см. рис. 84, д ).

Обычно касательные напряжения изгиба и нормальные напряжения, вызванные осевой силой, невелики и ими прене­ брегают, т. е. учитывают только внутренние силовые факторы /И,;, Му и /ИКр. Так как вал круглый, то для определения нор­ мальных напряжений изгиба нет необходимости использовать формулы косого изгиба. Напряжения в сечениях вала следует определять по результирующему изгибающему моменту, рав- ' ному геометрической сумме моментов Мх и Мѵ:

М«*г Ѵ М І + Му .

Наибольшие нормальные напряжения изгиба и наиболь­ шие касательные напряжения кручения действуют в поверх­ ностном слое вала. Элемент, выделенный из этого 'слоя (рис. 85), находится в плоском напряженном состоянии, на его гранях действуют напряжения on3r=M ll3r/W и ткр= =M«p/Wp. Подобное сочетание нормальных и касательных напряжений при плоском напряженном состоянии уже было рассмотрено в примере 9. Так же и в данном случае,. приме­

109

При вращении вала нормальные напряжения изгиба оИЗг изменяются по величине и по знаку, так как через каждые полоборота напряжения растяжения в точке А (см. рис. 85),

например, сменяются напряжениями сжатия, когда она зай­ мет положение В и т. д. Изменяются также и касательные напряжения т,ф за счет некоторого непостоянства передавае­ мого момента. Поэтому основным расчетом для валов явля­ ется расчет на усталостную прочность. Но в тех случаях, когда к валу приложены, кроме длительно действующих, еще и большие кратковременные нагрузки, его следует рассчиты­ вать также и на статическую прочность, сравнивая приведен­ ное напряжение, вычисленное по соответствующей теории прочности, с допускаемым стпр < [о].

Валы изготавливают из достаточно пластичных металлов, одинаково прочных на растяжение и сжатие, поэтому для расчетов применяют обычно третью теорию прочности. Под­ ставляя в формулу (3.12) значение главных напряжений из выражений (7.7), получим условие статической прочности вала:

Для нахождения опасного сечения вала сложной формы, имеющего к тому же концентраторы напряжений, следует со­ поставить эпюры изгибающих и крутящих моментов с чер­

но

тежом вала, наметить сечения, которые могут оказаться опас­ ными, п произвести проверку прочности вала во всех этих се­ чениях. Сравнение запасов прочности укажет положение опас­ ного сечения. Расчет вала на статическую и усталостную прочность дан в примере 23.

Пример 18. При посадке самолета с боковым ударом расчетную на­ грузку на ось колеса переднего шасси составляет осевая сила 5 = 5620 кГ и радиальная R, эпюра изгибающих моментов которой дана на рис. 86. Следует, определив напряжение растяжения и изгиба ь разных сечениях оси, найти ее запас прочности. Ось изготовлена из стали 35ХГСА с преде­ лом прочности On= 165 кГ/мм2.

2660 КГм

Р е ш е н и е. Опасное сечение осп трудно определить на взгляд, т. к. изгибающий момент и сечение оси изменяются по длине, а растягивающая сила постоянна. Определим напряжение в нескольких сечениях, например, в сечении і с наименьшим диаметром, в сечении 5, в котором действует наибольший изгибающий момент и в сечениях 2, ■'?, 4, примыкающих кис­ етам перехода от одного диаметра к другому.

Вычислим площадь и момент сопротивления сечения /:

F ,= ^ (Z )? -rf2);

w t =o,m?(i— а*),

и

IF, = 0,1-443 (1 _ 0,72*) = 6-103 мм?.

Ш

Изгибающий момент в сечении 1 определяем по эпюре (см. рис. 86), учитывая расстояние сечения от конца оси:

Напряжения растяжения и изгиба равны:

JP'= Р, '

5620

3РI — 7і16.10Г — 7$ кГ)мм"\

Результирующее напряжение в растянутых волокнах сечения 1 оси составляет:

°шах1 = с рі + ° н зп ;

"п.ах1 = 7$ + 57,5 =■ 65,4 кГімм-.

Произведя расчет для других сечений, результаты сводим в табл. 3.

112

Таким образом, наибольшие напряжения действуют в сечении- 3: За­ пас прочности оси составляет:

(рис. 87,6). Найти запас прочности фитинга, изготовленного ид алюминие­ вого сплава АК—6Т, предел прочности которого составляет сг„=42 кГ/мм2.

и

V 1-

Рис. 87

Р е ш е н и е . Так как силы смещены относительно оси, то фитинг бу­ дет, помимо сжатия, испытывать изгиб. Перенеся силы по правила^! ста­ тики на ось фитинга, получим сжимающую силу Р = Р 0вш+ Рлонж == =31300 кГ и пару сил с моментом М = Р авшй+Рлонж(д—&). изгибающую

Разобьем сечение (рис. 87, а) на прямоугольники и определим его пло­ щадь, момент инерции и моменты сопротивления, мм2:

/■’,= 2-22-56=2290;

Р2= 130 4=520;

Р3=35 • 6=210;

F= F1+7*2+Р*з=3020.

Положение центральной оси X—X указано на рис. 87, а. Момент инер­ ции сечения относительно оси составляет:

Глава ѴШ

УСТОЙЧИВОСТЬ СЖ А ТЫ Х СТЕРЖНЕЙ

§50. УСТОЙЧИВОЕ И НЕУСТОЙЧИВОЕ УПРУГОЕ РАВНОВЕСИЕ

Рассматривая различные деформации брусьев, производя их расчет на прочность и жесткость, полагаем, что имеет ме­ сто единственная при данной деформации, устойчивая, зара­ нее известная форма равновесия бруса. В действительности при деформации тела равновесие между внешними и внутрен­ ними силами упругости может быть не только устойчивым, но и неустойчивым

Упругое равновесие тела будет устойчивым, если тело при малом отклонении от положения равновесия стремится за­ нять исходное положение. Если тело в первоначальное со­ стояние не возвращается, а стремится далее деформироваться в направлении заданного отклонения, то упругое равновесие называется неустойчивым.

В неустойчивом состоя­ нии тело не может долго на­ ходиться, оно быстро пере­ ходит к некоторому новому состоянию устойчивого рав­ новесия. Этот переход на­ зывается потерей устойчиво­ сти. Он сопровождается обычно большими пласти­ ческими деформациями или разрушением тела.

Например, вертикальный стержень с грузом Р на конце (рис. 88, а) будет устойчивым при малой величине груза. При небольшом отклонении от вертикального положения стержень силами упругости возвращается в исходное состояние. Если груз Р будет достаточно большим, то малейшее отклонение стержня от вертикали приведет к потере устойчивости, т. е.

8*

§ 51. ЗА ДАЧА Э Й Л Е Р А

Определим критическую силу в простейшем случае, а именно, для шарнирного стержня, сжатого двумя осевыми силами Р. Эта задача была поставлена и решена Л. Эйлером.

У-

Рис. 90

Предположим, что по какой-то причине сжатый стержень немного изогнулся (рис. 90). Считая, что стержень находится в равновесии, составим приближенное дифференциальное уравнение упругой линии стержня, применяемое для малых прогибов:

Изгибающий момент М в проведенном сечении (см. рис. 90), равен по абсолютной величине Ру. Знак его будет отрица­ тельным, т. к. верхняя часть сечения стержня испытывает растяжение. Таким образом,

Общее решениеэтого дифференциального уравнения известно:

Ci sin А/= D.

117

Отсюда следует, что либо Ci=Ö, либо sin kl=0. Но если Сі=0, то при найденном уже Сг= 0 получим из уравнения (8.4) прогиб у тождественно равным нулю, что противоречит ис­ ходному предположению о наличии прогиба. Остается при­ нять sin£/=0.

Откуда

Ы= пп, ' (8.5)

где п —любое целое число. Учитывая выражение (8.2), получим:

/2 •

Нас интересует наименьшее значение силы Р, при котором стержень будет сохранять криволинейную форму. Тогда, взяв п=1, получим выражение для критической или эйлеровой силы:

Очевидно, что если стержень имеет различную жесткость в разных плоскостях, то изогнется он в плоскости наименьшей жесткости. Поэтому в формулу (8.6) надо подставлять наи­ меньший момент инерции сечения стержня 7min-

Внося в уравнение (8.4) значения k из выражения (8.5),' получим уравнение упругой линии стержня:

у = С, sin—J- z.

Рис. 91

Таким образом, изогнутая ось стержня является кривой, состоящей из п полуволн синусоиды (рис. 91). Как показы­ вают исследования, устойчивым будет равновесие стержня, изогнутого по синусоиде с одной полуволной, т. е. при п —1. Другие формы (при п = 2, я = 3 и т. д.) будут устойчивыми только при наличии дополнительных опор в точках перегиба упругой линии стержня, б

118